Cộng ma trận

Buzz

Nội dung bài viết

Tổng các phần tử

Tổng trực tiếp

Tổng Kronecker

Ghi chú

Các liên kết ngoài

Xem thêm

Ví dụ minh họa về phép cộng ma trận

Trong toán học, cộng ma trận là thao tác cộng hai ma trận bằng cách cộng từng phần tử tương ứng. Ngoài phép cộng thông thường, cũng có các phép toán khác như tổng trực tiếp và tổng Kronecker, có thể coi là các dạng của phép cộng ma trận.

Tổng các phần tử

Để thực hiện phép cộng ma trận, hai ma trận cần có cùng số hàng và số cột. Nếu hai ma trận A và B thỏa điều kiện này, tổng của chúng sẽ là một ma trận có cùng kích thước với A và B. Tổng của A và B, ký hiệu là A + B, được tính bằng cách cộng từng phần tử tương ứng của A và B:

\begin{matrix} A + B & = [\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \dots & a_{m n} \end{matrix}] + [\begin{matrix} b_{11} & b_{12} & \dots & b_{1 n} \\ b_{21} & b_{22} & \dots & b_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ b_{m 1} & b_{m 2} & \dots & b_{m n} \end{matrix}] \\ = [\begin{matrix} a_{11} + b_{11} & a_{12} + b_{12} & \dots & a_{1 n} + b_{1 n} \\ a_{21} + b_{21} & a_{22} + b_{22} & \dots & a_{2 n} + b_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{m 1} + b_{m 1} & a_{m 2} + b_{m 2} & \dots & a_{m n} + b_{m n} \end{matrix}] \end{matrix}

Khi cộng hai ma trận, ví dụ A + B = C, kết quả là ma trận C:

c_{i j} = a_{i j} + b_{i j}

Ví dụ cụ thể:

[\begin{matrix} 1 & 3 \\ 1 & 0 \\ 1 & 2 \end{matrix}] + [\begin{matrix} 0 & 0 \\ 7 & 5 \\ 2 & 1 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 1 + 0 & 3 + 0 \\ 1 + 7 & 0 + 5 \\ 1 + 2 & 2 + 1 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 1 & 3 \\ 8 & 5 \\ 3 & 3 \end{matrix}]

Tương tự như phép cộng, phép trừ hai ma trận cũng được thực hiện nếu chúng có cùng kích thước. Để tính hiệu của A và B, ký hiệu là A − B, bạn trừ các phần tử tương ứng của B từ các phần tử của A. Ví dụ:

[\begin{matrix} 1 & 3 \\ 1 & 0 \\ 1 & 2 \end{matrix}] - [\begin{matrix} 0 & 0 \\ 7 & 5 \\ 2 & 1 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 1 - 0 & 3 - 0 \\ 1 - 7 & 0 - 5 \\ 1 - 2 & 2 - 1 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 1 & 3 \\ - 6 & - 5 \\ - 1 & 1 \end{matrix}]

Tổng trực tiếp

Có một phép toán khác ít được sử dụng hơn, gọi là tổng trực tiếp (ký hiệu ⊕). Cần lưu ý rằng ký hiệu ⊕ cũng có thể đại diện cho tổng Kronecker; vì vậy cần chú ý ngữ cảnh khi áp dụng. Tổng trực tiếp của hai ma trận A có kích thước m × n và B có kích thước p × q sẽ tạo ra một ma trận mới có kích thước (m + p) × (n + q) được định nghĩa như sau:

Chẳng hạn,

[\begin{matrix} 1 & 3 & 2 \\ 2 & 3 & 1 \end{matrix}] \oplus [\begin{matrix} 1 & 6 \\ 0 & 1 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 1 & 3 & 2 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}]

Tổng trực tiếp của ma trận là dạng ma trận khối đặc biệt. Đặc biệt, tổng trực tiếp của các ma trận vuông sẽ tạo thành ma trận khối chéo.

Ma trận kề của liên hợp đồ thị (hoặc đa đồ thị) không chồng lẫn nhau chính là tổng trực tiếp của các ma trận kề của chúng. Mọi phần tử trong tổng trực tiếp của hai không gian vectơ có thể được biểu diễn dưới dạng tổng trực tiếp của hai ma trận.

Nói chung, tổng trực tiếp của ma trận với kích thước n là:

⨁_{i = 1}^{n} A_{i} = diag (A_{1}, A_{2}, A_{3}, \dots, A_{n}) = [\begin{matrix} A_{1} & 0 & \dots & 0 \\ 0 & A_{2} & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ 0 & 0 & \dots & A_{n} \end{matrix}]

Trong đó các số 0 biểu thị các ma trận không (ma trận toàn số 0).

Tổng Kronecker

Tổng Kronecker không giống với tổng trực tiếp, mặc dù cùng sử dụng ký hiệu ⊕. Nó được định nghĩa thông qua tích Kronecker ⊗ và phép cộng ma trận thông thường. Nếu A là ma trận kích thước n × n, B là ma trận kích thước m × m và biểu thị ma trận đơn vị kích thước k × k, thì tổng Kronecker được tính bằng:

A \oplus B = A \otimes I_{m} + I_{n} \otimes B .

Nhân ma trận
Cộng vector

Ghi chú

Lipschutz, S.; Lipson, M. (2009). Đại số tuyến tính. Schaum's Outline Series. ISBN 978-0-07-154352-1.

Các liên kết ngoài

Tổng trực tiếp của các ma trận trên trang PlanetMath.org.
Những khái niệm trừu tượng: Tổng trực tiếp của các phép biến đổi tuyến tính và tổng trực tiếp của các ma trận
Thư viện nguồn toán học: Các phép toán ma trận số học
Đại số ma trận và R

Theovi.wikipedia.org

Copy link

Nội dung từ Mytour nhằm chăm sóc khách hàng và khuyến khích du lịch, chúng tôi không chịu trách nhiệm và không áp dụng cho mục đích khác.

Nếu bài viết sai sót hoặc không phù hợp, vui lòng liên hệ qua email: [email protected]