Chuyển động của con lắc

Con lắc đơn là một hệ thống gồm một sợi dây không dãn, có chiều dài $\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}$, khối lượng không đáng kể, một đầu gắn cố định, đầu kia gắn với quả nặng có khối lượng $m$.

Phương trình chuyển động dao động

Giả sử con lắc đơn có chiều dài $\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}$, dao động với góc rất nhỏ và không có ma sát, phương trình dao động của nó được viết như sau:

• Phương trình li độ cong: $S=S_0\cos <!--\; \; -->(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}t+\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->})$
• Phương trình li độ góc: $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}={\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_0\cos <!--\; \; -->(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}t+\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->})$

Trong đó:

• S là biên độ tương ứng với góc lệch cực đại α.

• S_0 là biên độ tương ứng với góc lệch cực đại α_0.

• ω là tần số góc của dao động, ω = sqrt(g/ℓ).
• φ là pha ban đầu của dao động, phụ thuộc vào việc chọn mốc thời gian.

Chu kỳ và tần số của dao động

Chu kỳ $T$ và tần số $f$ của con lắc được tính bởi:

$T=2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\sqrt{\frac{\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}}{g}}$

$f=\frac{1}{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}\sqrt{\frac{g}{\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}}}$

(Với g là gia tốc trọng trường, {\displaystyle g\thickapprox 9,80665m/s^{2}} ).

Liên hệ giữa li độ dài và li độ góc

$S=\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}\times <!--\; \times \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$

$S_0=\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}\times <!--\; \times \; -->{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_0$

Lực tác động trong dao động con lắc

Khi dao động, con lắc luôn chịu tác dụng của hai lực chính:

• Trọng lực $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{P}$ (luôn không đổi về hướng và độ lớn).
• Lực căng $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{T}$ (thay đổi cả về hướng và độ lớn).

Trọng lực của con lắc

$P=mg$

Lực căng dây treo của con lắc

$T=mg(3\cos <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}-<!--\; -\; -->2\cos <!--\; \; -->{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_0)$

Lực hồi phục

Hợp lực của các lực tác dụng lên vật khi dao động được gọi là lực hồi phục (hay lực kéo về). Lực này luôn hướng về vị trí cân bằng.

• Lực hồi phục được tính bằng công thức: $F=-<!--\; -\; -->m{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^{2}S$

• Do đó, công thức của lực kéo về cực đại là: $F=-<!--\; -\; -->m{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^2{S}_0$

Tốc độ, gia tốc

Tốc độ của con lắc tại mọi vị trí

$v=\sqrt{2g\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}(\cos <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}-<!--\; -\; -->\cos <!--\; \; -->{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_0)}$

Gia tốc của con lắc đơn tại vị trí bất kỳ

Do khi vật dao động, quỹ đạo là một phần của cung tròn (không phải chuyển động tròn đều), gia tốc chia thành gia tốc hướng tâm và gia tốc tiếp tuyến. Hai vectơ gia tốc này luôn vuông góc, do đó, gia tốc tổng tuân theo định lý Pythagoras.

• Gia tốc hướng tâm: $a_{ht}=\frac{v^2}{\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}}$
• Gia tốc tiếp tuyến: $a_{tt}=g\sin <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$
• Gia tốc tổng: $a=\sqrt{a_{ht}^2+a_{tt}^2}$

Năng lượng của dao động

Nếu bỏ qua ma sát, con lắc sẽ dao động mãi mãi quanh vị trí cân bằng, vì cơ năng được bảo toàn.

• Động năng: $W_{\text{đ}}=\frac{1}{2}m{v}^2=mg\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}(\cos <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}-<!--\; -\; -->\cos <!--\; \; -->{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_0)$
• Thế năng: $W_t=mg\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}(1-<!--\; -\; -->\cos <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})$
• Cơ năng: $W=W_{\text{đ}}+W_t=mg\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}(1-<!--\; -\; -->\cos <!--\; \; -->{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_0)=\mathrm{hằng}\mathrm{số}$

Các phương trình liên quan

• Tốc độ tối đa: $v_{max}=\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}{S}_0={\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_0\sqrt{g\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}}$
• Gia tốc tối đa: $a_{max}={\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^2{S}_0$
• Phương trình không phụ thuộc thời gian: $S_0=\sqrt{S^2+\frac{v^2}{{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^2}}$

Sai số của đồng hồ lắc

Gọi $T=2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\sqrt{\frac{\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}}{g}}$ là chu kỳ đúng của đồng hồ lắc.

Gọi $T^{/}$ là chu kỳ sai. Nếu $T^{/}>T$ thì đồng hồ chạy chậm, thì đồng hồ chạy nhanh.

Thời gian đồng hồ lệch trong 1 giây được xác định bởi công thức:

$\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}=\frac{|T^{/}-<!--\; -\; -->T|}{T^{/}}$

Đồng hồ chạy sai lệch do biến đổi nhiệt độ

Khi nhiệt độ thay đổi, chiều dài con lắc thay đổi theo công thức: $\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}={\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}}_0(1+\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}{t}^{\circ <!--\; \circ \; -->})$

Nhiệt độ tăng làm đồng hồ chạy chậm lại, nhiệt độ giảm làm đồng hồ chạy nhanh hơn.

Thời gian đồng hồ lệch trong 1 giây do nhiệt độ được tính theo công thức:

$\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}=\frac{1}{2}\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}{t}^{\circ <!--\; \circ \; -->}\text{với }\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}{t}^{\circ <!--\; \circ \; -->}=t_2^{\circ <!--\; \circ \; -->}-<!--\; -\; -->t_1^{\circ <!--\; \circ \; -->}$

Đồng hồ chạy sai do sự thay đổi độ cao (độ sâu) so với mực nước biển

Đồng hồ hoạt động chính xác khi đặt tại mực nước biển

Đặt đồng hồ lên độ cao $h$ hoặc đưa xuống độ sâu $d$ so với mực nước biển, đồng hồ đều chạy chậm lại.

Thời gian đồng hồ bị sai lệch trong 1 giây khi thay đổi độ cao (độ sâu) được xác định bởi công thức:

• Đưa đồng hồ lên cao: $\tau =\frac{h}{R}$
• Đưa đồng hồ xuống sâu: $\tau =\frac{d}{2R}$

Với bán kính Trái Đất, {\displaystyle R ≈ 6371 km}.

Đồng hồ bị sai lệch thời gian do thay đổi vị trí trên Trái Đất

Đồng hồ chạy đúng khi đặt ở đường xích đạo.

Giả sử nhiệt độ không thay đổi, nếu di chuyển đồng hồ đến một vị trí khác ngoài xích đạo thì đồng hồ sẽ chạy nhanh hơn.

Thời gian đồng hồ bị sai lệch trong 1 giây do thay đổi vị trí trên Trái Đất được tính theo công thức:

$\tau =\frac{g-g^{/}}{2g}$

Với {\displaystyle g} là gia tốc trọng trường tại xích đạo, và {\displaystyle g^{/}} là gia tốc trọng trường ở một vị trí bất kỳ trên Trái Đất.