Chiến lược hiệu quả cho bài Heart of Algebra trong SAT Math

Trong SAT Math, Heart of Algebra là một chủ đề vô cùng quan trọng khi nó được trải đều qua nhiều dạng câu hỏi nhằm kiểm tra toàn diện kiến thức toán học của thí sinh. Tuy đã quen với dạng kiến thức đại số này trong chương trình học trên lớp, áp lực thời gian và cách ra đề bằng tiếng Anh có thể khiến thí sinh lo lắng. Để giúp thí sinh ôn tập một cách hiệu quả, bài viết này sẽ cung cấp cách làm dạng bài Heart of Algebra trong SAT Math, kèm thông tin tổng quan, chiến lược và bài tập luyện tiêu biểu.

Tổng quan về bài Heart of Algebra trong SAT Math

Yêu cầu của những câu hỏi thuộc dạng đề này có thể xoay quanh việc tìm nghiệm cho các phương trình và hệ phương trình, sử dụng đồ thị để mô hình hoá các mối quan hệ, hay xác định phương trình đường thẳng trên đồ thị. Như vậy, dạng bài Heart of Algebra kiểm tra khả năng phân tích thông tin, số liệu một cách hiệu quả, kết hợp nhiều kỹ thuật, cũng như áp dụng toán học vào các tình huống thực tế của thí sinh. Kết quả phần thi này có thể là minh chứng cho khả năng học tập toán học nói chung và đại số nói riêng khi thí sinh bước vào ngưỡng cửa đại học, cũng như khả năng vận dụng trong cuộc sống thường ngày.

Đặc điểm của loại bài Heart of Algebra

Thời gian thực hiện, số lượng câu hỏi

Dạng bài Heart of Algebra chiếm khoảng 35% trong tổng số các câu hỏi phần Toán học, tương đương khoảng 13-15 câu. Vì thời gian cho phần Toán học là 70 phút, nên thí sinh có thể cân nhắc dành ra tương ứng 25 phút cho dạng Heart of Algebra.

Các dạng câu hỏi trong thể loại bài Heart of Algebra

Theo College Board, dạng bài Heart of Algebra bao gồm các dạng câu hỏi sau:

• Các bài toán liên quan tới biểu thức hoặc phương trình tuyến tính 1 biến.

• Các bài toán liên quan tới các bất đẳng thức tuyến tính 1 biến.

• Xây dựng một hàm tuyến tính mô tả mối quan hệ tuyến tính giữa 2 đại lượng.

• Các bài toán liên quan tới các hệ thống bất đẳng thức tuyến tính 2 biến.

• Các bài toán liên quan tới các hệ thống 2 phương trình tuyến tính 2 biến.

• Giải quyết các phương trình (hoặc bất đẳng thức) tuyến tính 1 biến.

• Giải quyết các hệ thống 2 phương trình tuyến tính 2 biến.

• Giải thích các biến số và hằng số trong biểu thức cho các hàm tuyến tính.

• Hiểu các liên kết giữa phương trình đại số và đồ thị của chúng.

Tìm hiểu thêm: SAT Math formulas: Các công thức thường gặp.

Các yếu tố đánh giá quan trọng

Nhìn chung, phần thi SAT Math sẽ đánh giá kiến thức toán học và khả năng vận dụng linh hoạt của thí sinh vào đa dạng chuyên đề nói chung và dạng Heart of Algebra nói riêng. Tuy đơn vị tổ chức thi The College Board không đưa ra những tiêu chí đánh giá cụ thể cho phần thi này, nhưng thí sinh có thể tham khảo để cải thiện những yếu tố dưới đây:

Về kiến thức toán học, thí sinh cần:

• Hiểu biết về đại số cơ bản: Để giải quyết các bài toán trong Heart of Algebra, thí sinh cần phải hiểu và áp dụng kiến thức về đại số cơ bản, bao gồm cách làm việc với biểu thức đại số, phương trình và hệ phương trình tuyến tính.

• Xác định và sử dụng biểu thức: Thí sinh cần biết cách xác định các biểu thức tuyến tính từ một tình huống cụ thể và sử dụng chúng để giải quyết các vấn đề.

