Buzz
1. Định nghĩa con lắc đơn
Con lắc đơn bao gồm một vật nhỏ có khối lượng m, được treo bằng một sợi dây không dãn với chiều dài l. Khối lượng của sợi dây có thể bỏ qua và đầu trên của sợi dây gắn vào một điểm cố định.
2. Điểm cân bằng của con lắc đơn
Vị trí cân bằng của con lắc đơn là khi dây treo nằm thẳng đứng. Khi kéo nhẹ quả cầu ra khỏi vị trí này và thả ra, con lắc sẽ dao động quanh điểm cân bằng trong mặt phẳng thẳng đứng đi qua điểm treo và vị trí ban đầu của vật. Từ đó, ta có thể xác định xem dao động của con lắc có phải là dao động điều hòa không.
3. Phương trình dao động của con lắc đơn
Để con lắc đơn dao động điều hòa, góc lệch cực đại của dây treo phải thỏa mãn điều kiện sau:
α0 ≤ 10º
- Phương trình dao động của con lắc được biểu diễn như sau: s = s0.cos(ωt + φ)
- Li độ dao động được tính bằng s = α . l (với α tính bằng radian).
- Biên độ dao động được tính bằng s0 = l . α0.
- Phương trình dao động theo li độ góc là: α = α0.cos(ωt + φ)
- α là li độ góc của dao động.
- α0 là biên độ góc của dao động.
4. Phương trình vận tốc và gia tốc
- Phương trình vận tốc của dao động là: v = s' = ω . s0 . sin(ωt + φ + π/2)
=> vmax = ω . s0 khi vật đi qua vị trí cân bằng.
- Vận tốc v và li độ s (hoặc li độ góc α) luôn vuông pha với nhau, vì vậy ta có công thức sau:
(v/vmax)² + (s/s0)² = 1 hoặc (v/vmax)² + (α/α0)² = 1
- Phương trình gia tốc
Trong quá trình dao động của con lắc, nó chịu tác động của hai loại gia tốc: gia tốc hướng tâm và gia tốc tiếp tuyến.
Phương trình gia tốc tiếp tuyến là: att = v' = -ω² . s0 . cos(ωt + φ) = -ω² . s
- Gia tốc tiếp tuyến att và vận tốc v vuông pha với nhau, do đó có công thức: (a/att max)² + (v/vmax)² = 1
Phương trình gia tốc hướng tâm là: aht = v² / l
- Gia tốc hướng tâm và gia tốc tiếp tuyến cũng vuông pha với nhau.
Do đó, gia tốc tổng hợp được tính như sau:
ath = √(aht² + att²)
Nhận xét: Trong quá trình dao động, gia tốc nhỏ nhất của con lắc luôn có giá trị dương.
5. Công thức tính chu kỳ và tần số
Chu kỳ: (Đơn vị: giây)
Tần số: (Đơn vị: Hz)
6. Công thức tính năng lượng của con lắc đơn
Dưới đây là các công thức tính năng lượng của con lắc đơn trong dao động điều hòa:
- Động năng của con lắc đơn dao động điều hòa được tính như sau:
- Thế năng của con lắc đơn (với mốc thế năng ở vị trí cân bằng và thế năng khi con lắc ở li độ góc α bất kỳ) được tính như sau:
- Cơ năng của con lắc đơn là tổng của động năng và thế năng. Khi động năng đạt giá trị 0, thế năng đạt cực đại và ngược lại. Do đó, cơ năng bằng động năng cực đại và cũng bằng thế năng cực đại:
Lưu ý:
- Nếu không tính đến ma sát, cơ năng của con lắc đơn được bảo toàn;
- Công thức áp dụng cho mọi giá trị của α ≤ 90º.
7. Công thức tính vận tốc và lực căng dây
Khi vật ở vị trí có li độ góc α, các lực tác động lên vật bao gồm: trọng lực P = mg và lực căng T của dây treo. Tổng của hai lực này là lực hướng tâm, với vật chuyển động trên quỹ đạo tròn có bán kính R = 1. Ta có:
P + T = Fht
v = √(2gl (cos α - cos α0)) => vmax = √(2gl (1 - cos α0))
Công thức tính lực căng dây của con lắc đơn
T = mg.(3.cos α - 2.cos α0)
=> Tmax = mg(3 - 2.cos α0) (khi vật qua vị trí cân bằng)
=> Tmin = mg.cos α0 (khi vật ở vị trí biên)
8. Ứng dụng: Xác định gia tốc rơi tự do
Trong ngành địa chất, các nhà địa chất thường đo gia tốc trọng trường tại các điểm cụ thể để nghiên cứu các đặc tính của lớp bề mặt Trái Đất. Dưới đây là một ví dụ minh họa.
Sử dụng một con lắc có chiều dài l đo từ tâm quả cầu. Ghi lại thời gian của một số chu kỳ dao động toàn phần để tính chu kỳ T. Sau đó, tính gia tốc trọng trường g bằng công thức g = 4π².l/T². Lặp lại thí nghiệm với việc giảm dần chiều dài con lắc sau mỗi lần đo. Lấy giá trị trung bình của g từ các lần đo để xác định gia tốc rơi tự do tại điểm đó.
