Chia đa thức cho đa thức: Lý thuyết & bài tập Chia đa thức một biến đã được sắp xếp lớp 8

Buzz

Nội dung bài viết

I. Lý thuyết về phép chia đa thức cho đa thức

II. Ví dụ về phép chia đa thức cho đa thức

III. Cách chia đa thức cho đa thức nâng cao

IV. Bài tập về phép chia đa thức cho đa thức trong chương trình lớp 8

Xem thêm

Đọc tóm tắt

- Phép chia đa thức cho đa thức là một kỹ năng quan trọng trong toán học lớp 8, giúp học sinh củng cố kiến thức lý thuyết và áp dụng vào giải các bài tập.
- Quy trình chia đa thức được trình bày chi tiết, bao gồm các ví dụ minh họa và bài tập tự luyện.
- Ngoài ra, tài liệu cũng đề cập đến các phương pháp nâng cao như tìm số dư và sử dụng định lý Bezout để giải các bài toán phức tạp.

Phép chia đa thức cho đa thức là một trong những bài toán quan trọng thường gặp trong các bài kiểm tra và kì thi ở lớp 8.

Cách chia đa thức cho đa thức tổng hợp toàn bộ kiến thức lý thuyết, cách tính toán, ví dụ minh họa cùng với một số bài tập tự luyện. Tài liệu này giúp học sinh củng cố và làm chắc vững kiến thức cơ bản, áp dụng trong giải các bài tập cơ bản để đạt kết quả cao trong các kì thi sắp tới. Ngoài ra, để nâng cao kỹ năng giải toán, bạn có thể tham khảo thêm tài liệu về: bài tập hằng đẳng thức lớp 8, bài tập phân tích đa thức thành nhân tử.

I. Lý thuyết về phép chia đa thức cho đa thức

Chúng ta trình bày phép chia giống như cách chia các số tự nhiên. Với hai đa thức A và B của một biến, khi B khác không, tồn tại duy nhất hai đa thức Q và R sao cho:

A = B . Q + R, với R = 0 hoặc R≠ 0 và bậc của R nhỏ hơn bậc của B

- Nếu R = 0, ta thực hiện phép chia mà không có phần dư.

Nếu R ≠ 0, ta thực hiện phép chia với phần dư.

Có thể sử dụng hằng đẳng thức để tối giản phép chia.

$(A^{3}+B^{3}):(A+B)=A^{2}-AB+B^{2}$ $(A^{3}-B^{3}):(A-B)=A^{2}+AB+B^{2}$ $(A^{2}-B^{2}):(A+B)=A-B$

II. Ví dụ về phép chia đa thức cho đa thức

Ví dụ 1: Sử dụng hằng đẳng thức để thực hiện phép chia sau:

$(125x^{3} + 1) : (5x + 1)$ $(x^{2} –2xy + y^{2}) : (y – x)$

Hướng dẫn giải như sau:

$(125x^{3} + 1) : (5x + 1) = [(5x)^{3} + 1] : (5x + 1) =(5x)^{2}-5x+1 = 25x^{2}-5x+1$ $(x^{2}-2xy+y^{2}) : (y-x) = (x-y)^{2}: [-(x-y)] =-(x-y)=y-x$ $(x^{2}–2xy+y^{2}):(y-x) = (y^{2}-2xy+x^{2}) : (y-x)$ Ví dụ 2: $f\left( x \right) = {x^4} - 2{x^3} - 3{x^2} + 7x - 2$

Hướng dẫn giải:

$\alpha = 3$

$\alpha = - 3$

Dựa vào hướng dẫn trên, chúng ta sẽ có biểu đồ Hoocne như sau:

$g\left( x \right)$ $g\left( x \right) = 1.{x^3} + \left( { - 5} \right).{x^2} + 12.x + \left( { - 29} \right)$

$f\left( x \right) = {x^4} - 2{x^3} - 3{x^2} + 7x - 2$

$f\left( x \right) = \left( {x + 3} \right)\left( {{x^3} - 5{x^2} + 12x - 29} \right) + 85$

* Tuy nhiên không phải lúc nào bài toán cũng yêu cầu thực hiện phép chia đa thức bằng sơ đồ Hoocne. Vậy thì trong một số trường hợp sau đây ta có thể sử dụng sơ đồ:

+ Chia đa thức cho đa thức một cách nhanh nhất.

