Cộng số

Phép cộng (tiếng Anh: Addition) được ký hiệu bằng dấu cộng '+' là một trong những phép toán cơ bản nhất trong số học, bên cạnh phép trừ, nhân, và chia. Kết quả của phép cộng hai số tự nhiên là tổng của hai số đó. Như hình minh họa, ba quả táo cộng với hai quả táo sẽ tạo thành tổng năm quả táo, tương ứng với phép toán '3 + 2 = 5' hay '3 cộng 2 là 5'.

Ngoài phép đếm, phép cộng có thể được hiểu và thực hiện thông qua các khái niệm trừu tượng như số nguyên, số thực và số phức, mà không cần dựa vào đối tượng cụ thể. Phép cộng thuộc về lĩnh vực số học trong toán học, và trong đại số, nó cũng có thể được áp dụng cho các khái niệm trừu tượng như vectơ và ma trận.

Phép cộng có một số đặc điểm quan trọng. Nó mang tính giao hoán, tức là không phụ thuộc vào thứ tự của các số được cộng, và tính kết hợp, tức là thứ tự cộng nhiều số không làm thay đổi kết quả. Phép cộng cũng có sự tương đồng với phép đếm; cộng một số với 0 cho kết quả là số đó. Hơn nữa, phép cộng tuân theo một số quy tắc liên quan đến các phép toán khác như phép trừ và phép nhân.

Thực hiện phép cộng là một trong những hoạt động cơ bản và đơn giản nhất liên quan đến số học. Trẻ em mới học đi có thể dễ dàng tiếp thu phép cộng với những số nhỏ; ví dụ đơn giản nhất, 1 + 1, có thể được trẻ sơ sinh từ năm tháng tuổi và một số loài động vật khác thực hiện. Trong giáo dục tiểu học, học sinh học cách cộng các số trong hệ thập phân, bắt đầu từ phép cộng với một chữ số và dần dần giải quyết các bài toán phức tạp hơn. Có nhiều công cụ hỗ trợ việc cộng, từ bàn tính cổ đại đến máy tính hiện đại, trong khi nghiên cứu về các phương pháp thực hiện phép cộng hiệu quả vẫn đang tiếp tục.

Ký hiệu và Thuật ngữ

Phép cộng được ký hiệu bằng dấu cộng '+' giữa hai số, tức là theo ký hiệu trung tố. Kết quả sẽ được biểu thị sau dấu bằng. Ví dụ:

$1+1=2$ ('một cộng một bằng hai')

$2+2=4$ ('hai cộng hai bằng bốn')

$1+2=3$ ('một cộng hai bằng ba')

$5+4+2=11$ (xem phần 'kết hợp' bên dưới)

$3+3+3+3=12$ (xem phần 'nhân' bên dưới)

Có những tình huống mà phép cộng có thể được hiểu mặc dù không có ký hiệu rõ ràng xuất hiện:

• Khi một số nguyên đứng trước một phân số, nó biểu thị tổng của hai số và được gọi là số hỗn hợp. Ví dụ:

3½ = 3 + ½ = 3,5.

Ký hiệu này có thể gây nhầm lẫn vì trong nhiều trường hợp khác, hai số đặt cạnh nhau thường biểu thị phép nhân.

Tổng của một dãy số có thể được viết bằng ký hiệu sigma, dùng để biểu thị phép lặp ngắn gọn. Ví dụ:

$\underset{k=1}{\overset{5}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{k}^2=1^2+2^2+3^2+4^2+5^2=55.$

Trong tiếng Việt, số (hoặc vật) được cộng vào trong phép cộng thường được gọi chung là số hạng, trong khi đó trong tiếng Anh, các thuật ngữ như term, addend hay summand được sử dụng. Các thuật ngữ này cũng áp dụng cho phép cộng nhiều số và phân biệt với thừa số, các số được nhân với nhau. Một số tác giả còn gọi số hạng đầu tiên là augend. Trong thời kỳ Phục Hưng, nhiều tác giả không công nhận số hạng đầu tiên là addend. Hiện tại, do tính giao hoán của phép cộng, từ augend ít khi được dùng, và tất cả các số hạng đều được gọi là addend.

