Chuỗi (toán học)

Trong toán học, chuỗi có thể được miêu tả là việc cộng lại vô hạn các số hạng bắt đầu từ số ban đầu. Chuỗi là một khái niệm quan trọng trong việc tính toán tổng vô hạn và trong phân tích toán học chung. Chuỗi được sử dụng rộng rãi trong hầu hết các lĩnh vực toán học, cũng như trong nghiên cứu các cấu trúc hữu hạn (ví dụ như trong tổ hợp) qua các hàm sinh. Ngoài ra, chuỗi vô hạn cũng được áp dụng trong các ngành khoa học khác như vật lý, khoa học máy tính, thống kê và kinh tế học.

Trong một thời gian rất dài, ý tưởng rằng tổng vô hạn các số hạng có thể cho ra giá trị hữu hạn đã gây nên nhiều nghịch lý. Nghịch lý này đã được giải quyết bằng khái niệm giới hạn trong thế kỷ 17. Nghịch lý Zeno với Achilles và con rùa là một minh họa cho tính chất nghịch lý của tổng vô hạn: Achilles đuổi theo con rùa, nhưng khi anh ta đến điểm xuất phát của con rùa, con rùa đã di chuyển đến vị trí tiếp theo; khi anh ta đến vị trí tiếp theo, con rùa lại di chuyển đến vị trí sau đó. Zeno kết luận rằng Achilles không thể bắt kịp con rùa và do đó di chuyển không xảy ra. Zeno chia cuộc đua thành vô số phần, mỗi phần có thời gian hữu hạn, vì vậy tổng thời gian để Achilles bắt kịp con rùa được biểu diễn bởi một chuỗi số. Giải pháp cho nghịch lý này là mặc dù chuỗi số có vô hạn số hạng, tổng của nó là hữu hạn và giá trị tổng chính là thời gian để Achilles bắt kịp con rùa.

Trong thuật ngữ hiện đại, một dãy vô hạn được sắp xếp của các số hạng (có thể là số, hàm số hoặc bất kỳ đối tượng nào có thể cộng lại với nhau) được định nghĩa là một chuỗi là việc tính tổng vô hạn của tất cả các số hạng trong dãy đó. Để làm rõ rằng chuỗi là việc tính tổng vô hạn của các phần tử trong một dãy, một chuỗi còn được gọi là chuỗi vô hạn. Chuỗi như vậy thường được biểu diễn bằng biểu thức toán học như sau

Một chuỗi số là một chuỗi vô hạn các số hạng (ở đây là số hạng có thể là số, hàm số hoặc bất cứ đối tượng nào có thể cộng lại với nhau) định nghĩa là việc cộng tất cả các số hạng trong dãy đó a_i với nhau. Để nhấn mạnh rằng một chuỗi là việc tính tổng vô hạn của các phần tử trong một dãy, một chuỗi cũng được gọi là chuỗi vô hạn. Một chuỗi như vậy thường được biểu diễn bằng biểu thức toán học sau đây

hoặc được viết ngắn gọn bằng ký hiệu sigma,

$\underset{i=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{a}_i.$

Chúng ta không thể chính xác cộng tất cả các phần tử trong một chuỗi (đặc biệt là trong một khoảng thời gian hữu hạn). Tuy nhiên, nếu tập hợp các số hạng của dãy và tổng hữu hạn của chúng có giới hạn, thì đôi khi chúng ta có thể gán giá trị cho chuỗi, được gọi là tổng của chuỗi. Giá trị này là giới hạn khi số hạng thứ n tiến đến vô cùng (nếu tồn tại), các tổng hữu hạn này được gọi là tổng riêng của chuỗi. Nghĩa là, $\underset{i=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{a}_i=\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{a}_i.$

Khi giới hạn này tồn tại, chúng ta có thể nói rằng chuỗi hội tụ hoặc có tổng, hoặc dãy $(a_1,a_2,a_3,\dots <!--\; \dots \; -->)$ có tổng. Trong trường hợp này, giá trị giới hạn là tổng của chuỗi. Nếu không, chuỗi được gọi là phân kỳ.