+ Tìm nghiệm của phương trình bậc 3, phương trình bậc 4, phương trình bậc cao.

+ Phân tích đa thức thành nhân tử (với những đa thức có bậc lớn hơn 2).

III. Cách chia đa thức cho đa thức nâng cao

Tìm thương và số dư khi chia đa thức

- Phương pháp: Từ điều kiện đã cho trong đề bài, ta đặt phép chia là A:B, kết quả được thương là Q và số dư là R.

Tìm điều kiện để đa thức A chia hết cho đa thức B

Ví dụ: $4n^{3}-4n^{2}-n+4$

Hướng dẫn giải

$4n^{3}-4n^{2}-n+4$ $4n^{3}-4n^{2}-n+4=(2n+1)(n^{2}+1)+3$

Do đó, để phép chia hết, điều kiện cần là 3 phải chia hết cho 2n+1. Tức là cần tìm giá trị nguyên của n sao cho 2n+1 là ước của 3. Giải phương trình sau ta được:

$2n+1=3\Leftrightarrow n=1$ $2n+1=1\Leftrightarrow n=0$ $2n+1=-3\Leftrightarrow n=-2$ $2n+1=-1\Leftrightarrow n=-1$

Vậy n = 1; n = 0; n = 2 là các giá trị thỏa mãn điều kiện đề bài.

Áp dụng định lý Bezout khi giải bài toán

Hơn nữa, còn có các dạng bài toán khác như: chia đa thức chứa tham số; chia đa thức với đa thức nguyên hàm.

IV. Bài tập về phép chia đa thức cho đa thức trong chương trình lớp 8

A. Phần tự luận

Bài 1: Tính nhanh:

$(4x^{2}-9y^{2}) : (2x-3y)$ $(27x^{3}-1) : (3x-1)$ $(8x^{3}+1) : (4x^{2}-2x+1)$ $(x^{2}- 3x + xy -3y) : (x + y)$

Phương pháp giải

$(4x^{2}-9y^{2}) : (2x-3y) = [(2x)^{2}–(3y)^{2}] : (2x-3y)=2x+3y$ $(27x^{3}-1) : (3x-1) = [(3x)^{3}-1] : (3x-1) = (3x)^{2} + 3x + 1 = 9x^{2} + 3x + 1$ $(8x^{3}+1):(4x^{2}–2x+1)=[(2x)^{3}+1]:(4x^{2}-2x+1)$ $=(2x+1)[(2x)^{2}–2x+1]:(4x^{2}–2x+1)$ $=(2x+1)(4x^{2}–2x+1):(4x^{2}–2x+1)=2x+1$ $(x^{2}-3x + xy -3y) : (x + y) = [(x^{2}+ xy)-(3x+3y)] : (x + y)$

Bài 2: Thực hiện phép chia:

$\left(-3 x^{3}+5 x^{2}-9 x+15\right):(-3 x+5)$ $\left(5 x^{4}+9 x^{3}-2 x^{2}-4 x-8\right):(x-1)$ $\left(5 x^{3}+14 x^{2}+12 x+8\right):(x+2);$ $\left(x^{4}-2 x^{3}+2 x-1\right):\left(x^{2}-1\right).$

Bài 3: Làm phép chia bằng cách áp dụng hằng đẳng thức:

$\left(x^{8}-2 x^{4} y^{4}+y^{8}\right):\left(x^{2}+y^{2}\right)$ $\left(64 x^{3}+27\right):\left(16 x^{2}-12 x+9\right)$ $\left(x^{3}-9 x^{2}+27 x-27\right):\left(x^{2}-6 x+9\right)$ $\left(x^{3} y^{6} z^{9}-1\right):\left(x y^{2} z^{3}-1\right).$