Tất cả các thuật ngữ trên đều bắt nguồn từ tiếng Latinh. Từ addition và add trong tiếng Anh xuất phát từ động từ Latinh addere, bao gồm hai âm tiết: ad nghĩa là 'đến' và dare nghĩa là 'cho' (từ gốc Ấn-Âu nguyên thủy *deh₃- nghĩa là 'cho'), vì vậy add có nghĩa là 'cho vào'. Thêm hậu tố động danh từ -nd tạo thành từ addend nghĩa là 'thứ được cộng vào'. Tương tự, từ động từ augere ('tăng') tạo ra từ augend ('thứ được tăng lên').

Sum và summand có nguồn gốc từ danh từ Latinh summa, nghĩa là 'đỉnh, điểm cao nhất' và động từ tương ứng summare. Điều này phản ánh không chỉ vì tổng của hai số dương lớn hơn chính hai số đó, mà còn vì người Hy Lạp và La Mã cổ đại quan niệm rằng phép cộng là hướng lên, trái ngược với quan niệm hiện đại rằng phép cộng là hướng xuống, do đó một tổng lớn hơn các số hạng. Các từ addere và summare xuất hiện từ thời Boethius hoặc từ các tác giả La Mã trước ông như Vitruvius và Frontinus; Boethius còn có thêm nhiều thuật ngữ khác để chỉ phép cộng. Từ adden và adding trong tiếng Anh trung đại được Chaucer phổ biến.

Ký hiệu cộng '+' (Unicode: U+002B; ASCII: +) xuất phát từ từ Latinh et, có nghĩa là 'và'. Ký hiệu này đã xuất hiện trong các tài liệu toán học từ ít nhất năm 1489.

Giải thích

Phép cộng được sử dụng để mô phỏng nhiều hiện tượng vật lý. Ngay cả khi cộng các số tự nhiên, có nhiều cách tiếp cận và hình ảnh để giải thích.

Hợp các tập hợp

Một cách giải thích cơ bản về phép cộng là thông qua việc hợp các tập hợp lại với nhau:

• Khi hai hay nhiều tập hợp riêng biệt được kết hợp thành một tập hợp duy nhất, số lượng đối tượng trong tập hợp mới bằng tổng số đối tượng trong các tập hợp ban đầu.

Giải thích này dễ hình dung và rõ ràng, đặc biệt hữu ích trong toán học nâng cao; để hiểu định nghĩa chính xác, xem mục Số tự nhiên phía dưới. Tuy nhiên, cách mở rộng phép cộng này để bao gồm phân số và số âm vẫn chưa rõ ràng.

Một cách khắc phục là xem xét các đối tượng trong tập hợp có thể chia nhỏ được, chẳng hạn như chiếc bánh hoặc các đoạn thanh nhỏ. Trong trường hợp này, chúng ta có thể nối các đầu của các thanh lại với nhau, minh họa một khái niệm khác của phép cộng: không phải cộng trực tiếp các thanh mà là cộng các độ dài của chúng.

Mở rộng độ dài

Một cách giải thích khác về phép cộng là kéo dài một đoạn ban đầu thêm một đoạn đã cho:

• Khi một đoạn ban đầu được kéo dài thêm một khoảng cụ thể, độ dài cuối cùng sẽ là tổng của đoạn ban đầu và phần mở rộng đó.

Tổng a + b có thể được coi là một phép toán hai ngôi kết hợp a và b, theo nghĩa đại số, hoặc cũng có thể hiểu là cộng thêm b đơn vị vào a. Theo cách hiểu thứ hai, các thành phần trong tổng a + b mang tính không đối xứng và phép toán a + b có thể được coi là áp dụng phép toán một ngôi +b vào a. Thay vì gọi chung cả a và b là số hạng, nên gọi a là số hạng đầu tiên (augend), vì a đóng vai trò thụ động. Quan điểm này cũng hữu ích khi bàn về phép trừ, vì mỗi phép cộng một ngôi có một phép trừ một ngôi đối ứng và ngược lại.

Các tính chất

Tính giao hoán

Phép cộng có tính chất giao hoán, nghĩa là bạn có thể hoán đổi vị trí các số hạng trong phép cộng mà kết quả không thay đổi. Đối với hai số bất kỳ a và b, ta có:

a + b = b + a.

Một số phép toán hai ngôi khác như phép nhân cũng có tính giao hoán, tuy nhiên nhiều phép toán khác, bao gồm phép trừ và phép chia, không có tính chất này.

Tính kết hợp

Phép cộng có tính kết hợp, tức là khi cộng ba số hoặc nhiều hơn, thứ tự thực hiện phép cộng không ảnh hưởng đến kết quả cuối cùng.