• Giải quyết phương trình và hệ phương trình: Thí sinh cần có khả năng giải quyết các phương trình tuyến tính đơn lẻ và hệ phương trình tuyến tính. Điều này bao gồm việc sử dụng phương pháp hợp lý để tìm ra giá trị của biến số trong các phương trình này.

• Hiểu biểu đồ và đồ thị: Đối với các câu hỏi liên quan đến biểu đồ và đồ thị tuyến tính, thí sinh cần phải biết cách đọc và hiểu thông tin trên biểu đồ và đồ thị, và sử dụng chúng để trả lời các câu hỏi.

Về mặt kỹ năng mềm, thí sinh cần:

• Kỹ năng suy luận và giải quyết vấn đề: Không chỉ cần biết làm việc với công thức và biểu thức, thí sinh cũng cần phải có khả năng suy luận logic và giải quyết vấn đề để áp dụng kiến thức của họ vào các tình huống thực tế.

• Tốc độ và quản lý thời gian: SAT Math nói chung và Heart of Algebra nói riêng có thời gian hạn chế, vì vậy thí sinh cần phải có kỹ năng quản lý thời gian tốt để hoàn thành bài thi một cách hiệu quả.

Phương pháp thực hiện loại bài Heart of Algebra trong SAT Math

Vì các câu hỏi trong SAT Math nói chung và Heart of Algebra nói riêng được viết bằng tiếng Anh và có dung lượng dài, nên để thí sinh không bị bối rối trước lượng thông tin khá lớn, cũng như có cái nhìn rõ ràng hơn về câu hỏi, bước đầu tiên thí sinh nên thực hiện là phân tích đề bài, bao gồm: đề bài đưa ra những dữ liệu nào và yêu cầu tìm thông tin gì.

Bước 2: Hệ thống hoá những thông tin đã có và xây dựng biểu thức/công thức chung để tìm câu trả lời

Sau khi nắm rõ yêu cầu đề bài, nhiệm vụ tiếp theo của thí sinh là liên kết những dữ liệu đó với công thức/kiến thức đã học. Thí sinh lưu ý các dạng kiến thức quan trọng liên quan tới phương trình, hệ phương trình tuyến tính 1 biến và 2 biến, giải phương trình/hệ phương trình, hay cách xác định đồ thị từ phương trình đã có và ngược lại.

Bước 3: Giải quyết phương trình hoặc bài toán

Sau khi có được biểu thức cần thiết, bước thứ 3 trong cách làm dạng bài Heart of Algebra trong SAT MAth thí sinh cần thực hiện là dùng biểu thức đó để giải quyết bài toán, tuỳ theo yêu cầu tìm nghiệm, biểu diễn, hay các yêu cầu khác.

Bước 4: Kiểm tra lại kết quả và thử lại (nếu cần)

Nếu thí sinh chưa quá chắc chắn về đáp án của mình, hoặc còn thừa một chút thời gian sau khi làm xong các dạng bài còn lại, thí sinh có thể làm lại các bước, hoặc thử lại đáp án với dữ liệu đã cho.

Ví dụ minh họa

Bước 1: Phân tích đề bài.

Theo bước 1, đề bài đã đưa ra các dữ liệu như sau: Miguel thu $50 cho 2 giờ chỉnh sửa bản thảo đầu tiên, và $20 cho mỗi giờ sau 2 giờ đó. Đề bài yêu cầu thí sinh tìm số tiền C nếu công việc tốn của anh ấy x giờ để chỉnh sửa bản thảo, với điều kiện x (giờ) > 2 (giờ).

Bước 2: Hệ thống hoá những thông tin đã có và xây dựng biểu thức/công thức chung để tìm câu trả lời.

Thí sinh có C đại diện cho số tiền nhận được và x đại diện cho số giờ. Vì 2 giờ đầu tiên Miguel thu một số không đổi là $50, nên con số 50 này là hằng số, và mỗi giờ tiếp theo sau 2 giờ đó thu $20, tức thu nhập trong 1 giờ phát sinh thêm là 20 (x - 2). Thí sinh cần lưu ý trừ 2 vì 2 giờ đó đã có mức lương tổng là $50. Như vậy, thí sinh có thể xây dựng được biểu thức sau:

C = 50 + 20(x − 2) với (x > 2).

Bước 3: Giải quyết phương trình hoặc bài toán.

