Chuyên đề Vi-ét luyện thi môn Toán lớp 10 đầy đủ nhất

Buzz

Nội dung bài viết

Lý thuyết về hệ thức Vi-ét và ứng dụng của nó

Các bài toán thường gặp khi áp dụng định lý Vi-ét

Bài tập ví dụ

Xem thêm

Bài viết này sẽ giới thiệu các chuyên đề Vi-ét thường gặp trong kỳ thi lớp 10 môn Toán. Hy vọng tài liệu này sẽ giúp ích cho việc ôn luyện của bạn.

Lý thuyết về hệ thức Vi-ét và ứng dụng của nó

1. Định lý Vi-ét cơ bản

$ax^{2} + bx + c = 0 (với a eq 0)$ ₁₂ $left{egin{matrix} S= x_{1} + x_{2} = - rac{b}{a} & \ P= x_{1} x_{2} = rac{c}{a} & end{matrix} ight.$

Hệ quả

₁ $x_{2}= rac{c}{a}$ ₁ $x_{2}= - rac{c}{a}$

2. Định lý Vi-ét phụ

Giả sử hai số thực x₁ và x₂ thỏa mãn hệ thức

$left{egin{matrix} x_{1} + x_{2} = S & \ x_{1}x_{2} = P end{matrix} ight. left ( S^{2} - 4P geq 0 ight )$

Vậy x₁ và x₂ là hai nghiệm của phương trình bậc hai x² - Sx + P = 0

Các bài toán thường gặp khi áp dụng định lý Vi-ét

Sử dụng hệ thức Vi-ét để ước lượng nghiệm của phương trình

Phương pháp:

₁ $x_{2}= rac{c}{a}$ ₁ $x_{2}= - rac{c}{a}$

Đối với các phương trình bậc hai với hệ số a, b, c đơn giản, có thể sử dụng hệ thức Vi-ét để ước lượng nghiệm của chúng

Tìm hai nghiệm khi biết tổng và tích của chúng

Cách thực hiện:

$ax^{2} + bx + c = 0 left ( a eq 0 ight ) left ( 1 ight )$

+ Phương trình (1) có hai nghiệm dương nếu và chỉ nếu các điều kiện sau được thỏa mãn:

+ Phương trình (1) có hai nghiệm âm nếu và chỉ nếu các điều kiện sau được đáp ứng:

+ Để phương trình (1) có hai nghiệm nhỏ hơn một số cho trước, các điều kiện sau cần phải được thoả mãn:

( x_{1} - m) ( x_{2} - m ) > 0

( x_{1} - m) + (x_{2} - m) < 0

+ Để phương trình (1) có hai nghiệm lớn hơn một số m cho trước, các điều kiện sau cần phải được thoả mãn:

( x_{1} - m) ( x_{2} - m) > 0

( x_{1} - m) + (x_{2} - h) > 0

+ Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt, một lớn hơn và một nhỏ hơn một số m cho trước, cần phải thỏa mãn các điều kiện sau:

( x_{1} - m) ( x_{2} - m) < 0

Bài tập ví dụ

Bài 1: Tính nhanh nghiệm của các phương trình dưới đây:

a. 100x^{2} + 99x - 1 = 0

b. x^{2} - 5x + 6 = 0

Hướng dẫn giải:

b. Phương trình b có biệt thức là một số dương

( vì 5^{2} - 4cdot1cdot6 = 1 > 0 ) nên phương trình b có hai nghiệm phân biệt. Theo hệ thức Vi-ét, tổng hai nghiệm là 5 và tích hai nghiệm là 6. Cặp số 2 và 3 thỏa mãn hệ thức. Vậy, hai nghiệm của phương trình là: x_{1} = 3 và x_{2} = 2

Bài 2: Xét phương trình x^{2} + 5x + 6 = 0 (1). Gọi x_{1} và x_{2} là hai nghiệm của phương trình. Không cần tính giá trị cụ thể của x_{1} và x_{2}, hãy tính giá trị của biểu thức sau:

$A = rac{6x_{1}^{2} + 10x_{1}x_{2} + 6x_{2}^{2}}{5x_{1}x_{2}^{3} + 5x_{1}^{3}x_{2}}$

Hướng dẫn giải:

$rac{6x_{1}^{2} + 10x_{1}x_{2} + 6x_{2}^{2}}{5x_{1}x_{2}^{3} + 5x_{1}^{3}x_{2}} = rac{6(x_{1}^{2} + x_{2}^{2}) + 10x_{1}x_{2}}{5x_{1}x_{2}(x_{1}^{2} + x_{2}^{2})}$ $= rac{6}{5x_{1}x_{2}} + rac{2}{x_{1}^{2} + x_{2}^{2}}$ $= rac{6}{5x_{1}x_{2}} + rac{2}{(x_{1} + x_{2})^{2} - 2x_{1}x_{2}}$ $x_{1}x_{2} = rac{c}{a} = 6; x_{1} + x_{2} = - rac{b}{a} = -5$ $rac{6}{5x_{1}x_{2}} + rac{2}{(x_{1} + x_{2})^{2} - 2x_{1}x_{2}} = rac{6}{5 cdot 6} + rac{2}{25 - 12} = rac{1}{5} + rac{2}{13} = rac{23}{65}$

Bài 3: Xét phương trình x² + 2(m+1)x + m² = 0. Tìm giá trị của m sao cho phương trình có hai nghiệm, trong đó một nghiệm là -2

Hướng dẫn chi tiết:

$Delta' = (m + 1)^{2} - m^{2} = 2m + 1$

Vì x = -2 là nghiệm của phương trình nên ta có 4 - 4(m +1) + m² = 0

⇔ m² - 4m = 0

⇔ m( x- 4) = 0

⇔ m = 0; m = 4 ( thoả mãn điều kiện)

