Buzz
1. Chứng minh rằng đồ thị hàm số luôn đi qua một điểm cố định với mọi giá trị của m
Chúng tôi xin gửi đến bạn tài liệu do Mytour biên soạn, liên quan đến việc chứng minh đồ thị của hàm số luôn đi qua một điểm cố định. Tài liệu này bao gồm nhiều bài tập phong phú, giúp bạn tìm hiểu phương pháp chứng minh đồ thị hàm số đi qua điểm cố định. Ngoài ra, tài liệu cung cấp đáp án chi tiết và bài toán thực hành để bạn dễ dàng theo dõi, kiểm tra kết quả và nâng cao kỹ năng. Đây là tài liệu hữu ích cho việc ôn thi học kỳ 2 lớp 9 và chuẩn bị cho kỳ thi vào lớp 10.
Dưới đây là thông tin chi tiết trong tài liệu, chúng tôi hy vọng nó sẽ giúp bạn nắm vững kiến thức về chứng minh đồ thị hàm số. Bạn hãy tham khảo và sử dụng tài liệu này để cải thiện khả năng giải quyết các bài toán liên quan đến đồ thị hàm số.
Việc chứng minh rằng đồ thị của hàm số luôn đi qua một điểm cố định với mọi giá trị của tham số m là một vấn đề quan trọng trong toán học. Để nắm rõ cách chứng minh, chúng ta có thể áp dụng lý thuyết sau đây:
- Giả thiết ban đầu: Giả sử chúng ta có một hàm số f(x, m) và mục tiêu là chứng minh rằng đồ thị của hàm số này luôn đi qua một điểm cố định bất kể giá trị của tham số m.
- Xác định điểm cố định: Đầu tiên, chúng ta cần tìm các điểm cố định của đồ thị hàm số. Điều này đồng nghĩa với việc tìm các giá trị x sao cho f(x, m) luôn bằng một giá trị cố định, chẳng hạn như k.
- Chứng minh điểm cố định: Tiếp theo, chúng ta sẽ chứng minh rằng các giá trị x tương ứng với điểm cố định vẫn không thay đổi khi m thay đổi. Điều này có thể thực hiện bằng cách giải phương trình f(x, m) = k và chứng minh rằng giá trị x luôn không thay đổi khi m thay đổi.
- Chứng minh công thức tổng quát: Cuối cùng, chúng ta chứng minh rằng điều này đúng với mọi giá trị của m bằng cách áp dụng lý thuyết toán học hoặc phân tích một số trường hợp cụ thể.
Công thức tổng quát cho phần chứng minh có thể được diễn đạt dưới dạng biểu thức toán học, chẳng hạn như:
f(x, m) = k
Chứng minh rằng tồn tại những giá trị x cố định bất kể sự thay đổi của m.
Để thực hiện chứng minh này, cần áp dụng lý thuyết và phương pháp toán học phù hợp với hàm số cụ thể và yêu cầu kiến thức toán học sâu rộng.
2. Ví dụ bài tập về việc chứng minh đồ thị hàm số đi qua một điểm cố định
Bài 1: Chứng minh rằng đối với mọi giá trị của m, đường thẳng (d) với phương trình y = (m + 1)x + 2x - m luôn đi qua một điểm cố định.
Hướng dẫn:
Bước 1: Xác định điểm M(x0; y0) là điểm cố định mà đường thẳng (d) luôn đi qua.
Bước 2: Tìm các giá trị x0 và y0 sao cho chúng thỏa mãn điều kiện trên.
Giải pháp:
Gọi M(x0; y0) là điểm cố định mà đường thẳng (d) luôn đi qua. Khi đó, phương trình của đường thẳng (d) sẽ được xác định như sau:
y = (m + 1)x + 2x - m
Để đường thẳng (d) luôn đi qua điểm M(x0; y0), ta cần thay x0 và y0 vào phương trình này, cụ thể là:
y0 = (m + 1)x0 + 2x0 - m
Giải phương trình trên đối với x0 và y0 để tìm giá trị cụ thể.
y0 = mx0 + x0 + 2x0 - m
y0 = (m + 3)x0 - m
Tiếp theo, để đường thẳng (d) luôn đi qua điểm M(x0; y0), chúng ta cần tìm một giá trị m thỏa mãn điều kiện sau:
m(-x0 - 1) + (y0 - 3x0) = 0
Giải phương trình này, chúng ta sẽ xác định được giá trị của x0 và y0 như sau:
x0 = 1
y0 = 3
Như vậy, bất kể giá trị của m là gì, đường thẳng (d) luôn đi qua điểm cố định M(1; 3).
Bài 2: Cho hàm số y = (2m - 3)x + m - 1. Nhiệm vụ của chúng ta là chứng minh rằng đồ thị của hàm số này luôn đi qua một điểm cố định cho mọi giá trị của m và xác định điểm cố định đó.
Lời giải:
Giả sử M(x0; y0) là điểm cố định mà đường thẳng (d) luôn đi qua. Chúng ta cần xác định giá trị của x0 và y0.