9. Bài tập con lắc đơn
Bài 1: Một con lắc đơn có chiều dài 16 cm. Kéo con lắc ra khỏi vị trí cân bằng một góc 9º rồi thả ra để con lắc dao động. Bỏ qua ma sát, lấy g = 10 m/s². Chọn mốc thời gian là lúc thả vật và chiều dương là chiều chuyển động ban đầu của con lắc. Biểu diễn phương trình dao động của con lắc theo li độ góc.
Hướng dẫn giải:
Tần số góc của con lắc được tính bằng: ω = √(g/l) = 2,5π (rad/s)
Li độ cực đại là: α0 = 9π/180 = 0.157 (rad)
Vì mốc thời gian được chọn là lúc thả vật và vật chuyển động theo chiều dương nên: α = - α0
Từ đó, ta có: cos φ = α / α0 = - α0 / α0 = -1 => φ = π (rad)
Do đó, phương trình dao động của con lắc đơn theo li độ góc là:
α = 0.157cos(2.5πt + π) (rad).
Bài 2: Một con lắc đơn có chiều dài được ký hiệu là l thực hiện 6 dao động trong khoảng thời gian Δt. Khi giảm chiều dài của con lắc đi 16 cm, nó thực hiện được 10 dao động trong cùng khoảng thời gian Δt. Tính chiều dài ban đầu của con lắc.
Hướng dẫn giải:
Con lắc thực hiện 6 dao động trong khoảng thời gian Δt. Nếu chiều dài giảm đi 16 cm, con lắc sẽ thực hiện được 10 dao động trong cùng khoảng thời gian Δt. Ta có biểu thức sau:
Δt = 6.T1 = 10.T2 ⇔ 6.2π.√(l/g) = 10.2π.√((l - 0.16)/g) ⇔ l = 0.25 m = 25 cm
Bài 3: Một con lắc đơn có chiều dài l = 15 cm. Khi con lắc được truyền vận tốc 10 cm/s theo chiều dương từ vị trí cân bằng. Chọn mốc thời gian là lúc thả vật và g = 10 m/s². Viết phương trình dao động của con lắc đơn theo li độ dài.
Hướng dẫn giải:
Tần số góc của con lắc được tính bằng: ω = √(g/l) = 8 (rad/s)
Li độ cực đại là: s0 = v0/ω = 0,1/8 = 0,08 (m) = 8 (cm)
Ta có: cos(φ) = s/s0 = 0 => φ = -π/2 (do v > 0)
Do đó, phương trình dao động của con lắc theo li độ dài là: s = 8 cos(8t - π/2) (cm).
Bài 4: Trong các phát biểu dưới đây, phát biểu nào không chính xác về con lắc đơn dao động điều hòa?
A. Chu kỳ của con lắc đơn phụ thuộc vào chiều dài của dây treo.
B. Chu kỳ của con lắc đơn không bị ảnh hưởng bởi khối lượng của vật nặng.
C. Chu kỳ của con lắc đơn phụ thuộc vào biên độ của dao động.
D. Chu kỳ của con lắc đơn bị ảnh hưởng bởi vị trí thực hiện thí nghiệm.
Hướng dẫn giải:
Ta có chu kỳ T = 2π.√(l/g) không phụ thuộc vào khối lượng mà chỉ liên quan đến chiều dài dây và gia tốc trọng trường. Do đó, đáp án không chính xác là C.
Bài 5: Một con lắc đơn có chiều dài l = 1 m dao động điều hòa với chu kỳ T tại nơi có gia tốc trọng trường g = 10 = π² m/s². Khi con lắc đi qua vị trí cân bằng, dây treo bị kẹt tại vị trí l/2 và con lắc tiếp tục dao động. Xác định chu kỳ mới của con lắc trong trường hợp này.
Hướng dẫn giải:
- Gọi T1 là chu kỳ dao động ban đầu của con lắc đơn, được tính bằng T1 = 2π.√(l/g) = 2 giây.
- Trong quá trình dao động của vật, sẽ có hai giai đoạn như sau:
+ Giai đoạn 1 là một nửa chu kỳ của T1.
+ Giai đoạn 2 là một nửa chu kỳ của T2.
T2 = T1 / √2 = √2 giây.
Trong đó:
=> Chu kỳ của con lắc khi bị vướng đinh là: T = (T1 + T2) / 2 = (2 + √2) / 2 giây.
Từ bài viết về con lắc đơn, các bạn nên lưu ý các điểm chính: Cấu tạo của con lắc đơn, công thức tính chu kỳ và năng lượng của nó. Hy vọng tài liệu này sẽ hỗ trợ các bạn trong việc học vật lý lớp 12, đặc biệt là trong chương này. Mytour xin chân thành cảm ơn!