Bài 4: Sắp xếp các đa thức sau theo lũy thừa giảm của biến rồi làm phép chia:

$\left(13 x+41 x^{2}+35 x^{3}-14\right):(5 x-2) ;$ $\left(16 x^{2}-22 x+15-6 x^{3}+x^{4}\right):\left(x^{2}-2 x+3\right)$ $\left(6 x+2 x^{3}-5-11 x^{2}\right):\left(-x+2 x^{2}+1\right).$ Bài 5: $3 x^{3}+2 x^{2}-7 x+m$ Bài 6 $f(y)=y^{243}+y^{81}+y^{27}+y^{9}+y^{3}+y$ $g(y)=y^{2}-1$

Bài 7: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

${x^3} - 4{x^2} + x + 6$ ${x^3} - 5{x^2} - 2x + 24$ $2{x^4} - {x^3} - 17{x^2} + x + 15$ $3{x^4} + 5{x^3} - 5{x^2} - 5x + 2$

Bài 8:

Thực hiện phép chia đa thức:

${x^5} + 6{x^4} + 3{x^2} - 2x - 10$

$2{x^7} - 8{x^5} + 3{x^3} - 9{x^2} - 10x + 1$

${x^4} + 12{x^2} - 25$

${x^5} - 7{x^4} + 8{x^3} - 4{x^2} - 10x + 13$

Bài 9: Giải các phương trình dưới đây:

$2{x^4} - 5{x^3} + 6{x^2} - 5x + 2 = 0$ $\left( {x + 2} \right)\left( {x - 3} \right)\left( {x + 4} \right)\left( {x - 6} \right) + 6{x^2} = 0$ $\left( {{x^2} + x + 2} \right)\left( {{x^2} + x + 3} \right) = 6$ $2{x^4} - 21{x^3} + 34{x^2} + 105x + 50 = 0$

B. Kiểm tra kiến thức

Bài 1: Kết quả của phép chia ( 7x³ - 7x + 42 ):( x² - 2x + 3 ) là ?

A. - 7x + 14
B. 7x + 14
C. 7x - 14
D. - 7x - 14

Bài 2: Đa thức dư của phép chia x³ + x² - 4x + 7 cho x² - 2x + 5 là ?

A. 3x - 7.
B. - 3x - 8.
C. - 15x + 7.
D. - 3x - 7.

Bài 3: Hệ số a sao cho 4x² - 6x + a chia hết cho x - 3 là ?

A. a = - 18.
B. a = 8.
C. a = 18.
D. a = - 8.

Bài 4: Thực hiện phép chia: (4x⁴ + x + 2x³ - 3x²) : (x² + 1) có số dư là:

A. – x + 7
B. 4x² + 2x - 7
C. 4x² – 2x + 7
D. x – 7

Bài 5: Thực hiện phép chia (3x³ + 2x + 1 ) : (x + 2) có đa thức dư là:

A. 10
B. -9
C. – 15
D. – 27

Bài 6: Thực hiện phép chia (-4x⁴ + 5x² + x ) : (x² + x) ta được kết quả là:

A. – 4x⁴ + 5x² + x = (x² + x).(-4x² - 4x + 9) - 6x
B. – 4x⁴ + 5x² + x = (x² + x).(4x² + 4x + 9) + 12x
C. – 4x⁴ + 5x² + x = (x² + x).(-4x² + 4x + 9) - 8x
D. – 4x⁴ + 5x² + x = (x² + x). ( 4x² - 4x + 9) + 10x

Bài 7: Cho phép chia: (x³ + 9x² + 27x + 27) : (x + 3). Tìm khẳng định sai?

A. Đây là phép chia hết
B. Thương của phép chia là: (x + 3)²C. Thương của phép chia là: x² + 6x + 9
D. Số dư của phép chia là: x – 3 .