Ví dụ, với ba số a, b và c, biểu thức a + b + c có thể được hiểu là (a + b) + c hoặc a + (b + c). Do tính chất kết hợp của phép cộng, hai cách hiểu này đều cho cùng một kết quả, hay nói cách khác, (a + b) + c = a + (b + c). Ví dụ cụ thể, (1 + 2) + 3 = 3 + 3 = 6 = 1 + 5 = 1 + (2 + 3).

Khi phép cộng xuất hiện cùng với các phép toán khác, thứ tự ưu tiên trở nên quan trọng: phép cộng có cấp độ ưu tiên tương đương với phép trừ và thấp hơn so với lũy thừa, căn bậc n, phép nhân và phép chia.

Phần tử trung tính

Khi cộng một số bất kỳ với số 0, số đó không thay đổi; 0 là phần tử trung tính trong phép cộng, còn được gọi là đơn vị cộng. Đối với bất kỳ a,

a + 0 = 0 + a = a.

Định lý này lần đầu tiên được nêu trong Brāhmasphuṭasiddhānta của Brahmagupta vào năm 628, mặc dù ông không sử dụng ký hiệu đại số và chia thành ba trường hợp dựa trên việc a là số dương, âm hay 0. Các nhà toán học Ấn Độ sau đó đã phát triển khái niệm này; khoảng năm 830, Mahavira ghi chép rằng 'số 0 trở thành thứ giống như những gì được cộng vào nó', tương ứng với phép toán một ngôi 0 + a = a. Đến thế kỷ 12, Bhaskara nhận xét 'Trong phép cộng với cipher [số 0] hoặc phép trừ liên quan, số dương hay âm vẫn giữ nguyên giá trị', tương ứng với phép toán một ngôi a + 0 = a.

Phần tử trung tính

Để cộng các đại lượng có đơn vị, chúng phải được biểu thị bằng cùng một đơn vị đo. Ví dụ, cộng 50 mililít vào 150 mililít sẽ được 200 mililít. Tuy nhiên, nếu kéo dài 2 mét thêm 10 centimét, tổng sẽ là 210 centimét, vì 2 mét tương đương với 200 centimét. Ngược lại, việc cộng 3 mét với 4 mét vuông là không hợp lệ vì các đơn vị đo không thể so sánh được; đây là vấn đề cơ bản trong phân tích đơn vị đo.

Thực hiện phép cộng

Khả năng bẩm sinh

Nghiên cứu về sự phát triển kỹ năng toán học ở trẻ em bắt đầu từ những năm 1980 đã khai thác hiện tượng quen thuộc: trẻ sơ sinh thường nhìn lâu hơn vào những tình huống bất ngờ. Một thí nghiệm năm 1992 của Karen Wynn, sử dụng búp bê Mickey Mouse bị che khuất, đã chỉ ra rằng trẻ sơ sinh năm tháng tuổi có khả năng dự đoán rằng 1 + 1 bằng 2, và chúng tỏ ra ngạc nhiên khi một tình huống vật lý dường như cho thấy 1 + 1 bằng 1 hoặc 3. Phát hiện này đã được xác nhận bởi nhiều phòng thí nghiệm thông qua các phương pháp khác nhau. Một nghiên cứu khác năm 1992 với trẻ từ 18 đến 35 tháng tuổi đã khảo sát hành vi của chúng khi lấy bóng bàn từ một hộp; trẻ nhỏ nhất đáp ứng tốt với các số nhỏ, trong khi trẻ lớn hơn có thể tính tổng lớn đến 5.

Một số động vật không phải con người cũng có khả năng thực hiện phép cộng ở mức độ hạn chế, đặc biệt là các loài linh trưởng. Trong một nghiên cứu năm 1995, dựa trên nghiên cứu của Wynn năm 1992 (nhưng sử dụng cà tím thay vì búp bê), khỉ rhesus và khỉ sóc đầu trắng thể hiện khả năng thực hiện phép cộng tương tự như trẻ sơ sinh. Đáng ngạc nhiên hơn, một con tinh tinh, sau khi được dạy về các chữ số Ả Rập từ 0 đến 4, có thể tính tổng của hai số mà không cần dạy thêm. Gần đây, voi châu Á cũng đã cho thấy khả năng thực hiện các phép tính số học cơ bản.

