Chuyển động theo quỹ đạo tròn

Trong vật lý, chuyển động theo quỹ đạo tròn diễn ra khi một điểm vật thể quay quanh một vòng tròn hoặc cung tròn. Đây có thể là chuyển động đều với vận tốc góc không thay đổi, hoặc chuyển động không đều với vận tốc góc biến đổi theo thời gian. Các phương trình mô tả chuyển động này áp dụng cho điểm lý tưởng trong mặt phẳng, trong thực tế, có thể coi khối tâm của vật đang chuyển động tròn.

Ví dụ về chuyển động theo quỹ đạo tròn bao gồm: một vệ tinh nhân tạo bay quanh Trái Đất trên quỹ đạo địa tĩnh, một viên đá quay tròn khi bị buộc vào một sợi dây (ném tạ), một xe đua di chuyển qua một khúc cua trên đường đua, một electron di chuyển vuông góc với từ trường đều, và các bánh răng quay trong một máy cơ khí.

Chuyển động theo quỹ đạo tròn có thể không đồng đều ngay cả khi vận tốc góc ω giữ nguyên, vì vector vận tốc v của điểm đang chuyển động luôn thay đổi hướng. Sự thay đổi hướng này gây ra gia tốc do lực hướng tâm kéo vật thể về phía trung tâm của quỹ đạo. Nếu không có gia tốc này, đối tượng sẽ di chuyển theo đường thẳng theo các định luật chuyển động của Newton.

Trình bày chuyển động theo quỹ đạo tròn bằng hệ tọa độ cực

Khi vật chuyển động theo quỹ đạo tròn, nó di chuyển trên một đường cong có thể được mô tả bằng hệ tọa độ cực với một trục R cố định từ tâm quỹ đạo, và góc θ (t) thay đổi so với trục cơ sở R. Xem hình 3: vector $\stackrel{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r}}{}$ là vector bán kính từ trục đến vị trí của vật:

$\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r}=R{\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{u}}_R\left(t\right)$

với ${\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{u}}_R\left(t\right)$ là vector đơn vị cùng hướng với vector bán kính tại thời điểm t và chỉ vị trí tương ứng với trục gốc. Vận tốc của vật là đạo hàm theo thời gian của vector vị trí:

$\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{v}=\frac{d}{dt}\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{r}$

Biểu diễn bằng số phức

Chuyển động tròn có thể được mô tả bằng số phức. Với trục thực $x$ và trục ảo $y$, vị trí của vật trong chuyển động tròn đều có thể được biểu diễn bằng số phức $z$:

$z=x+iy=R(\cos <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}+i\sin <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->})=R{e}^{i\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}$

với $i$ là đơn vị ảo, và

$\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}=\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}\left(t\right)$

{\displaystyle \theta =\theta (t)\,}

góc của vector số phức tạo với trục thực và nó là một hàm số phụ thuộc vào biến t. Vì bán kính không thay đổi:

$\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{R}=\stackrel{¨<!--\; ¨\; -->}{R}=0$

dấu chấm (đạo hàm) biểu thị sự thay đổi theo thời gian. Với ký hiệu này, vận tốc sẽ là:

$v=\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{z}=\frac{d\left(R{e}^{i\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}\right)}{dt}=R\frac{d\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}{dt}\frac{d\left(e^{i\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}\right)}{d\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}=iR\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}{e}^{i\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}=i\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}\cdot <!--\; \cdot \; -->R{e}^{i\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}=i\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}z$

và gia tốc trở thành:

$a=\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{v}=i\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}z+i\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{z}=(i\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}-<!--\; -\; -->{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^2)z$

$=\left(i\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}-<!--\; -\; -->{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^2\right)R{e}^{i\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}$

$=-<!--\; -\; -->{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^{2}R{e}^{i\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}+\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}{e}^{i\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{2}}R{e}^{i\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}.$

Chuyển động tròn đều

Phương trình cho chuyển động tròn có bán kính quỹ đạo r, chu vi là C = 2π r. Chu kỳ T, và vận tốc góc ω:

$\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}=\frac{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{T}$

Góc θ được quét trên mặt phẳng quỹ đạo trong khoảng thời gian t là:

$\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}=2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\frac{t}{T}=\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}t$

Vận tốc

Vận tốc v luôn tiếp tuyến với đường tròn, và không có hai vận tốc điểm cùng phương hướng. Dù độ lớn của vận tốc không thay đổi, nhưng phương hướng của nó thì luôn biến đổi. Sự thay đổi này được gây ra bởi một gia tốc với độ lớn không đổi nhưng hướng luôn thay đổi. Gia tốc này luôn chỉ về phía tâm quỹ đạo và vuông góc với vận tốc. Đây gọi là gia tốc hướng tâm.

