Chức năng nghịch đảo

Trong toán học, hàm nghịch đảo của hàm f (hay còn gọi là hàm đảo ngược của f) là hàm hoàn tác lại các phép toán của hàm f. Hàm nghịch đảo f chỉ tồn tại khi f là một hàm song ánh, và nếu tồn tại, nó được ký hiệu là $f^{-<!--\; -\; -->1}.$

Xét hàm $f:<!--\; :\; -->X\to <!--\; \to \; -->Y$, hàm nghịch đảo $f^{-<!--\; -\; -->1}:<!--\; :\; -->Y\to <!--\; \to \; -->X$ được mô tả như sau: hàm này ánh xạ mỗi phần tử $y\in <!--\; \in \; -->Y$ về một phần tử duy nhất $x\in <!--\; \in \; -->X$ sao cho f(x) = y.

Ví dụ, xét hàm thực cho giá trị thực như sau: f(x) = 3x − 4. Hàm f thực hiện nhân giá trị đầu vào với 3 rồi trừ 4 khỏi kết quả. Để tìm lại giá trị gốc từ kết quả, ta thực hiện ngược lại: cộng 4 vào đầu vào và chia kết quả cho 3. Nghịch đảo của f là hàm $f^{-<!--\; -\; -->1}:<!--\; :\; -->R\to <!--\; \to \; -->R$ được định nghĩa như sau:

Khái niệm

Xét hàm số f với miền định nghĩa là tập X và tập giá trị là Y. Hàm f được gọi là khả nghịch nếu tồn tại hàm g từ Y về X sao cho $g\left(f\right(x\left)\right)=x$ với mọi $x\in <!--\; \in \; -->X$ và $f\left(g\right(y\left)\right)=y$ với mọi $y\in <!--\; \in \; -->Y$.

Khi f là khả nghịch, tồn tại duy nhất một hàm g thỏa mãn điều kiện đó. Hàm g được gọi là hàm nghịch đảo của f và thường được ký hiệu là f, ký hiệu này do John Frederick William Herschel giới thiệu vào năm 1813.

Hàm f là khả nghịch nếu và chỉ nếu nó là song ánh. Điều này có nghĩa là nếu điều kiện $g\left(f\right(x\left)\right)=x$ với mọi $x\in <!--\; \in \; -->X$ dẫn đến f là đơn ánh và điều kiện $f\left(g\right(y\left)\right)=y$ với mọi $y\in <!--\; \in \; -->Y$ dẫn đến f là toàn ánh.

Hàm nghịch đảo của f có thể được diễn đạt như sau

$f^{-<!--\; -\; -->1}\left(y\right)=(\text{phần tử duy nhất }x\in <!--\; \in \; -->X\text{ sao cho }f(x)=y)$.

Đảo ngược và tổ hợp

Nhắc lại, nếu f là hàm khả nghịch với miền X và đối miền Y, thì

$f^{-<!--\; -\; -->1}\left(f\left(x\right)\right)=x$, với mọi $x\in <!--\; \in \; -->X$ và $f\left(f^{-<!--\; -\; -->1}\left(y\right)\right)=y$ với mọi $y\in <!--\; \in \; -->Y$.

Bằng cách sử dụng phép hợp hàm, chúng ta có thể diễn đạt phát biểu trên dưới dạng phương trình của các hàm số như sau:

$f^{-<!--\; -\; -->1}\circ <!--\; \circ \; -->f={\mathrm{id}}_X$ và $f\circ <!--\; \circ \; -->f^{-<!--\; -\; -->1}={\mathrm{id}}_Y,$

Trong đó, id_X là hàm đồng nhất trên tập X, tức là hàm số giữ nguyên giá trị đầu vào. Trong lý thuyết phạm trù, phát biểu này có thể được xem như định nghĩa của phép biến đổi nghịch đảo.

Khi xem xét phép hợp hàm, ta hiểu rõ hơn về ký hiệu f. Hàm được tạo ra bằng cách hợp liên tục hàm f: X→X với chính nó được gọi là hàm lặp. Nếu f được lặp lại n lần, bắt đầu từ giá trị x, ta có thể viết là f(x); ví dụ, f(x) = f (f (x)), và như thế. Vì f(f (x)) = x, phép hợp của f với f sẽ cho f, chính là “hoàn tác” của một lần lặp hàm f.