Học phép cộng khi còn nhỏ

Thường thì kỹ năng đầu tiên trẻ em thành thạo là đếm. Khi gặp bài toán yêu cầu cộng hai vật và ba vật lại với nhau, trẻ thường dùng các vật thể, như ngón tay hoặc hình vẽ, để mô phỏng và đếm tổng số. Khi kỹ năng tăng dần, trẻ học cách 'đếm lên': khi được yêu cầu tính 2 + 3, trẻ bắt đầu đếm từ số ba (bỏ qua hai số đầu) và nói 'ba, bốn, năm' (thường đánh dấu bằng ngón tay) và dừng lại ở năm. Đây là phương pháp gần như phổ quát mà trẻ có thể dễ dàng học từ bạn bè hoặc giáo viên. Đa số trẻ tự phát triển kỹ năng này. Với kinh nghiệm ngày càng nhiều, trẻ học cách thực hiện phép cộng nhanh hơn bằng cách khai thác tính giao hoán của phép cộng, như đếm từ số lớn hơn trong trường hợp này là bỏ qua ba số đầu và đếm 'bốn, năm'. Cuối cùng, trẻ bắt đầu ghi nhớ các phép cộng cơ bản ('tách và gộp số') thông qua kinh nghiệm hoặc học thuộc lòng. Khi đã ghi nhớ một số phép toán cơ bản, trẻ có thể suy luận các phép toán chưa biết từ những phép toán đã biết. Ví dụ, nếu trẻ được yêu cầu tính 6 + 7 có thể biết rằng 6 + 6 = 12 và do đó 6 + 7 lớn hơn 1 đơn vị, tức là số 13. Các phép toán cơ bản như vậy có thể được tìm ra nhanh chóng và hầu hết học sinh tiểu học dựa vào các phép cộng cơ bản đã ghi nhớ và suy luận để thực hiện phép cộng một cách thuần thục.

Các quốc gia khác nhau có những cách tiếp cận khác nhau đối với việc giới thiệu số học và số vào các độ tuổi khác nhau, và nhiều quốc gia dạy phép cộng trước khi trẻ vào trường tiểu học. Tuy nhiên, nhìn chung, trên toàn thế giới, phép cộng thường được dạy vào cuối năm đầu tiên của cấp tiểu học.

Trẻ em thường được học bảng cộng với các cặp số từ 0 đến 9 để ghi nhớ. Khi đã thuộc bảng cộng, trẻ có thể thực hiện bất kỳ phép cộng nào.

Hệ thập phân

Để thực hiện phép cộng trong hệ thập phân, trước tiên cần nhớ hoặc suy ra 100 'phép cộng cơ bản' với một chữ số. Mặc dù có thể học thuộc lòng, nhưng những kỹ thuật sau thường hiệu quả hơn với đa số người:

• Tính chất giao hoán: Như đã đề cập, tính chất a + b = b + a giúp giảm số lượng 'phép cộng cơ bản' từ 100 xuống còn 55.
• Thêm một hoặc hai: Việc cộng 1 hoặc 2 là một kỹ năng cơ bản có thể thực hiện bằng phép đếm hoặc trực giác.
• Số không: Vì số 0 là phần tử trung tính trong phép cộng nên phép cộng với số 0 là đơn giản. Tuy nhiên, một số học sinh có thể cần được giải thích rằng phép cộng luôn làm số hạng tăng lên; các bài tập có thể giúp loại bỏ số 0 khỏi bài toán.
• Gấp đôi: Cộng một số với chính nó liên quan đến việc đếm thêm 2 và phép nhân. Các phép cộng 'gấp đôi' tạo thành nền tảng cho nhiều phép cộng cơ bản khác và thường dễ hiểu với học sinh.
• Gần gấp đôi: Một số phép cộng như 6 + 7 = 13 có thể nhanh chóng suy ra từ phép cộng 'gấp đôi' 6 + 6 = 12 bằng cách cộng thêm 1, hoặc từ 7 + 7 = 14 rồi trừ đi 1.
• Năm và mười: Các tổng có dạng 5 + x và 10 + x thường được ghi nhớ sớm hơn và có thể được sử dụng để suy ra các phép cộng khác. Ví dụ, 6 + 7 = 13 có thể được suy ra từ 5 + 7 = 12 bằng cách cộng thêm 1.
• Tạo thành số mười: Một kỹ thuật khác là sử dụng số 10 như một số trung gian để thực hiện phép cộng với số 8 hoặc số 9; ví dụ, 8 + 6 = 8 + 2 + 4 = 10 + 4 = 14.