Nói chung, các số hạng trong chuỗi thường thuộc một vành cụ thể, thường là trường $R$ của các số thực hoặc trường $C$ của các số phức. Trong trường hợp này, tất cả các chuỗi tạo thành một vành (kể cả là một đại số kết hợp), trong đó phép cộng là cộng từng số hạng lại với nhau, và phép nhân là tích Cauchy.

Các đặc tính cơ bản

Dãy vô hạn, ngắn gọi là dãy, là tổng vô hạn có thể biểu diễn bằng biểu thức sau:

$a_0+a_1+a_2+\cdots <!--\; \cdots \; -->,$

Trong đó $\left(a_n\right)$ là bất kỳ dãy được sắp xếp của các số hạng, như là các số, hàm số, hoặc bất kỳ thứ gì có thể cộng với nhau (trong nhóm Abel). Đây là biểu thức thu được từ dãy $a_0,a_1,\dots <!--\; \dots \; -->$ bằng cách sắp xếp các số hạng liền kề và sử dụng ký hiệu phép cộng '+'. Dãy có thể viết lại bằng ký hiệu sigma thành

$\underset{n=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{a}_n.$

Nếu nhóm Abel A của các số hạng có khái niệm giới hạn (tức là nó là không gian mêtric), thì một số chuỗi có thể có giá trị trong A, giá trị đó được gọi là tổng của chuỗi. Định nghĩa này bao gồm cả các trường hợp thường gặp trong giải tích, trong đó nhóm là trường số thực hoặc trường số phức. Cho chuỗi $s=\underset{n=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{a}_n$, tổng riêng thứ k của nó là

$s_k=\underset{n=0}{\overset{k}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{a}_n=a_0+a_1+\cdots <!--\; \cdots \; -->+a_k.$

Theo định nghĩa, chuỗi $\underset{n=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{a}_n$ hội tụ đến giá trị L (hay có tổng bằng L), nếu dãy các tổng riêng của nó có giới hạn L. Khi đó, ta thường viết là

$L=\underset{n=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{a}_n.$

Một chuỗi được gọi là hội tụ nếu nó hội tụ đến một giá trị hữu hạn nào đó, hay phân kỳ nếu nó không hội tụ được. Giá trị của giới hạn này, nếu nó tồn tại, là giá trị của chuỗi.

Chuỗi hội tụ

Chuỗi Σa_n được gọi là hội tụ khi dãy (s_k) của các tổng riêng có giới hạn. Nếu giới hạn của s_k là vô cùng hay không tồn tại, thì chuỗi được gọi là phân kỳ. Khi giá trị hữu hạn của giới hạn tồn tại, nó được gọi là giá trị (hay tổng) của chuỗi

$\underset{n=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{a}_n=\underset{k\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}{s}_k=\underset{k\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}\underset{n=0}{\overset{k}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{a}_n.$

Cách dễ nhất để một chuỗi vô hạn hội tụ là khi a_n bằng không với mọi n đủ lớn. Dễ thấy một chuỗi số như vậy có thể được viết dưới dạng một tổng hữu hạn, cho nên chuyện dãy số đó là vô hạn không có ý nghĩa gì.

Khám phá giá trị của chuỗi hội tụ dù tất cả các thành phần đều khác không là mục tiêu của việc nghiên cứu chuỗi. Hãy xem xét ví dụ sau:

$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\cdots <!--\; \cdots \; -->+\frac{1}{2^n}+\cdots <!--\; \cdots \; -->$

Có thể 'hình dung' sự hội tụ của chuỗi trên trục số thực: tưởng tượng một đoạn thẳng dài 2, lần lượt tô đen các phần dài 1, ½, ¼, v.v. Luôn còn chỗ để tô đen phần tiếp theo vì phần còn lại luôn bằng phần vừa tô. Sau khi tô đen ½, vẫn còn một đoạn dài ½ chưa tô, nên dễ dàng tô tiếp ¼, và cứ thế. Điều này không chứng minh tổng này bằng 2 (dù thực tế là vậy), nhưng chứng minh tổng này nhỏ hơn hoặc bằng 2. Nói cách khác, chuỗi này có cận trên. Biết rằng chuỗi này hội tụ, để chứng minh nó bằng 2, chỉ cần toán học cơ bản. Nếu ký hiệu chuỗi là S, dễ thấy rằng