Biểu thức

Ký hiệu f(x) có thể gây nhầm lẫn vì (f(x)) có thể được hiểu là nghịch đảo của phép nhân hàm f(x) thay vì nghịch đảo của hàm f. Vì vậy, ký hiệu $f^{⟨<!--\; ⟨\; -->-<!--\; -\; -->1⟩<!--\; ⟩\; -->}$ nên được sử dụng để chỉ hàm nghịch đảo nhằm tránh nhầm lẫn với ký hiệu nghịch đảo phép nhân.

Để sử dụng ký hiệu này một cách đồng nhất, một số tác giả tiếng Anh đã viết các biểu thức như sin(x) để biểu thị hàm nghịch đảo của hàm sin cho x (thực chất là nghịch đảo riêng phần; xem thêm dưới đây). Tuy nhiên, nhiều tác giả khác cho rằng các biểu thức này dễ gây nhầm lẫn với nghịch đảo phép nhân của sin (x), mặc dù có thể ký hiệu là (sin (x)). Để tránh hiểu nhầm, hàm lượng giác nghịch đảo thường được ký hiệu bằng cách thêm tiền tố 'arc' (từ Latin: arcus). Ví dụ, nghịch đảo của hàm sin thường được viết là hàm arcsin hay arcsin(x). Tương tự, nghịch đảo của các hàm hyperbol được ký hiệu bằng cách thêm tiền tố 'ar' (từ Latin: ārea). Ví dụ, nghịch đảo của hàm sinh hyperbol được viết là arsinh(x). Tuy nhiên, ký hiệu sin(x) vẫn có thể được sử dụng khi phân biệt giữa nghịch đảo đa giá trị với nghịch đảo riêng phần: ${\sin }^{-<!--\; -\; -->1}<!--\; \; -->\left(x\right)=\left\{\right(-<!--\; -\; -->1{)}^k\arcsin <!--\; \; -->\left(x\right)+\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}n:n\in <!--\; \in \; -->Z\}$. Các hàm nghịch đảo đặc biệt đôi khi được ký hiệu bằng cách thêm tiền tố 'inv' (inverse, hay nghịch đảo), nếu cần phân biệt với ký hiệu f

Các ví dụ

Hàm bình phương và căn bậc hai

Hàm f: R → [0,∞) với f(x) = x không phải là hàm đơn ánh vì $(-<!--\; -\; -->x{)}^2=x^2$ với mọi $x\in <!--\; \in \; -->R$. Do đó, f không phải là hàm khả nghịch.

Nếu miền của hàm số bị giới hạn trong các số thực không âm, nghĩa là ta xét hàm $f:<!--\; :\; -->[0,\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->})\to <!--\; \to \; -->[0,\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->});x\mapsto <!--\; \mapsto \; -->x^2$ với cùng định nghĩa như trên, thì hàm số này là hàm song ánh và do đó có hàm ngược. Hàm ngược này được gọi là căn bậc hai (dương) và được ký hiệu là $x\mapsto <!--\; \mapsto \; -->\sqrt{x}$.

Một số hàm nghịch đảo khác

Bảng dưới đây liệt kê một số ví dụ về hàm nghịch đảo của các hàm số khác nhau:

Công thức của hàm nghịch đảo

Nhiều hàm số có thể được biểu diễn bằng công thức đại số và có công thức cho hàm nghịch đảo của chúng. Nguyên nhân là vì $f^{-<!--\; -\; -->1}$ của một hàm khả nghịch $f:<!--\; :\; -->R\to <!--\; \to \; -->R$ có thể được mô tả như sau

$f^{-<!--\; -\; -->1}\left(y\right)=(\text{phần tử duy nhất }x\in <!--\; \in \; -->R\text{ thỏa mãn }f(x)=y)$.

Điều này cho phép chúng ta xác định công thức cho nhiều hàm nghịch đảo. Ví dụ, nếu f là hàm

$f\left(x\right)=(2x+8{)}^3$

để tìm $f^{-<!--\; -\; -->1}\left(y\right)$ cho giá trị y, chúng ta cần tìm một giá trị x sao cho (2x + 8) = y. Nói cách khác, chúng ta cần giải phương trình sau:

Vì vậy, hàm ngược của f có dạng như sau

Trong một số trường hợp, hàm ngược có thể không có công thức dạng đóng. Ví dụ, nếu f là hàm số

$f\left(x\right)=x-<!--\; -\; -->\sin <!--\; \; -->x,$

thì f là hàm một-một và vì thế có hàm ngược f. Công thức của hàm ngược này được thể hiện như sau:

Những đặc điểm

Vì hàm số là một dạng đặc biệt của quan hệ hai biến, nhiều thuộc tính của hàm ngược gắn liền với thuộc tính của quan hệ ngược.