Khi học sinh trưởng thành, họ ghi nhớ ngày càng nhiều phép toán và học cách nhanh chóng và dễ dàng rút ra các phép toán khác. Dù nhiều học sinh không ghi nhớ tất cả các phép toán, họ vẫn có thể tìm ra bất kỳ phép toán cơ bản nào một cách nhanh chóng.

Cách cơ bản để cộng các số nhiều chữ số là sắp xếp các số hạng theo chiều dọc và thực hiện phép cộng theo từng cột bắt đầu từ cột đơn vị bên phải. Nếu tổng của một cột lớn hơn 9, chữ số dư sẽ được 'nhớ' sang cột kế tiếp. Ví dụ, trong phép cộng 27 + 59:

¹
  2 7
+ 5 9
—————
  8 6

• Hàng đơn vị: 7 + 9 = 16, viết số 6 và nhớ 1 (sang hàng chục)
• Hàng chục: 2 + 5 = 7, cộng thêm 1 là 8. Kết quả cuối cùng là 86.

Ở đây, chữ số 1 là phần nhớ. Trong một phương pháp khác, phép cộng bắt đầu từ cột ngoài cùng bên trái; mặc dù phép nhớ trở nên phức tạp hơn, nhưng kỹ thuật này vẫn giúp đạt được kết quả gần đúng nhanh hơn. Ngoài ra, còn nhiều phương pháp khác để thực hiện phép nhớ.

Số thập phân có thể được cộng theo một cách tương tự như trên. Đầu tiên, căn chỉnh hai số thập phân sao cho dấu thập phân nằm ở cùng một vị trí, sau đó thêm các số 0 vào cuối số thập phân ngắn hơn (nếu cần), rồi thực hiện phép cộng như trước. Dấu thập phân trong kết quả cuối cùng sẽ được đặt tại vị trí tương ứng trong các số hạng ban đầu.

Ví dụ, phép cộng 45,1 + 4,34 có thể được thực hiện như sau:

4 5, 1 0
+    4, 3 4
———————————
   4 9, 4 4

Trong ký hiệu khoa học, các số được biểu diễn dưới dạng $x=a\times <!--\; \times \; -->{10}^b$, trong đó $a$ là phần định trị và ${10}^b$ là phần số mũ. Để thực hiện phép cộng, các số trong ký hiệu khoa học cần có phần số mũ giống nhau để có thể cộng các phần định trị một cách dễ dàng.

Ví dụ:

$2,34\times <!--\; \times \; -->{10}^{-<!--\; -\; -->5}+5,67\times <!--\; \times \; -->{10}^{-<!--\; -\; -->6}=2,34\times <!--\; \times \; -->{10}^{-<!--\; -\; -->5}+0,567\times <!--\; \times \; -->{10}^{-<!--\; -\; -->5}=2,907\times <!--\; \times \; -->{10}^{-<!--\; -\; -->5}$

Hệ đếm ngoài hệ thập phân

Phép cộng trong các hệ đếm khác cũng tương tự như trong hệ thập phân. Ví dụ, khi cộng hai số trong hệ nhị phân, phép cộng hai chữ số thường đơn giản qua một hình thức phép nhớ:

0 + 0 → 0

0 + 1 → 1

1 + 0 → 1

1 + 1 → 10, nhớ 1 (vì 1 + 1 = 2 = 0 + (1 × 2))

Khi cộng hai chữ số '1' trong hệ nhị phân, ta được chữ số '0' và cộng thêm 1 vào cột tiếp theo, tương tự như việc cộng hai số trong hệ thập phân; nếu kết quả bằng hoặc vượt quá cơ số (10), ta cộng thêm 1 vào chữ số bên trái:

5 + 5 → 0, nhớ 1 (vì 5 + 5 = 10 = 0 + (1 × 10))

7 + 9 → 6, nhớ 1 (vì 7 + 9 = 16 = 6 + (1 × 10))

Quá trình này còn được gọi là phép nhớ. Khi tổng vượt quá giá trị của một chữ số, ta 'nhớ' phần giá trị dư chia cho cơ số (10/10) sang cột bên trái và thêm vào giá trị ở vị trí tiếp theo. Trong hệ nhị phân, phép nhớ được thực hiện tương tự như vậy:

1 1 1 1 1    (phần nhớ)
    0 1 1 0 1
+   1 0 1 1 1
—————————————
  1 0 0 1 0 0 = 36

Trong ví dụ này, chúng ta cộng hai số 01101₂ (13₁₀) và 10111₂ (23₁₀). Hàng trên cùng thể hiện các bit trong phần nhớ. Bắt đầu từ cột ngoài cùng bên phải: 1 + 1 = 10₂, viết 0 và nhớ 1; cột kế tiếp: 1 + 0 + 1 = 10₂, viết 0 và nhớ 1; cột thứ ba: 1 + 1 + 1 = 11₂, viết 1 và nhớ 1. Tiếp tục như vậy, ta thu được kết quả cuối cùng là 100100₂ (36₁₀).

