Chức năng hợp nhất

Trong toán học, chức năng hợp là một phép toán nhận hai hàm số f và g, cho ra một hàm số h với công thức h(x) = g(f(x)). Trong phép toán này, hàm số f : X → Y và g : Y → Z được kết hợp để tạo ra một hàm mới biến x thuộc X thành g(f(x)) thuộc Z.

Chức năng hợp này thường được ký hiệu là g ∘ f: X → Z, được định nghĩa bởi (g ∘ f )(x) = g(f(x)) với mọi x thuộc X. Ký hiệu g ∘ f đọc là 'g tròn f ', 'g hợp f', 'g của f', hoặc 'g trên f '.

Hợp của hàm là một trường hợp đặc biệt của hợp quan hệ, do đó tất cả các tính chất của hợp quan hệ cũng áp dụng cho hợp của các hàm. Hợp của hàm còn có thêm một số tính chất đặc trưng khác.

Ví dụ minh họa

• Hợp của hàm trong tập hữu hạn: Nếu f = {(1, a), (2, b), (3, c), (4, d)}, và g = {(a, 6), (b, 5), (c, 4), (d, 3), (e, 2), (f, 1)}, thì g ∘ f = {(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3)}.
• Hợp của hàm trên tập số thực: Nếu f: ℝ → ℝ (với ℝ là tập các số thực) được định nghĩa bởi f(x) = 2x + 4 và g: ℝ → ℝ cho bởi g(x) = x, thì:

(f ∘ g)(x) = f(g(x)) = f(x) = 2x + 4

(g ∘ f)(x) = g(f(x)) = g(2x + 4) = (2x + 4).

• Nếu độ cao của một chiếc máy bay tại thời điểm t được xác định bởi hàm số h(t), và nồng độ oxy tại độ cao x được mô tả bởi hàm số o(x), thì (o ∘ h)(t) biểu thị nồng độ oxy xung quanh máy bay ở thời điểm t.

Đặc điểm

Hợp của hàm số luôn có tính chất kết hợp—một thuộc tính từ hợp của quan hệ. Nghĩa là, nếu f, g, và h là ba hàm số với tập xác định và tập giá trị tương ứng, thì f ∘ (g ∘ h) = (f ∘ g) ∘ h, với các dấu ngoặc chỉ ra thứ tự hợp hàm. Vì không có sự khác biệt nào giữa cách đặt dấu ngoặc, ta có thể bỏ chúng mà không gây hiểu nhầm.

Theo nghĩa chính xác, hàm hợp g ∘ f chỉ có thể được hình thành nếu miền giá trị của f trùng với miền xác định của g; trong nghĩa rộng hơn, chỉ cần miền giá trị của f là tập con của miền xác định của g. Để thuận tiện, thường thì người ta mặc định thu hẹp miền xác định của f sao cho f chỉ cho ra giá trị nằm trong miền xác định của g; chẳng hạn, với hàm f : ℝ → (−∞,+9] định nghĩa bởi f(x) = 9 − x và g : [0,+∞) → ℝ cho bởi g(x) = √x, thì hàm hợp g ∘ f được định nghĩa trên khoảng [−3,+3] với g ∘ f= √9 − x.

Hàm số g và f được xem là giao hoán với nhau nếu g ∘ f = f ∘ g. Tính giao hoán là một đặc tính đặc biệt, chỉ có ở một số hàm và trong những trường hợp nhất định. Ví dụ, | x | + 3 = | x + 3 | chỉ đúng khi x ≥ 0. Hình bên cạnh minh họa cho một hàm hợp của hai hàm không giao hoán.

Hợp của hai hàm đơn ánh luôn là đơn ánh. Tương tự, hợp của hai hàm toàn ánh cũng sẽ là toàn ánh, và hợp của hai hàm song ánh sẽ tạo thành một hàm song ánh. Hàm ngược của một hàm hợp (nếu tồn tại) thỏa mãn tính chất (f ∘ g) = g ∘ f.

Đạo hàm của hàm hợp từ các hàm khả vi có thể được tính thông qua quy tắc dây chuyền. Đạo hàm bậc cao của các hàm này được biểu diễn bởi công thức Faà di Bruno.

Monoid hợp

Giả sử có hai (hoặc nhiều hơn) hàm số f: X → X, g: X → X có cùng miền xác định và miền giá trị; chúng thường được gọi là biến đổi. Khi đó, ta có thể xây dựng một chuỗi các biến đổi hợp với nhau, chẳng hạn như f ∘ f ∘ g ∘ f. Những chuỗi như vậy có cấu trúc đại số của một monoid, được gọi là monoid biến đổi hoặc (ít gặp hơn) monoid hợp. Nhìn chung, monoid biến đổi có thể có cấu trúc rất phức tạp. Một ví dụ điển hình là đường cong de Rham. Tập hợp tất cả các hàm số f: X → X được gọi là nửa nhóm biến đổi toàn phần hoặc nửa nhóm đối xứng trên X.

Nếu tất cả các phép biến đổi đều là song ánh (do đó có hàm nghịch đảo), thì tập hợp mọi cách kết hợp những hàm này tạo thành một nhóm biến đổi; chúng ta nói rằng nhóm này được sinh ra từ những hàm đó. Một kết quả quan trọng trong lý thuyết nhóm, định lý Cayley, khẳng định rằng bất kỳ nhóm nào cũng đều là một nhóm con của một nhóm hoán vị (xét theo phép đẳng cấu).

Tập hợp tất cả các hàm song ánh f: X → X cấu thành một nhóm dưới phép hợp hàm, được gọi là nhóm đối xứng.