Chức năng đặc trưng (trong lý thuyết xác suất)

Trong lý thuyết xác suất và thống kê, chức năng đặc trưng (CF) của một biến ngẫu nhiên có giá trị thực là mô tả tổng quát về phân phối xác suất của biến đó. Nếu biến ngẫu nhiên có hàm mật độ xác suất, thì chức năng đặc trưng là biến đổi Fourier của hàm mật độ. Điều này cung cấp một cách tiếp cận khác để phân tích dữ liệu so với việc làm việc trực tiếp với hàm mật độ xác suất hoặc hàm phân phối tích lũy. Một số kết quả đơn giản đặc biệt áp dụng cho chức năng đặc trưng của các phân phối được xác định bởi tổng trọng số của các biến ngẫu nhiên.

Ngoài các phân phối một biến, chức năng đặc trưng còn có thể được xác định cho các biến ngẫu nhiên dạng vector hoặc ma trận, và có thể mở rộng cho các trường hợp tổng quát hơn.

Chức năng đặc trưng luôn tồn tại khi áp dụng cho một hàm với đối số thực, khác với hàm sinh mô men. Có mối liên hệ giữa hành vi của chức năng đặc trưng của một phân phối và các tính chất của phân phối, như sự tồn tại của các mô men và sự tồn tại của hàm mật độ.

Giới thiệu

Chức năng đặc trưng mang đến một phương pháp khác để mô tả một biến ngẫu nhiên, tương tự như hàm phân phối tích lũy:

$F_X\left(x\right)=E<!--\; \; -->\left[1_{\{X\le <!--\; \le \; -->x\}}\right]$

(trong đó 1_{{X ≤ x}} là hàm chỉ thị — giá trị của nó là 1 khi X ≤ x, và 0 trong các trường hợp còn lại), chức năng đặc trưng,

${\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_X\left(t\right)=E<!--\; \; -->\left[e^{itX}\right],$

cũng hoàn toàn xác định hành vi và đặc điểm của phân phối xác suất của một biến ngẫu nhiên X. Hai phương pháp này tương đương với nhau, nghĩa là nếu bạn biết một trong hai hàm, bạn có thể tìm ra hàm còn lại. Tuy nhiên, chúng cung cấp những cái nhìn khác nhau về các đặc tính của biến ngẫu nhiên. Hơn nữa, trong một số tình huống cụ thể, có thể có sự khác biệt về việc mỗi hàm có thể được biểu diễn bằng các hàm tiêu chuẩn đơn giản hay không.

Khi hàm mật độ của một biến ngẫu nhiên đã được xác định, hàm đặc trưng chính là biến đổi Fourier của nó, tức là mỗi hàm là biến đổi Fourier của hàm kia. Nếu một biến ngẫu nhiên có hàm sinh mô men $M_X\left(t\right)$, thì miền xác định của hàm đặc trưng có thể mở rộng ra mặt phẳng phức, và ta có

${\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_X(-<!--\; -\; -->it)=M_X\left(t\right).$

Lưu ý rằng hàm đặc trưng của một phân phối xác suất luôn tồn tại, ngay cả khi hàm mật độ xác suất và hàm sinh mô men có thể không tồn tại.

Phương pháp sử dụng hàm đặc trưng đặc biệt hữu ích trong phân tích tổ hợp tuyến tính của các biến ngẫu nhiên độc lập: một chứng minh cổ điển của Định lý giới hạn trung tâm (CLT) sử dụng hàm đặc trưng và định lý liên tục Lévy. Một ứng dụng quan trọng khác là trong lý thuyết khai triển của các biến ngẫu nhiên.

Khái niệm

Đối với một biến ngẫu nhiên vô hướng X, hàm đặc trưng được định nghĩa là giá trị kỳ vọng của e, trong đó i là đơn vị ảo, và t ∈ R là đối số của hàm đặc trưng:

$\{\begin{array}{c}{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_X:R\to <!--\; \to \; -->C\\ {\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_X\left(t\right)=E<!--\; \; -->\left[e^{itX}\right]={\int <!--\; \int \; -->}_R{e}^{itx}d{F}_X\left(x\right)={\int <!--\; \int \; -->}_R{e}^{itx}{f}_X\left(x\right)dx={\int <!--\; \int \; -->}_0^1{e}^{it{Q}_X\left(p\right)}dp\end{array}$

Tại đây, FX là hàm phân phối tích lũy của X, và tích phân thuộc loại Riemann–Stieltjes. Nếu biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ xác suất fX, thì hàm đặc trưng chính là biến đổi Fourier của nó với số mũ phức có đổi dấu. QX(p) là hàm ngược của hàm phân phối tích lũy của X, hay còn gọi là hàm phân vị (quantile function) của X. Quy ước cho các hằng số trong định nghĩa hàm đặc trưng này có thể khác với quy ước thông thường của biến đổi Fourier. Ví dụ, một số tác giả có thể định nghĩa φX(t) = E[e], về cơ bản là đổi tham số. Một ký hiệu khác có thể thấy trong tài liệu là $\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{p}$ là hàm đặc trưng của một độ đo xác suất p, hoặc $\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{f}$ là hàm đặc trưng của một mật độ f.

Trường hợp tổng quát

• Khi X là một vectơ ngẫu nhiên có k chiều, thì đối với t ∈ R

với $t^T$ là chuyển vị của vectơ $t$,

• Khi X là một ma trận ngẫu nhiên có kích thước k × p, thì đối với t ∈ R

${\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_X$

( t ) = E ⁡ [ exp ⁡ ( i tr ⁡ ( t T X ) ) ] , {displaystyle arphi _{X}(t)=operatorname {E} left[exp left(ioperatorname {tr} (t^{T}!X) ight) ight],}
với $\mathrm{tr}<!--\; \; -->(\cdot <!--\; \cdot \; -->)$ là toán tử vết,

• Khi X là một biến ngẫu nhiên phức, thì đối với t ∈ C

${\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_X\left(t\right)=E<!--\; \; -->\left[\exp <!--\; \; -->\left(i\mathrm{Re}<!--\; \; -->\left(\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{t}X\right)\right)\right],$
trong đó $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{t}$ là liên hợp phức của $t$ và $\mathrm{Re}<!--\; \; -->\left(z\right)$ là phần thực của số phức $z$.

Ví dụ

Trích dẫn

Nguồn

Liên kết bên ngoài

• Hazewinkel, Michiel biên tập (2001), “Hàm đặc trưng”, Từ điển Toán học, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4