Với yêu cầu đề là biểu diễn C theo x, hay chính là phương trình đã có ở bước 2. Tuy nhiên, thí sinh khi đối chiếu đáp án có thể thấy rằng phương trình đưa ra ở bước 2 không khớp với đáp án nào trong các đáp án đã cho. Như vậy, nhiệm vụ của thí sinh ở đây là biến đổi phương trình đó sao cho tương thích với một trong bốn đáp án. Thí sinh thực hiện khai triển:

C = 50 + 20 (x-2) = 50 + 20x - 40 = 20x + 10.

Như vậy, đáp án là B.

Bước 4: Kiểm tra lại kết quả và thử lại (nếu cần).

Thí sinh có thể đặt tình huống Miguel chỉnh sửa bản thảo trong 5 giờ, như vậy, 2 giờ đầu có giá $50, còn 3 giờ sau có giá 20 x 3 = 60, tức $60. Tổng cộng, thu nhập trong 5 giờ là $110. Thí sinh tiếp tục thay dữ liệu vào biểu thức C, có C = 20 x 5 + 10 = 110. Như vậy, kết quả đồng nhất chứng minh rằng đáp án B là chính xác.

Thực hành

Câu hỏi 1: Giải hệ phương trình 2 biến.

−2x = 4y + 6

2(2y + 3) = 3x − 5

What is the solution (x, y) to the system of equations above?

A) (1, 2)

B) (1, −2)

C) (−1, −1)

D) (−1, 1)

Câu hỏi 2: Xác định bất đẳng thức.

Câu hỏi 3: Giải bài toán dựa trên biểu đồ.

Đáp án cùng lời giải

Câu hỏi số 1

Đáp án B.

Bước 1: Phân tích đề bài.

Đề bài cho thí sinh một hệ phương trình với hai biến x và y. Đề bài yêu cầu tìm nghiệm x và y đó.

Bước 2: Hệ thống hoá những thông tin đã có và xây dựng biểu thức/công thức chung để tìm câu trả lời.

Với đề bài yêu cầu giải hệ phương trình, và SAT Math Digital cho phép thí sinh sử dụng máy tính xuyên suốt bài thi, thí sinh có thể bấm máy hoặc làm theo hai cách giải truyền thống là hoặc phương pháp thế, hoặc cộng đại số.

Bước 3: Giải quyết phương trình hoặc bài toán.

Ví dụ với phương pháp thế:

−2x = 4y + 6 (1)

2(2y + 3) = 3x − 5 (2)

(1) => x = -2y - 3

Thay (1) vào (2) => 4y +3 = 3 (-2y - 3) - 5 => y = -1.

Thay y = -1 vào (1) hoặc (2), có x = 2.

Bước 4: Thử lại.

Thí sinh có thể lấy giá trị bất kỳ thay vào x của cả hệ phương trình và kiểm tra xem giá trị y sau đó có trùng nhau không. Nếu trùng khớp, đáp án về hệ phương trình của thí sinh là chính xác.

Câu hỏi số 2

Bước 1: Phân tích đề bài.

Đề bài đưa ra dữ liệu như sau: John chạy bộ với tốc độ 6 dặm một giờ và đạp xe với tốc độ 12 dặm một giờ. Mục tiêu của anh ấy là chạy bộ và đạp xe tổng cộng ít nhất 9 dặm trong tổng thời quan không quá 1 giờ. Đề bài yêu cầu thông tin về hệ bất phương trình biểu diễn các dữ liệu đó, với j dặm cho quãng đường chạy bộ và b dặm cho quãng đường đạp xe.

Bước 2: Hệ thống hoá những thông tin đã có và xây dựng biểu thức để tìm câu trả lời.

Với dữ liệu đầu tiên là tổng quãng đường chạy bộ và đạp xe ít nhất 9 dặm, thí sinh có bất phương trình thứ nhất là tổng quãng đường lớn hơn hoặc bằng 9 dặm.

Với dữ liệu thứ 2 liên quan tới thời gian, thí sinh có thể dễ dàng liên hệ với công thức S = v x t (quãng đường = vận tốc x thời gian), hay đối với thời gian là t = S/v.

Bước 3: Giải quyết phương trình hoặc bài toán.

Thí sinh có bất phương trình thứ nhất: j + b ≥ 9.