Dựa trên phương trình của hàm số:
y = (2m - 3)x + m - 1
Để đảm bảo rằng đường thẳng (d) luôn đi qua điểm M(x0; y0), ta cần thay x0 và y0 vào phương trình trên:
y0 = (2m - 3)x0 + m - 1
Sau đó, chúng ta sẽ giải phương trình này để xác định x0 và y0:
y0 = 2mx0 - 3x0 + m - 1
y0 = (2m - 3)x0 + (m - 1)
Tiếp theo, chúng ta cần xác định điều kiện để đường thẳng (d) luôn đi qua điểm M(x0; y0). Điều này có nghĩa là phải tìm giá trị của m sao cho:
m(-2x0 + 1) + (y0 - (3x0 + 1)) = 0
Khi giải phương trình này, chúng ta sẽ xác định được giá trị của x0 và y0 là:
x0 = 1/2
y0 = 5/2
Như vậy, với bất kỳ giá trị nào của m, đồ thị hàm số y = (2m - 3)x + m - 1 luôn đi qua điểm cố định M(1/2; 5/2).
Bài 3: Cho hàm số y = mx + 3m - 1. Chúng ta cần xác định tọa độ của điểm mà đường thẳng này luôn đi qua, bất kể giá trị của m.
Lời giải:
Gọi M(x0; y0) là điểm cố định mà đường thẳng (d) luôn đi qua. Chúng ta sẽ xác định giá trị của x0 và y0.
Dựa trên phương trình hàm số sau đây:
y = mx + 3m - 1
Để đảm bảo rằng đường thẳng (d) luôn đi qua điểm M(x0; y0), chúng ta cần thay x0 và y0 vào phương trình này:
y0 = mx0 + 3m - 1
Sau đó, chúng ta sẽ giải phương trình này để tìm giá trị x0 và y0.
y0 = mx0 + 3m - 1
y0 - mx0 - 3m + 1 = 0
m(-x0 - 3) + (y0 + 1) = 0
Tiếp theo, chúng ta cần xác định điều kiện để đường thẳng (d) luôn đi qua điểm M(x0; y0). Điều này có nghĩa là chúng ta phải tìm một giá trị m sao cho:
m(-x0 - 3) + (y0 + 1) = 0
Sau khi giải phương trình này, chúng ta thu được các giá trị x0 và y0 như sau:
x0 = -3
y0 = -1
Do đó, cho bất kỳ giá trị nào của m, đường thẳng có phương trình y = mx + 3m - 1 luôn đi qua điểm cố định M(-3; -1).
Bài 4: Xét hàm số y = (m - 1)x + 2020. Nhiệm vụ của chúng ta là xác định điểm cố định mà đồ thị hàm số này luôn đi qua với mọi giá trị của m.
Lời giải:
Gọi M(x0; y0) là điểm cố định mà đường thẳng (d) luôn đi qua. Chúng ta cần tìm giá trị x0 và y0.
Dựa vào phương trình hàm số đã cho:
y = (m - 1)x + 2020
Để đảm bảo rằng đường thẳng (d) luôn đi qua điểm M(x0; y0), ta cần thay x0 và y0 vào phương trình hàm số:
y0 = (m - 1)x0 + 2020
Tiếp theo, ta giải phương trình này để tìm giá trị của x0 và y0:
y0 = (m - 1)x0 + 2020
y0 - (m - 1)x0 - 2020 = 0
-mx0 + (y0 - x0 - 2020) = 0
Tiếp theo, ta cần xác định điều kiện để đường thẳng (d) luôn đi qua điểm M(x0; y0). Điều này có nghĩa là tìm một giá trị m sao cho:
-mx0 + (y0 - x0 - 2020) = 0
Sau khi giải phương trình này, ta tìm được giá trị của x0 và y0 như sau:
x0 = 0
y0 = 2020
Vì vậy, với bất kỳ giá trị nào của m, đường thẳng với phương trình y = (m - 1)x + 2020 luôn xuyên qua điểm cố định M(0; 2020).
3. Các bài tập tự luyện về chứng minh rằng đồ thị hàm số đi qua một điểm cố định
Bài 1: Chứng minh rằng đồ thị của hàm số bậc nhất y = (m + 1)x - 2m luôn đi qua một điểm không thay đổi đối với mọi giá trị của m.
Bài 2: Xác định điểm cố định mà đồ thị của hàm số y = (m - 1)x + m + 3 luôn đi qua với mọi giá trị của m.
Bài 3: Chứng minh rằng tập hợp các đường thẳng y = (2m - 3)x + m - 5 luôn đi qua một điểm cố định bất kể giá trị của m và xác định điểm đó.
Bài 4: Chứng minh rằng đồ thị của hàm số y = (m + 2)x + 2m - 1 luôn cắt qua một điểm cố định khi giá trị của m thay đổi và tìm điểm này.
Bài 5: Chứng minh rằng đồ thị hàm số y = (m + 2)x + m - 1 luôn đi qua một điểm cố định với mọi giá trị của m và xác định điểm cố định đó.
Bài 6: Chứng minh rằng đối với bất kỳ giá trị nào của m, đồ thị hàm số y = mx - 2 luôn đi qua một điểm cố định.
Bài 7: Xác định điểm cố định mà tất cả các đường thẳng sau đây đều đi qua với mọi giá trị của m:
a, y = (m - 2)x + 3
b, y = mx + (m + 2)
c, y = (m - 1)x + 2m - 1