Với m = 0 và m = 4, phương trình sẽ có hai nghiệm khác nhau, trong đó một nghiệm là -2

²² $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 7$

Hướng dẫn giải:

x² - (4m - 1)x + 3m² - 2m = 0

$Delta = left [ -(4m-1) ight ]^{2} - 4.1left ( 3m^{2} -2m ight )$

= 16m² - 8m + 1 - 12m² + 8m

= 4m² + 1 > 0 với mọi m

Vì vậy, phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt cho tất cả các giá trị của m

$left{egin{matrix} x_{1} + x_{2} = 4m - 1 & \ x_{1}x_{2} = 3m^{2} - 2m end{matrix} ight.$

Theo đề bài:

$x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 7$ $Leftrightarrow (x_{1} - x_{2})^{2} - 2x_{1}x_{2} = 7$ $Leftrightarrow 16m^{2} - 8m + 1 - 6m^{2} + 4m - 7 = 0$ $Leftrightarrow 10m^{2} - 4m - 6 = 0$ $Leftrightarrow 5m^{2} - 2m - 3 = 0$

Ta có a + b + c = 5 + (-2) + (-3) = 0

$m_{1} = 1, m_{2} = rac{-3}{5}$ ₁ $m_{2} = rac{-3}{5}$ $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 7$

Bài 5: Tính tổng và tích các nghiệm (nếu có) của các phương trình sau:

a. x^{2} - 6x + 7 = 0

b. 5x^{2} - 3x + 1 = 0

Hướng dẫn cách giải:

₁₂

Áp dụng công thức Vi-et:

$left{egin{matrix} x_{1} + x_{2}= rac{-b}{a}=6& \ x_{1} cdot x_{2}= rac{c}{a}= 7& end{matrix} ight.$

Do đó, tổng hai nghiệm là 6 và tích hai nghiệm là 7

$Delta = b^{2} - 4ac = (-3)^{2} - 4 cdot 5 cdot 1 = 9 - 20 = -11 < 0$

Kết luận, phương trình không có nghiệm thực.

Bài tập ứng dụng

Bài 1: Tìm giá trị của m để phương trình x² - 10mx + 9m = 0 có hai nghiệm phân biệt sao cho x₁ - 9x₂ = 0

Bài 2: Tìm giá trị m sao cho phương trình 2x² + mx + m - 3 = 0 có hai nghiệm trái dấu, trong đó nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dương.

² $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 13$

Bài 4: Xét phương trình x² - 2mx + 2m - 4 = 0. Tính số giá trị nguyên của m nhỏ hơn 2020 để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt.

Bài 5: Cho x₁ và x₂ là các nghiệm của phương trình x² - 3x - 7 = 0. Tính các giá trị sau mà không cần giải phương trình:

$A = x_{1}^{2} + x_{2}^{2}$ $B = (3x_{1} + x_{2}) (x_{1} + 3x_{2})$

Bài 6: Xác định giá trị của m sao cho phương trình x² - 10mx + 9m = 0 có hai nghiệm phân biệt và thỏa mãn x₁ - 9x₂ = 0

Bài 7: Cho phương trình x² - 7x + q = 0 với hiệu của hai nghiệm bằng 11. Tìm giá trị q và các nghiệm của phương trình.

Bài 8: Xét phương trình x² - qx + 50 = 0, biết rằng phương trình có hai nghiệm và một nghiệm gấp đôi nghiệm còn lại. Xác định q và hai nghiệm của phương trình.

Bài 9: Xét phương trình 2x² + (2m - 1)x + m - 1 = 0 (với m là tham số). Tìm một liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình không phụ thuộc vào m.

Bài 10: Xác định giá trị m để phương trình bậc hai x² + 2(m - 1)x - (m + 1) = 0 có hai nghiệm đều lớn hơn 2.

Bài 11: Tìm giá trị m để phương trình bậc hai x² + 2(m - 1)x - (m + 1) = 0 có một nghiệm lớn hơn và một nghiệm nhỏ hơn 2.

² $A = x_{1}^{2} + x_{2}^{2} - 3x_{1}x_{2}$

Bài 13: Xét phương trình x² + 4x - m² - 5m = 0. Tìm giá trị m để phương trình có nghiệm sao cho |x₁ - x₂| = 4.

Bài 14: Xét phương trình x² - bx + 6 = 0, với một nghiệm là 2. Xác định nghiệm còn lại của phương trình trong các đáp án sau:

a. 1 b. -3 c. 3 d. -2001

Bài 15: Xác định điều kiện của m để phương trình x² + 2mx + m² + m - 1 = 0 có tổng hai nghiệm bằng -6.

a. m = 3 c. m < 1

b. m = -3 d. Không có giá trị nào của m

²₁₂ $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 5$ ₁₂

Bài 17: Để phương trình x² - 3x + a = 0 có hai nghiệm, một nghiệm lớn hơn 1 và nghiệm còn lại nhỏ hơn 1, giá trị của a cần thỏa mãn điều kiện gì?

Bài 18: Cho phương trình 936x² + 63x - 999 = 0 với hai nghiệm x₁ và x₂ (x₁ > x₂). Tính giá trị của x₁ + 9x₂?

Nội dung được phát triển bởi đội ngũ Mytour với mục đích chăm sóc khách hàng và chỉ dành cho khích lệ tinh thần trải nghiệm du lịch, chúng tôi không chịu trách nhiệm và không đưa ra lời khuyên cho mục đích khác.

Nếu bạn thấy bài viết này không phù hợp hoặc sai sót xin vui lòng liên hệ với chúng tôi qua email [email protected]