Bài 8: Thực hiện phép chia: (x²y + 4xy + 3y ) : (x + 1) ta được thuơng là:

A. xy + 3
B. x + 3y
C. x + y + 3
D. y. (x + 3)

Bài 9: Tìm a để phép chia (x³ – 4x + a): (x – 2) là phép chia hết:

A. a = 0
B. a = 4
C. a = -8
D. a = 8

Bài 10: Kết quả của phép chia (2a³ + 7ab² – 7a² – 2b³) : (2a – b) là

A. (a – b)(a – 2b)
B. (a + b)²C. (a – b)(b – 2a)
D. a – b

Lời giải

Khi đó, ta có 2a³ + 7ab² – 7a² – 2b³

= 2(a³ – b³) – 7ab(a – b)

= 2(a – b)(a² + ab + b²) – 7ab(a – b)

= (a – b)(2a² – ab – 4ab + 2b²)

= (a – b)[a(2a – b) – 2b(2a – b)]

= (a – b)(2a – b)(a – 2b)

Vậy (2a³ + 7ab² – 7a² – 2b³) : (2a – b)

= (a – b)(2a – b)(a – 2b) : (2a – b) = (a – b)(a – 2b)

Đáp án cần chọn là: A

Bài 11: Kết quả của phép chia (x⁴ – x³y + x²y² – xy³) : (x² + y²) là

A. (x – y)
B. x(x – y)
C. x² – y
D. x² + xy

Lời giải

Ta có x⁴ – x³y + x²y² – xy³

= x⁴ + x²y² – (x³y + xy³)

= x²(x² + y²) – xy(x² + y²)

= (x² + y²)(x² – xy) = (x² + y²)x(x – y)

Nên (x⁴ – x³y + x²y² – xy³) : (x² + y²)

= (x² + y²)x(x – y) : (x² + y²) = x(x – y)

Đáp án cần lựa chọn là: B

Bài 12: Xác định giá trị của a để đa thức 27x² + a chia hết cho 3x + 2

A. x = 6
B. a = 12
C. a = -12
D. a = 9

Lời giải: Đáp án C

Bài 13: Xác định giá trị của a để đa thức 10x² – 7x + a chia hết cho 2x – 3

A. a = 24
B. a = 12
C. a = -12
D. a = 9

Lời giải: Đáp án C

Nội dung được phát triển bởi đội ngũ Mytour với mục đích chăm sóc khách hàng và chỉ dành cho khích lệ tinh thần trải nghiệm du lịch, chúng tôi không chịu trách nhiệm và không đưa ra lời khuyên cho mục đích khác.

Nếu bạn thấy bài viết này không phù hợp hoặc sai sót xin vui lòng liên hệ với chúng tôi qua email [email protected]

Các câu hỏi thường gặp

Phép chia đa thức cho đa thức có thể thực hiện như thế nào?

Phép chia đa thức cho đa thức thực hiện giống như phép chia số tự nhiên. Khi chia, tồn tại duy nhất hai đa thức Q và R sao cho A = B.Q + R, với R có thể bằng 0 hoặc không.

Khi nào phép chia đa thức có phần dư?

Khi phép chia đa thức cho đa thức mà phần dư R không bằng 0 và bậc của R nhỏ hơn bậc của đa thức chia, ta có phép chia với phần dư.

Cách chia đa thức cho đa thức bằng sơ đồ Hoocne là gì?

Sơ đồ Hoocne là phương pháp hỗ trợ nhanh khi chia đa thức, tìm nghiệm phương trình bậc cao hoặc phân tích đa thức thành nhân tử. Tuy nhiên, không phải bài toán nào cũng yêu cầu sử dụng phương pháp này.

Làm sao để kiểm tra điều kiện chia hết của một đa thức?

Để kiểm tra điều kiện chia hết, ta cần xác định giá trị của các tham số sao cho đa thức A chia hết cho đa thức B. Ví dụ, khi điều kiện 3 phải chia hết cho 2n+1, ta tìm giá trị của n sao cho điều kiện này thỏa mãn.

Ví dụ nào có thể giúp học sinh hiểu phép chia đa thức cho đa thức?

Các bài tập thực hành với các ví dụ cụ thể, chẳng hạn phép chia như (7x3 - 7x + 42) : (x2 - 2x + 3), giúp học sinh thực hành và củng cố kiến thức về phép chia đa thức.