$S/2=\frac{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\cdots <!--\; \cdots \; -->}{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\cdots <!--\; \cdots \; -->.$

Do đó, $S-<!--\; -\; -->S/2=1\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->S=2.$

Các nhà toán học có thể phát triển từ ví dụ này để minh họa những khái niệm khác, tương đương của chuỗi. Chẳng hạn, khi ta nói về số thực có phần thập phân lặp lại, như sau:

$x=0.111\dots <!--\; \dots \; -->$

thực ra ta đang đề cập đến chuỗi số biểu diễn (0.1 + 0.01 + 0.001 + ...). Vì các chuỗi này luôn hội tụ về số thực (do tính đầy đủ của số thực), việc nói về chuỗi số theo cách này cũng giống như nói về các số mà chúng biểu diễn. Đặc biệt, không có gì bất hợp lý khi coi 0.111... và 1/9 là một. Lập luận rằng 9 × 0.111... = 0.999... = 1 không rõ ràng, nhưng hoàn toàn chứng minh được khi hiểu rõ các định luật về giới hạn bảo toàn các phép toán số học. Xem thêm 0.999... để biết chi tiết.

Ví dụ của một số chuỗi

• Chuỗi hình học là chuỗi mà mỗi số hạng sau được tạo ra bằng cách nhân số hạng trước đó với một hằng số. Ví dụ: :$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\cdots <!--\; \cdots \; -->=\underset{n=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{1}{2^n}=2.$ Tổng quát thì, chuỗi hình học :$\underset{n=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{z}^n$ hội tụ khi và chỉ khi , trong trường hợp đó nó hội tụ đến $\frac{1}{1-<!--\; -\; -->z}$.
• Chuỗi điều hòa là chuỗi sau :$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\cdots <!--\; \cdots \; -->=\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{1}{n}.$ Chuỗi điều hòa là chuỗi phân kỳ.
• Chuỗi đan dấu là chuỗi có các số hạng thay đổi dấu liên tục. Các ví dụ:

$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }\frac{{\left(-1\right)}^{n-1}}{n}=\ln \left(2\right)$

(chuỗi điều hòa luân phiên) và

• Chuỗi tổ hợp

$\sum _{n=1}^{\infty }(b_n-b_{n+1})$

Hội tụ xảy ra khi và chỉ khi dãy b_n hội tụ đến giá trị L khi n tiến đến vô hạn. Giá trị của chuỗi là b₁ - L.

• p-chuỗi: $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^p}$ hội tụ khi p > 1 và phân kỳ khi p ≤ 1. Ta có thể chứng minh điều này bằng cách sử dụng các quy tắc kiểm tra hội tụ. Tổng của chuỗi này là hàm zeta Riemann.
• Chuỗi siêu hình học:

${}_r{F}_s\left[\begin{array}{c}{a}_1,a_2,\dots ,a_r\\ b_1,b_2,\dots ,b_s\end{array};z\right]:=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{\left(a_1{)}_n\right(a_2{)}_n\dots (a_r{)}_n}{\left(b_1{)}_n\right(b_2{)}_n\dots (b_s{)}_{n}n!}{z}^n$

Các dạng tổng quát của chúng như chuỗi siêu hình học cơ bản và chuỗi siêu hình học elliptic thường xuất hiện trong hệ thống khả tích và vật lý toán học.

• Một số chuỗi cơ bản mà tính hội tụ chưa được biết hoặc chưa được chứng minh. Ví dụ, hiện vẫn chưa biết chuỗi Flint Hills có hội tụ hay không.

$\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{{\csc }^2<!--\; \; -->n}{n^3}$

có hội tụ hay không. Tính hội tụ của chuỗi này phụ thuộc vào liệu $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$ có thể xấp xỉ tốt với các số hữu tỷ (hiện vẫn chưa biết được).