Tính duy nhất

Nếu một hàm f có hàm ngược, thì hàm ngược đó là duy nhất.

Đặc điểm đối xứng

Có sự đối xứng giữa hàm f và hàm nghịch đảo của nó. Cụ thể, nếu f là hàm khả nghịch với miền X và đối miền Y, thì hàm nghịch đảo của nó f sẽ có miền Y và ảnh X. Hơn nữa, nghịch đảo của f chính là hàm gốc f. Được ký hiệu như sau:

$f^{-<!--\; -\; -->1}\circ <!--\; \circ \; -->f={\mathrm{id}}_X$ và $f\circ <!--\; \circ \; -->f^{-<!--\; -\; -->1}={\mathrm{id}}_Y.$

Điều này xuất phát từ việc hàm f là khả nghịch thì nó phải là song ánh. Mối liên hệ chặt chẽ của nghịch đảo có thể được diễn tả như sau

${\left(f^{-<!--\; -\; -->1}\right)}^{-<!--\; -\; -->1}=f.$

Nghịch đảo của hàm hợp là

$(g\circ <!--\; \circ \; -->f{)}^{-<!--\; -\; -->1}=f^{-<!--\; -\; -->1}\circ <!--\; \circ \; -->g^{-<!--\; -\; -->1}.$

Chú ý rằng thứ tự của g và f bị hoán đổi; để nghịch đảo của f sau bởi g, trước hết cần tìm nghịch đảo của g, rồi đến f.

Ví dụ, gọi f(x) = 3x và g(x) = x + 5. Khi đó, hàm hợp g ∘ f sẽ là nhân ba trước, rồi cộng năm sau.

$(g\circ <!--\; \circ \; -->f)\left(x\right)=3x+5.$

Để đảo ngược phép biến đổi này, trước tiên ta phải trừ 5, sau đó chia cho 3.

$(g\circ <!--\; \circ \; -->f{)}^{-<!--\; -\; -->1}(x)=\frac{1}{3}(x-<!--\; -\; -->5).$

Hàm nghịch đảo của chính nó

Nếu X là một tập hợp, thì hàm đồng nhất trên X chính là nghịch đảo của chính nó.

${{\mathrm{id}}_X}^{-<!--\; -\; -->1}={\mathrm{id}}_X.$

Nói một cách tổng quát, hàm f : X → X là nghịch đảo của chính nó khi và chỉ khi hợp hàm f ∘ f bằng với id_X. Những hàm như vậy được gọi là hàm tự nghịch.

Đồ thị của hàm nghịch đảo

Nếu f có nghịch đảo, đồ thị của hàm nghịch đảo sẽ là

$y=f^{-<!--\; -\; -->1}\left(x\right)$

Tương tự như đồ thị của hàm

$x=f\left(y\right).$

Hàm này tương đương với hàm y = f(x), nó định nghĩa đồ thị của hàm f, chỉ khác là các giá trị của x và y đã được hoán đổi. Do đó, đồ thị của f có thể được thu được từ đồ thị của f bằng cách đổi chỗ trục x và trục y. Điều này tương đương với việc phản xạ đồ thị qua đường y = x.

Nghịch đảo và đạo hàm

Định lý về hàm ngược cho biết rằng một hàm liên tục f có thể nghịch đảo trên miền giá trị của nó nếu và chỉ nếu nó là đơn điệu (không có cực trị). Ví dụ như hàm

$f\left(x\right)=x^3+x$

khả nghịch, vì đạo hàm f′(x) = 3x + 1 luôn dương.

Nếu hàm f có thể vi phân trên khoảng I và f′(x) ≠ 0 cho mọi x ∈ I, thì hàm nghịch đảo f cũng có thể vi phân trên f(I). Khi y = f(x), đạo hàm của hàm ngược được tính theo định lý hàm ngược,

${\left(f^{-<!--\; -\; -->1}\right)}^{\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}}\left(y\right)=\frac{1}{f^{\prime }\left(x\right)}.$

Khi sử dụng ký hiệu Leibniz, công thức trên có thể được viết lại như sau:

$\frac{dx}{dy}=\frac{1}{dy/dx}.$

Kết quả này cũng có thể đạt được nhờ vào quy tắc của hàm hợp.

