Con số vô hạn

Con số vô hạn là những số được gọi là vô hạn (transfinite) nếu chúng lớn hơn mọi số hữu hạn, nhưng không nhất thiết phải là vô hạn tuyệt đối (infinity). Nhà toán học người Đức Georg Cantor đã phát triển khái niệm này để tránh hàm ý của sự vô tận khi kết nối với các đối tượng không hữu hạn. Một số học giả thời đó đồng cảm với lo ngại này. Hiện tại, khái niệm số vô hạn đã được công nhận trong việc đề cập đến số đếm và số thứ tự vô hạn. Tuy nhiên, thuật ngữ transfinite vẫn được sử dụng trong các trường hợp này.

Khái niệm

Đối với các số hữu hạn, số vô hạn có thể được định nghĩa theo hai cách, cho số đếm và số thứ tự. Khác với số hữu hạn, số vô hạn bao gồm hai loại chính:

• ω (omega) được xem là số đếm vô hạn nhỏ nhất và là kiểu tập hợp của số tự nhiên trong tập hợp của chúng.
• Aleph-null (${\mathrm{\aleph <!--\; \aleph \; -->}}_0,$) là số thứ tự vô hạn đầu tiên và đại diện cho số lượng của tập hợp vô hạn các số tự nhiên. Nếu tiên đề lựa chọn được chấp nhận, số thứ tự vô hạn kế tiếp là aleph-one (${\mathrm{\aleph <!--\; \aleph \; -->}}_1.$). Nếu không, có thể có các số thứ tự không thể so sánh với aleph-one và lớn hơn aleph-zero. Tuy nhiên, không có số thứ tự nào nằm giữa aleph-zero và aleph-one.

Lý thuyết continuum chỉ ra rằng giữa số thứ tự aleph-null và lực lượng của continuum (tập hợp số thực) không tồn tại số thứ tự nào ngay lập tức. Điều này có nghĩa là aleph-one chính là lực lượng của tập hợp số thực. Nếu lý thuyết tập hợp Zermelo–Fraenkel là nhất quán, thì cả lý thuyết continuum và phản lý thuyết của nó đều không thể được chứng minh từ lý thuyết tập hợp này.

Một số tác giả như P. Suppes và J. Rubin dùng thuật ngữ số thứ tự vô hạn (transfinite) để chỉ lực lượng của tập hợp vô hạn Dedekind, trong các trường hợp có thể không tương đương với số thứ tự vô hạn (infinite). Điều này có nghĩa là trong những hoàn cảnh này, tiên đề lựa chọn có thể được chấp nhận hoặc không được thừa nhận. Với định nghĩa đó, các mệnh đề sau đây sẽ được coi là tương đương:

• $m$ là số thứ tự vô hạn, tức là tập hợp vô hạn Dedekind A mà trong đó $m$
  {displaystyle {mathfrak {m}}} là lực lượng của A.
• $m+1=m.$
• ${\mathrm{\aleph <!--\; \aleph \; -->}}_0\le <!--\; \le \; -->m.$
• Có một số thứ tự $n$ như là ${\mathrm{\aleph <!--\; \aleph \; -->}}_0+n=m.$

• Vô hạn tuyệt đối
• Georg Cantor

• Levy, Azriel, 2002 (1978) Basic Set Theory. Dover Publications. ISBN 0-486-42079-5
• O'Connor, J. J. và E. F. Robertson (1998) 'Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor,' MacTutor History of Mathematics archive.
• Rubin, Jean E., 1967. 'Set Theory for the Mathematician'. San Francisco: Holden-Day. Dựa trên lý thuyết tập hợp Morse–Kelley.
• Rudy Rucker, 2005 (1982) Infinity and the Mind. Princeton Univ. Press. Khám phá các hệ quả triết học của thiên đường Cantor. ISBN 978-0-691-00172-2.
• Patrick Suppes, 1972 (1960) 'Axiomatic Set Theory'. Dover. ISBN 0-486-61630-4. Dựa trên lý thuyết ZFC.

Mẫu: Các số lớn