Chuyển sắc

Trong giải tích vectơ, chuyển sắc của một trường vô hướng là một trường vectơ có hướng về phía mức tăng lớn nhất của trường vô hướng, với độ lớn là tốc độ thay đổi lớn nhất.

Giả sử $f$ là một hàm số từ $R^n$ đến $R$, nghĩa là $f=f(x_1,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n)$.

Theo định nghĩa, gradient của hàm số f là một vectơ cột có thành phần là đạo hàm của f {\displaystyle f} theo các biến:

$\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}f={\left(\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}f}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_1},\dots <!--\; \dots \; -->,\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}f}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_n}\right)}^T$

.

Thí dụ

Chẳng hạn, nhiệt độ trong một căn phòng được biểu diễn bởi trường vô hướng T, nghĩa là tại mỗi điểm (x, y, z) nhiệt độ là T(x, y, z) (giả sử nhiệt độ không đổi theo thời gian). Trong trường hợp này, gradient của T tại một điểm sẽ chỉ ra hướng tăng nhiệt độ nhanh nhất. Độ lớn của gradient sẽ biểu thị tốc độ thay đổi nhiệt độ theo hướng đó.

Trong một ví dụ khác, độ cao của một ngọn đồi so với mực nước biển tại điểm (x, y) là H(x, y). Gradient của H tại mỗi điểm sẽ là vectơ chỉ ra hướng dốc nhất tại điểm đó. Độ lớn của vectơ gradient cho biết độ dốc của ngọn đồi.

Gradient cũng có thể dùng để đo sự thay đổi của một trường vô hướng theo những hướng khác ngoài hướng có sự thay đổi lớn nhất, bằng cách sử dụng tích điểm. Trong ví dụ trên, giả sử độ dốc lớn nhất lên đồi là 40%. Nếu một con đường đi thẳng lên đồi thì đoạn dốc nhất cũng là 40%. Nhưng nếu con đường đi vòng quanh đồi, độ dốc sẽ giảm.

Xem thêm

• Korn, Theresa M.; Korn, Granino Arthur (2000). Sổ Tay Toán Học cho Khoa Học Gia và Kỹ Sư: Định Nghĩa, Định Lý và Công Thức để Tham Khảo và Ôn Tập. Dover Publications. tr. 157–160. ISBN 0-486-41147-8. OCLC 43864234.

Liên kết ngoài

• “Gradient”. Khan Academy.
• Kuptsov, L.P. (2001), “Gradient”, trong Hazewinkel, Michiel (biên tập), Bách Khoa Toàn Thư Toán Học, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4.
• Weisstein, Eric W., 'Gradient' từ MathWorld.