π

$\underset{i=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{1}{i^2}=\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\cdots <!--\; \cdots \; -->=\frac{{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}^2}{6}$

$\underset{i=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{(-<!--\; -\; -->1{)}^{i+1}(4)}{2i-<!--\; -\; -->1}=\frac{4}{1}-<!--\; -\; -->\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-<!--\; -\; -->\frac{4}{7}+\frac{4}{9}-<!--\; -\; -->\frac{4}{11}+\frac{4}{13}-<!--\; -\; -->\cdots <!--\; \cdots \; -->=\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$

Lôgarit tự nhiên của số 2

$\underset{i=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{(-<!--\; -\; -->1{)}^{i+1}}{i}=\ln <!--\; \; -->2$

$\underset{i=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{1}{(2i+1)(2i+2)}=\ln <!--\; \; -->2$

$\underset{i=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{(-<!--\; -\; -->1{)}^i}{(i+1)(i+2)}=2\ln <!--\; \; -->\left(2\right)-<!--\; -\; -->1$

$\underset{i=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{1}{i\left(4i^2-<!--\; -\; -->1\right)}=2\ln <!--\; \; -->\left(2\right)-<!--\; -\; -->1$

$\underset{i=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{1}{2^{i}i}=\ln <!--\; \; -->2$

$\underset{i=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\left(\frac{1}{3^i}+\frac{1}{4^i}\right)\frac{1}{i}=\ln <!--\; \; -->2$

$\underset{i=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{1}{2i(2i-<!--\; -\; -->1)}=\ln <!--\; \; -->2$

Lôgarit tự nhiên cơ số e

$\underset{i=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{(-<!--\; -\; -->1{)}^i}{i!}=1-<!--\; -\; -->\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}-<!--\; -\; -->\frac{1}{3!}+\cdots <!--\; \cdots \; -->=\frac{1}{e}$

$\underset{i=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{1}{i!}=\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\cdots <!--\; \cdots \; -->=e$

Sử dụng vi tích phân và phép lấy tổng riêng làm phép toán trên các dãy

Phép lấy tổng riêng có tham số đầu vào là dãy (a_n), và đầu ra là dãy (S_N). Do đó nó là phép toán một ngôi trên các dãy. Hơn nữa hàm này tuyến tính và do đó là toán tử tuyến tính trên không gian vectơ của các dãy ,ký hiệu bằng Σ. Toán tử nghịch đảo là toán tử số giả hữu hạn, ký hiệu bằng Δ. Chúng hoạt động tương tự với tích phân và đạo hàm nhưng dành cho chuỗi (hàm của số tự nhiên) chứ không phải hàm số thực. Lấy ví dụ, dãy số (1, 1, 1, ...) có chuỗi (1, 2, 3, 4, ...) là tổng riêng của nó, tương tự với ${\int <!--\; \int \; -->}_0^{x}1dt=x.$

Trong khoa học máy tính, nó được gọi là tổng tiền tố.

Các tính chất của chuỗi

Các chuỗi không chỉ được phân loại bởi tính hội tụ/phân kỳ, mà còn bởi tính chất của các số hạng a_n (hội tụ tuyệt đối hay hội tụ có điều kiện); loại hội tụ của chuỗi (từng điểm, đều); lớp của số hạng a_n (nó là số thực, hay thuộc cấp số nhân, hay là hàm lượng giác), vân vân.

Số hạng không âm

Khi an là số thực không âm với mọi n, thì dãy SN của các tổng riêng không giảm. Từ đây, ta chứng minh được: chuỗi Σancùng với các số hạng không âm hội tụ khi và chỉ khi dãy SN của các tổng riêng bị chặn.

Lấy ví dụ chuỗi

$\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{1}{n^2}$

hội tụ, vì bất đẳng thức sau

$\frac{1}{n^2}\le <!--\; \le \; -->\frac{1}{n-<!--\; -\; -->1}-<!--\; -\; -->\frac{1}{n},n\ge <!--\; \ge \; -->2,$

và sử dụng chuỗi lồng nhau để chỉ ra rằng các tổng riêng của chuỗi gốc bị chặn bởi 2. Giá trị chính xác của chuỗi này là kết quả của bài toán Basel.