Với vận tốc đã có là 6 dặm một giờ và 12 dặm một giờ, thí sinh tiếp tục có bất phương trình thứ 2:

j/6 + b/12 ≤ 1.

Như vậy, đáp án là A.

Bước 4: Thử lại.

Thí sinh có thể lấy giá trị bất kỳ thay vào j và b của cả hệ bất phương trình và kiểm tra xem giá trị của chúng có thoả mãn cùng lúc cả hai điều kiện không (cụ thể, có lớn hơn bằng 9 và nhỏ hơn bằng 1 không). Nếu có, đáp án về hệ bất phương trình của thí sinh là chính xác.

Câu hỏi số 3

Bước 1: Phân tích đề bài.

Đề bài đưa ra dữ liệu về một đường thẳng k được biểu diễn trong trục toạ độ xOy. Đề bài yêu cầu thí sinh tìm ra biểu thức của đường thẳng song song với đường thẳng k đó.

Bước 2: Hệ thống hoá những thông tin đã có và xây dựng biểu thức/công thức chung để tìm câu trả lời.

Gọi đường thẳng cần tìm là đường thẳng l. Thí sinh có thể liên hệ với kiến thức đã học là đường thẳng l và đường thẳng k vuông góc khi và chỉ khi tích của hệ số góc của chúng là −1.

Như vậy, thí sinh cần tìm ra hệ số góc của đường thẳng k, được cho biết từ biểu thức của đường thẳng k. Khi lập biểu thức cho đường thẳng k, thí sinh cần đưa ra được công thức lập phương trình tuyến tính nói chung: y = ax + b. Thí sinh lần lượt thay hai cặp nghiệm là (3;0) và (0;6), là kết quả quan sát được từ trục toạ độ, vào phương trình trên, và sau đó giải hệ phương trình để có được giá trị a và b.

Như vậy, phương trình đường thẳng k là y = -2x + 6. Hệ số góc của k là -2.

Bước 3: Giải quyết phương trình hoặc bài toán.

Gọi hệ số góc của đường thẳng l là z. Với công thức đã có, thí sinh có thể dễ dàng thay số để tìm hệ số góc của l:

-2 x z = -1

=> z = 1/2

Với giá trị hệ số góc như vậy, đáp án C là chính xác.

Bước 4: Thử lại.

Thí sinh có thể biểu diễn đường thẳng l trên trục toạ độ và kiểm tra xem nó có vuông góc với đường thẳng k không. Nếu có, đáp án về phương trình đường thẳng l của thí sinh là chính xác.

Một vài lưu ý dành cho thí sinh khi thực hiện loại bài Heart of Algebra

• Hiểu rõ kiến thức cơ bản: Trước hết, thí sinh cần nắm vững kiến thức cơ bản về đại số, đặc biệt là về phương trình tuyến tính, đồ thị hàm số, và cách giải các hệ phương trình tuyến tính.

• Đặt ra mục tiêu: Đọc câu hỏi cẩn thận và xác định mục tiêu của bài toán. Điều này giúp thí sinh tránh bị mất phương hướng và tập trung vào việc giải quyết vấn đề cụ thể.

• Sử dụng công thức: Ghi nhớ cách áp dụng các công thức đại số khi cần thiết. 

• Xử lý dữ liệu: Đôi khi, bài toán sẽ cung cấp dữ liệu cụ thể. Thí sinh cần biết cách sử dụng dữ liệu này để xây dựng phương trình và giải quyết bài toán.

• Tính toán cẩn thận: Đảm bảo rằng thí sinh thực hiện tính toán một cách cẩn thận và kiểm tra lại kết quả. Sai sót nhỏ có thể dẫn đến mất điểm.

• Thử nghiệm các giá trị: Khi cần, thí sinh có thể thử nghiệm các giá trị để kiểm tra xem chúng có thể thỏa mãn phương trình hay không.

• Làm bài linh hoạt: Không bao giờ bám sát vào một phương pháp giải cụ thể. SAT Math thường cung cấp nhiều phương pháp tiếp cận khác nhau để giải quyết cùng một vấn đề.

Kết luận

Tham khảo:

• SAT Study Guide, The College Board, 2020, SAT Study Guide 2020 - Chapter 16: Heart of Algebra.