Tạp số được hiểu là những số không phải là dạng thập phân (như thời gian, góc đo, v.v.). Để cộng hai tạp số, ta cộng các đơn vị tương ứng với nhau và nhớ phần dư sang đơn vị kế tiếp nếu cần. Ví dụ dưới đây là phép cộng 2 giờ 25 phút 36 giây với 1 giờ 38 phút 40 giây.

2 giờ 25 phút 36 giây
+   1 giờ 38 phút 40 giây
—————————————————————————
    4 giờ  4 phút 16 giây

• 36 + 40 = 76 (giây) = 1 phút 16 giây, ghi lại 16 giây và nhớ 1 phút.
• 25 + 38 + 1 = 64 (phút) = 1 giờ 4 phút, ghi lại 4 phút và nhớ 1 giờ.
• 2 + 1 + 1 = 4 (giờ). Kết quả là 4 giờ 4 phút 16 giây.

Máy tính

Máy tính analog hoạt động dựa trên các đại lượng vật lý, nên cách thực hiện phép cộng của chúng tùy thuộc vào loại phép tính. Một bộ cơ học có thể sử dụng các khối trượt để đại diện cho các số, với phép cộng thực hiện qua đòn bẩy. Nếu cộng tốc độ quay của hai trục, ta có thể dùng vi sai để thực hiện phép cộng. Bộ cộng thủy lực có thể cộng áp lực vào hai khoang bằng cách tận dụng định luật thứ hai của Newton để cân bằng lực trên cụm piston. Phổ biến nhất là máy tính analog cộng hai điện áp, điều này có thể thực hiện gần đúng bằng mạng điện trở, nhưng chính xác hơn là sử dụng mạch khuếch đại thuật toán.

Phép cộng là cơ sở hoạt động của máy tính kỹ thuật số, trong đó hiệu suất của phép cộng, đặc biệt là cơ chế nhớ, là yếu tố quan trọng ảnh hưởng đến hiệu suất tổng thể của máy tính.

Bàn tính là công cụ tính toán đã được sử dụng từ hàng thế kỷ trước khi hệ thống chữ số hiện đại xuất hiện, và vẫn được dùng phổ biến trong cộng đồng thương nhân ở châu Á và châu Phi. Bàn tính xuất hiện ít nhất từ năm 2700-2300 TCN tại Sumer.

Blaise Pascal đã phát minh ra máy tính cơ học vào năm 1642, đánh dấu sự ra đời của máy tính cộng đầu tiên. Máy tính này sử dụng cơ chế nhớ dựa vào trọng lực và là máy tính cơ học duy nhất hoạt động trong thế kỷ 17, đồng thời cũng là máy tính kỹ thuật số tự động sớm nhất. Tuy nhiên, máy tính của Pascal có hạn chế về cơ chế mang, khiến các bánh quay chỉ quay theo một chiều. Giovanni Poleni, chịu ảnh hưởng từ Pascal, đã chế tạo máy tính cơ học thứ hai vào năm 1709, đó là một đồng hồ tính toán bằng gỗ có khả năng tự động nhân hai số khi được thiết lập.

Phép cộng phân số

$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd}$ $(b,d\ne <!--\; \ne \; -->0)$

Chú thích

1. ^ Từ Addend không có nguồn gốc Latin; trong tiếng Latin, nó cần phải được phân loại tiếp là numerus addendus ('số cần cộng')
2. ^ Thuật ngữ 'carry' trong tiếng Anh được sử dụng để chỉ cơ chế nhớ, nhưng một số tác giả cho rằng từ này không phù hợp trong giáo dục. Van de Walle 2004, tr. 211Lỗi harv: không có mục tiêu: CITEREFVan_de_Walle2004 (trợ giúp) cho rằng từ này 'lỗi thời và gây hiểu lầm về khái niệm' và nên ưu tiên sử dụng từ 'trade'.