Chiến lược và bài tập cho dạng Factoring Quadratic và Polynomial Expressions trong SAT Math

Khái quát về dạng bài Factoring quadratic và polynomial expressions

Các câu hỏi trắc nghiệm sẽ yêu cầu người học phân tích các biểu thức bậc hai và đa thức thành nhân tử. Mục tiêu là tìm giá trị của một biểu thức, giúp giải phương trình nhanh hơn hoặc làm cho biểu thức phức tạp trở nên dễ hiểu hơn. Các phương pháp phân tích thường gặp gồm tách hạng tử, tìm thừa số chung, hoặc sử dụng hằng đẳng thức đáng nhớ.

Ví dụ: x2−9=(x−3)(x+3)

Chiến thuật thực hiện bài tập

Phân tích biểu thức bậc hai dưới dạng:$x^2+bx+c$ (a=1)

Bước 1: Tìm hệ số b và c trong biểu thức, trong đó b là hệ số của x và c là hằng số.

Bước 2: Tìm hai số thỏa mãn được 2 điều kiện sau:

• Tổng của hai số bằng hệ số b.

• Tích của hai số bằng hằng số c.

Bước 3: Viết lại số hạng trung gian bx bằng tổng của hai số vừa tìm được.

Bước 4: Nhóm và phân tích các số hạng thành 2 cặp.

Bước 5: Tìm ước chung lớn nhất của mỗi cặp và đặt nhân tử chung.

Bước 6: Kiểm tra lại hai nhân tử: Nhân kết quả với nhau để đảm bảo chúng khai triển đúng với biểu thức bậc hai của đề bài ban đầu.

Ví dụ: Factor the quadratic expression 2x2+8x+6

Trước đó người học có thể đặt thừa số chung là 2 để dễ phân tích hơn. Sau đó phân tích biểu thức:x2+4x+3

1. Hệ số b = 4, c = 3 

2. Số 1 và 3 thỏa mãn điều kiện 

• Tổng: 1 + 3 = b 

• Tích: 1 x 3 = c

1. Viết lại → $x^2+x+3x+3$

2. Nhóm và phân tích các số hạng: $(x^2+x)+(3x+3)$

3. Đặt nhân tử chung: $x(x+1)+3(x+1)\to (x+1)(x+3)$

4. Nhân hai nhân tử với nhau: $x^2+3x+x+3=x^2+4x+3$ (trùng với đề bài)

Vậy đáp án là: 2(x+1)(x+3)

Phân tích biểu thức bậc hai dưới dạng$a{x}^2+bx+c$

Người học áp dụng phương pháp này khi không thể đặt nhân tử chung để rút gọn.

Bước 1: Tìm hệ số a, b và c trong biểu thức, trong đó.

• a là hệ số của $x^2$

• b là hệ số của x

• c là hằng số

Bước 2: Tìm hai số thỏa mãn được 2 điều kiện sau:

• Tổng của hai số bằng hệ số b.

• Tích của hai số bằng tích của hệ số a và số c (a x c)

Bước 3,4,5,6: Làm tương tự các bước biểu thức bậc hai ở dạng x2+bx+c (a=1)

Ví dụ: Factor the quadratic expression 2x2+9x−5

1. Hệ số a = 2, b = 9, c = -5

2. Tích của a và c = 2x(-5) = -10

Số 10 và -1 thỏa mãn điều kiện:

• Tổng: 10 + (-1) = 9 

• Tích: 10×(−1)=−10

1. Viết lại → $2x^2+10x-x-5$

2. Nhóm và phân tích các số hạng:  $(2x^2+10x)+(-x-5)$

3. Đặt nhân tử chung: $2x(x+5)-1(x+5)\to (x+5)(2x-1)$

4. Nhân hai nhân tử với nhau: $2x^2-x+10x-5\to 2x^2+9x-5$ (trùng với đề bài)

Vậy đáp án là: 2x2−x+10x−5

Giải thích biểu thức bậc hai thông qua các hằng đẳng thức quen thuộc

Bước 2: Thay thế các giá trị đã cho vào hằng đẳng thức.

Bước 3: Thay thế các giá trị ở bước 3 vào biểu thức gốc.

Bước 4: Thực hiện phép tính:

Ví dụ: If x+y=6 and  x-y=2, what is the value of (x2−y2)(x2−2xy+y2)?