Khi vật di chuyển trên quỹ đạo có bán kính r và quét một góc θ, quãng đường vật di chuyển trên quỹ đạo là s = rθ. Vì vậy, vận tốc được tính là:

$v=r\frac{d\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}{dt}=r\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}=\frac{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}r}{T}$,

Do chuyển động tròn đều nên vận tốc góc ω không thay đổi, vì vậy vận tốc v cũng duy trì không đổi.

Gia tốc hướng tâm

Hình bên trái mô tả quỹ đạo với các vectơ vận tốc tại hai điểm gần nhau. Hình bên phải cho thấy hai vectơ vận tốc trùng nhau (dt → 0). Vì vận tốc góc không thay đổi, các vectơ vận tốc cũng tạo ra một vòng tròn tương tự. Với một góc quét dθ = ωdt, sự thay đổi của v sẽ tạo thành một vectơ vuông góc với v và có độ lớn bằng vdθ. Do đó, độ lớn của gia tốc được tính theo công thức:

$a=v\frac{d\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}{dt}=v\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}=\frac{v^2}{r}.$

Các vectơ

Các mối quan hệ giữa các vectơ được trình bày trong hình 2. Trục quay được biểu diễn bởi vector Ω vuông góc với mặt phẳng quỹ đạo và có độ lớn ω = dθ / dt. Chiều của vector Ω theo quy tắc bàn tay phải. Vector vận tốc được tính bằng phép tích vectơ:

$v=\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}\times <!--\; \times \; -->r$

là một vector vuông góc với cả hai vector Ω và r (t), tiếp tuyến với quỹ đạo và có độ lớn bằng ω r. Tương tự, vector gia tốc được tính theo công thức:

$a=\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}\times <!--\; \times \; -->v=\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}\times <!--\; \times \; -->\left(\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}\times <!--\; \times \; -->r\right)$

là một vector vuông góc với cả vector Ω và v (t), có độ lớn bằng ω |v| = ω r và hướng ngược lại với vector r (t).

Quan hệ với dao động điều hòa

Hình chiếu của một điểm chuyển động tròn đều trên một trục nằm trong mặt phẳng quỹ đạo là dao động điều hòa. Ngược lại, bất kỳ dao động điều hòa nào cũng có thể được biểu diễn bằng một vector chuyển động tròn đều với vận tốc góc ω=2π/T, trong đó T là chu kỳ của dao động điều hòa, độ lớn của vector là biên độ dao động, và góc tạo với trục tọa độ là pha ban đầu.

Chuyển động tròn biến đổi đều

Chuyển động tròn biến đổi đều mô tả chuyển động của một vật trên một quỹ đạo hình tròn với gia tốc tiếp tuyến aθ không thay đổi. Chuyển động này có thể là nhanh dần đều hoặc chậm dần đều. Ví dụ về loại chuyển động này bao gồm tàu lượn, con lắc đơn, hoặc ô tô di chuyển trên một ngọn đồi hình cung tròn.

Gia tốc hướng tâm, còn gọi là gia tốc pháp tuyến aR, được tính bằng $v^2/r$, trong đó $v$ là độ lớn của vận tốc tại thời điểm hiện tại, và v = v0 + aθt với v0 là vận tốc ban đầu tại t0=0.

Vector gia tốc tiếp tuyến aθ có cùng phương với tiếp tuyến của quỹ đạo tròn tại điểm xét, và có độ lớn bằng đạo hàm bậc nhất của vận tốc theo thời gian: $a_{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}=\frac{dv}{dt}=const$.

Gia tốc tiếp tuyến là yếu tố chính làm thay đổi vận tốc của chất điểm. Gia tốc này xuất hiện do các lực tác động vào chất điểm, chẳng hạn như lực ma sát hoặc trọng lực.

Gia tốc toàn phần tại một điểm được tính bằng: $a=\sqrt{a_{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}^2+a_R^2}=\sqrt{{\left(\frac{dv}{dt}\right)}^2+{\left(\frac{v^2}{R}\right)}^2}$

Góc lệch μ giữa a và aθ được tính bằng: $\tan <!--\; \; -->\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}=\frac{|a_{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}|}{a_R}$

Ghi chú

Liên kết tham khảo

• Chuyển động tròn Lưu trữ ngày 14 tháng 12 năm 2010 trên Wayback Machine - một chương sách giáo khoa trực tuyến.
• Bài giảng về chuyển động tròn Lưu trữ ngày 17 tháng 01 năm 2010 trên Wayback Machine - một video bài giảng từ CM.