Hội tụ tuyệt đối

Chuỗi

$\underset{n=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{a}_n$

hội tụ tuyệt đối nếu chuỗi của các giá trị tuyệt đối

$\underset{n=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\left|a_n\right|$

hội tụ. Điều này là đủ để đảm bảo rằng chuỗi không chỉ hội tụ mà còn bất kỳ việc sắp xếp lại chuỗi như thế nào đi chăng nữa, chuỗi đều hội tụ đến cùng một giá trị.

Hội tụ có điều kiện

Một chuỗi số thực hoặc số phức được gọi là hội tụ có điều kiện (hoặc hội tụ bán phần) nếu nó hội tụ nhưng không hội tụ tuyệt đối. Một ví dụ nổi tiếng là chuỗi đan dấu

$\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{(-<!--\; -\; -->1{)}^{n+1}}{n}=1-<!--\; -\; -->\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-<!--\; -\; -->\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-<!--\; -\; -->\cdots <!--\; \cdots \; -->$

Chuỗi này hội tụ (có tổng các biểu thức đúng bằng ln 2), nhưng chuỗi gồm toàn giá trị tuyệt đối của mỗi biểu thức của chuỗi này lại là chuỗi phân kỳ (xem chuỗi điều hòa). Định lý chuỗi Riemann nói rằng bất cứ chuỗi nào hội tụ có điều kiện đều có thể được sắp xếp lại để trở thành một chuỗi phân kỳ, hơn nữa, nếu a_n là số thực thì ta có thể tìm được một cách sắp xếp sao cho chuỗi mới hội tụ và có tổng bằng bất kỳ số thực S nào.

Kiểm tra Abel là một công cụ quan trọng để xử lý chuỗi hội tụ bán phần. Nếu một chuỗi có dạng

$\sum <!--\; \sum \; -->a_n=\sum <!--\; \sum \; -->{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_n{b}_n$

trong đó các tổng riêng B_N = b₀ + ··· + bn bị chặn, λ_n biến thiên bị chặn, và lim λ_nB_n tồn tại:

thì chuỗi ∑an hội tụ. Điều này áp dụng cho hội tụ từng điểm của nhiều chuỗi lượng giác, như

$\underset{n=2}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{\sin <!--\; \; -->\left(nx\right)}{\ln <!--\; \; -->n}$

với 0 < x < 2π. Phương pháp Abel là viết b_n+1 thành B_n+1 − B_n, rồi thực hiện một phép biến đổi tương tự với tích phân từng phần (gọi là tính tổng từng phần),đưa chuỗi ∑an về chuỗi hội tụ tuyệt đối:

Khi loại bỏ các số hạng trong chuỗi, tính sai số là một thủ tục quan trọng trong giải tích số (đặc biệt là trong số học đã kiểm chứng và chứng minh có máy tính hỗ trợ).

Tính sai số khi loại bỏ các số hạng trong chuỗi.

Chuỗi đan dấu đảm bảo các điều kiện của kiểm tra chuỗi đan dấu, có thể tính chính xác sai số. Gọi sn là tổng riêng của chuỗi đan dấu cho trước S, thì bất đẳng thức sau được thỏa mãn:

Việc tính các sai số sau khi loại bỏ một số số hạng là thủ tục quan trọng trong giải tích số (đặc biệt là trong số học đã kiểm chứng và chứng minh có máy tính hỗ trợ).

Khi các điều kiện của kiểm tra chuỗi đan dấu được thỏa mãn bởi S, ta có thể tính chính xác sai số. Gọi sn là tổng riêng của chuỗi đan dấu cho trước S, thì bất đẳng thức sau được thỏa mãn:

Sai số của chuỗi Taylor khi bị loại bớt được tính bằng định lý Taylor.

Chuỗi Taylor là một công cụ quan trọng trong giải tích để tính sai số.

Định lý Taylor được sử dụng để tính sai số khi chuỗi Taylor bị loại bớt đi.

Chuỗi siêu hình học cho phép tính toán các sai số khi bị loại bớt bằng tỷ lệ.

Bằng cách sử dụng tỷ lệ, ta có thể tính toán các sai số của chuỗi siêu hình học bị loại bỏ.