Định lý hàm ngược có thể được mở rộng cho các hàm nhiều biến. Cụ thể, các hàm nhiều biến f : R → R có thể nghịch đảo trong lân cận của điểm p khi ma trận Jacobi của f tại p là ma trận khả nghịch. Trong tình huống này, ma trận Jacobi của f tại f(p) chính là ma trận nghịch đảo của ma trận Jacobi của f tại p.

Ví dụ trong thực tế

• Giả sử f là hàm chuyển đổi từ nhiệt độ Celsius sang Fahrenheit, $F=f\left(C\right)=\frac{9}{5}C+32;$ Hàm ngược của nó chuyển đổi từ Fahrenheit về Celsius, $C=f^{-<!--\; -\; -->1}\left(F\right)=\frac{5}{9}(F-<!--\; -\; -->32),$ mà
• Giả định f gán mỗi đứa trẻ trong gia đình với năm sinh của chúng. Một hàm ngược của f sẽ nhận năm sinh làm đầu vào và trả về đứa trẻ sinh vào năm đó. Tuy nhiên, nếu có nhiều hơn một đứa trẻ sinh trong cùng một năm (như sinh đôi, sinh ba, v.v.), thì không thể xác định giá trị hàm số. Tương tự, nếu không có đứa trẻ nào sinh trong một năm cụ thể, thì giá trị của hàm số cũng không xác định được. Tuy nhiên, nếu chỉ xét những năm có ít nhất một đứa trẻ sinh ra và giả định mỗi đứa trẻ sinh vào những năm khác nhau, thì hàm sẽ hoạt động. Ví dụ,
• Công thức tính độ pH của dung dịch là pH = −log₁₀[H]. Để tìm nồng độ axit từ độ pH, ta cần sử dụng hàm ngược [H] = 10.

Đảo ngược riêng lẻ

• Định lý nghịch đảo Lagrange và việc khai triển Taylor của hàm số nghịch đảo trong các hàm giải tích
• Nguyên hàm của hàm đảo ngược
• Biến đổi Fourier đảo ngược
• Các phép tính có thể thực hiện đảo ngược

Ghi chú

• Briggs, William; Cochran, Lyle (2011). Giải Tích / Các Bài Toán Transcendental Một Biến. Addison-Wesley. ISBN 978-0-321-66414-3.
• Devlin, Keith J. (2004). Tập Hợp, Hàm Số, và Logic / Giới Thiệu về Toán Học Trừu Tượng (ấn bản 3). Chapman & Hall / CRC Mathematics. ISBN 978-1-58488-449-1.
• Fletcher, Peter; Patty, C. Wayne (1988). Cơ Sở của Toán Học Cao Cấp. PWS-Kent. ISBN 0-87150-164-3.
• Lay, Steven R. (2006). Phân Tích / Với Giới Thiệu về Chứng Minh (ấn bản 4). Pearson / Prentice Hall. ISBN 978-0-13-148101-5.
• Smith, Douglas; Eggen, Maurice; St. Andre, Richard (2006). Chuyển Đổi Sang Toán Học Nâng Cao (ấn bản 6). Thompson Brooks/Cole. ISBN 978-0-534-39900-9.
• Thomas, Jr., George Brinton (1972). Giải Tích và Hình Học Phân Tích Phần 1: Hàm Số Một Biến và Hình Học Phân Tích . Addison-Wesley.
• Wolf, Robert S. (1998). Chứng Minh, Logic, và Đoán / Bộ Công Cụ của Nhà Toán Học. W. H. Freeman and Co. ISBN 978-0-7167-3050-7.

Khám Phá Thêm

• Amazigo, John C.; Rubenfeld, Lester A. (1980). “Các Hàm Ẩn; Jacobians; Hàm Nghịch”. Giải Tích Cao Cấp và Ứng Dụng trong Kỹ Thuật và Khoa Học Vật Lý. New York: Wiley. tr. 103–120. ISBN 0-471-04934-4.
• Binmore, Ken G. (1983). “Hàm Nghịch”. Giải Tích. New York: Cambridge University Press. tr. 161–197. ISBN 0-521-28952-1.
• Spivak, Michael (1994). Giải Tích (ấn bản 3). Publish or Perish. ISBN 0-914098-89-6.
• Stewart, James (2002). Giải Tích (ấn bản 5). Brooks Cole. ISBN 978-0-534-39339-7.

Các liên kết bên ngoài

• Hazewinkel, Michiel (biên tập, 2001), “Hàm Nghịch”, Từ Điển Toán Học, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4