1. Dựa vào đề bài, người học chọn hằng đẳng thức:

• Difference of squares: $x^2-y^2=(x+y)(x-y)$

• Square of difference: $x^2-2xy+y^2={(x-y)}^2$

1. Theo đề bài ta có: x+y=6 và  x-y=2

• $x^2-y^2=(x+y)(x-y)=6.2=12$

• $x^2-2xy+y^2={(x-y)}^2=2^2=4$

1. Thay thế các số vừa mới tìm được vào đề bài:

(x2−y2)(x2−2xy+y2)=12.4=48

1. Vậy đáp án là 48

Một số điều cần lưu ý 

• Kiểm tra thừa số chung: Trước khi phân tích một biểu thức bậc hai hoặc đa thức, người học nên kiểm tra xem có thể đặt thừa số chung không. Việc này giúp đơn giản hóa biểu thức, làm cho việc xử lý các bước tiếp theo dễ dàng hơn. Ví dụ, đối với biểu thức $4x^2+8x+4$, người học có thể đặt thừa số chung là 4: $4(x^2+2x+1)$

• Ghi nhớ các hằng đẳng thức đáng nhớ: Do trong phần thi SAT Math sẽ không cung cấp sẵn các hằng đẳng thức nên người học cần tự ghi nhớ để áp dụng vào bài thi của mình. Làm thường xuyên bài tập liên quan đến các hằng đẳng thức cũng giúp ghi nhớ lâu dài hơn.

• Cẩn thận dấu trừ: Cần kiểm tra cẩn thận dấu trừ vì chúng có thể làm thay đổi kết quả của các phép tính.

• Quy tắc phép trừ:

  • Một số dương cộng với một số âm, cho ra phép tính trừ. Ví dụ: 5+(−3)=5−3=2.

  • Một số dương trừ với một số âm, cho ra phép tính cộng. Ví dụ: 5−(−3)=5+3=8.

  • Nhân hoặc chia hai số cùng dấu (cùng nhau dương hoặc cùng âm), kết quả là dương. Ví dụ: (−3)×(−2)=6.

  • Nhân hoặc chia hai số khác dấu (một dương và một âm), kết quả là âm. Ví dụ: (−3)×2=−6.

  • Khi đưa dấu trừ ra khỏi dấu ngoặc đơn để bỏ ngoặc thì các dấu còn lại cũng cần đối. Ví dụ: (-2x+3y-6) = -2x-3y+6.

Bài tập thực hành

A. −6(−2x2+4xy−5y2)

B. −6(−2x2−4xy+5y2)

C. −6(2x2+4xy−5y2)

D. −6(2x2−4xy+5y2)

Câu 2: Factor the quadratic expression: 3x2+11x−4

A. (x-4) (3x+1)

B. (x+4) (3x−1)

C. (x-3) (4x+1)

D. (x+3) (4x-1)

Câu 3: If x2+y2=p and xy=q, which of the following is equivalent to 9p−6q?

A. (3x−3y)2

B. (3x+3y)2

C.(6x−6y)2

D. (6x+6y)2

Câu 4: Which of the following is an equivalent form of: (2.3x+3.1)2−(6.5x2−9.6)?

A. −4.6x2+6.2x−1.44

B. −1.21x2−14.26x+19.21

C. −4.6x2−6.2x+1.44

D.  −1.21x2+14.26x−19.21

Đáp án

Câu 1: D. −6(2x2−4xy+5y2)

Gợi ý giải: Lưu ý đến các dấu.

Câu 2: B. (x+4) (3x−1)

Gợi ý giải: Phân tích biểu thức bậc hai ở dạng.

Câu 3: (3x−3y)2

Gợi ý giải: Áp dụng hằng đẳng thức đáng nhớ.

4z+8y=4(a2+b2)+8(ab)=4a2+8ab+4b2=(2a+2b)2

Câu hỏi 4: B. $-1.21x^2-14.26x+19.21$

Gợi ý để giải: 

1. Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ với biểu thức $(2.3x+3.1{)}^2$

2. Chú ý đến dấu trừ khi bỏ dấu ngoặc

3. Gộp lại các hệ số và hằng số tương đồng

Tổng kết lại