Công thức chính xác để tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn

Buzz

Nội dung bài viết

1. Cấp số nhân là gì?

2. Số hạng tổng quát

3. Tổng của một cấp số nhân

4. Cấp số nhân lùi vô hạn

5. Công thức tính tổng các cấp số nhân lùi vô hạn và ví dụ minh họa

6. Một số bài tập ứng dụng

Xem thêm

Cấp số nhân lùi vô hạn là một phần quan trọng trong chương trình toán học cấp THPT. Chúng tôi sẽ cung cấp cho các em cái nhìn tổng quan về lý thuyết và các bài tập ứng dụng liên quan.

1. Cấp số nhân là gì?

Cấp số nhân là một dãy số (có thể hữu hạn hoặc vô hạn) trong đó từ số hạng thứ hai trở đi, mỗi số hạng là tích của số hạng trước đó với một số không đổi q.

_n $left ( U_{n} ight )= left{egin{matrix} u_{1} = a& \ u_{n + 1}= u_{n} cdot q & end{matrix} ight. left ( n in N^* ight )$

Cấp số nhân có dạng: a, aq, aq², aq³, aq⁴, ... với a là số hạng đầu tiên và q là công bội.

Ví dụ: Một cấp số nhân với số hạng đầu là 2 và công bội là 2 sẽ có các số hạng như 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, ...

2. Số hạng tổng quát

₁ $u_{n + 1} = a cdot q^{n}, với n geq 1$ $Do đó, q = sqrt[n-1]{ rac{a_{n}}{a}}, với n geq 1$

3. Tổng của một cấp số nhân

Tổng của các số hạng trong cấp số nhân bắt đầu từ số hạng đầu tiên:

$sum_{k=0}^{n}aq^{k} = aq^{0} + aq^{1} + aq^{2} + aq^{3} + ... + aq^{n}$

Nhân cả hai vế với: (1 - q)

Vì các số hạng khác đã được loại bỏ lẫn nhau:

$Do đó, tổng S_{n + 1} = sum_{k=0}^{n} aq^{k} = rac{aleft ( 1 - q^{n+1} ight )}{1 - q}$

4. Cấp số nhân lùi vô hạn

(U_n) với công bội q, và |q| < 1, được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn

Ví dụ: dãy số 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, ... là một cấp số nhân lùi vô hạn với công bội q = 1/2

5. Công thức tính tổng các cấp số nhân lùi vô hạn và ví dụ minh họa

Tổng của tất cả các số hạng trong một cấp số nhân lùi vô hạn là một giá trị hữu hạn và có thể tính được.

Giả sử chúng ta có cấp số nhân lùi vô hạn U_n

Khi đó, tổng của các số hạng trong U_n là:

S_n = u₁ + u₂ + u₃ + ... + u_n-1 + u_n

$S_{n} = u_{1} rac{1 - q^{n}}{1 - q}$

Khi lấy giới hạn của hai vế, ta có:

$S = rac{u_{1}}{1 - q}$

Đây chính là công thức tính tổng của các cấp số nhân lùi vô hạn

_n $U_{n} = left ( rac{1}{3} ight )^{n}$

Lời giải:

$u_{1} = rac{1}{3}, q = rac{1}{3}$

Áp dụng công thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn:

$s = rac{u_{1}}{1 - q} Leftrightarrow rac{ rac{1}{3}}{1 - rac{1}{3}} = rac{1}{2}$

Hướng dẫn giải:

Sử dụng công thức, ta tính được tổng của tất cả các số hạng trong cấp số nhân là:

6. Một số bài tập ứng dụng

Bài tập 1:₁₁₁₁₁₂₁₂_Hai_Hai_Ba_Bốn_Năm_Sáu_{Một trăm} $sum_{k=1}^{100}S_{k}$

Hướng dẫn giải:

$S_{n}= rac{1}{2}S_{n -1}, S_{1}= a^{2}Rightarrow left ( S_{n} ight )$

$sum_{k=1}^{100}S_{k} = S_{1} rac{q^{100}-1}{q-1}= a^{2} rac{left ( rac{1}{2} ight )^{2}-100}{ rac{1}{2}-1}$

Bài 2: Cho cấp số nhân (un) với u3 = 24 và u4 = 48. Tính tổng của 5 số hạng đầu tiên trong cấp số này.

Hướng dẫn giải:

Gọi q là tỷ số của cấp số nhân (un), ta có: q = 48/24 = 2

Vậy, theo định lý 2, ta có: 24 = u3 = u1.22

Suy ra u1 = 6. Do đó, theo định lý 3, ta tính được S5 = 6. (1-25) / (1-2) = 186

Bài 3:_n $U_{n}= rac{1}{2}- rac{1}{4}+ rac{1}{8}+ .... + rac{left ( -1 ight )^{n+1}}{2^{n}}$ _n

Hướng dẫn giải:

U_n là tổng của n số hạng đầu tiên trong cấp số nhân với U₁ = 1/2 và q = (-1)/2

$Rightarrow S= rac{u_{1}}{1-q}= rac{1}{1+ rac{1}{2}}= rac{2}{3}$

Bài 4: Cho cấp số nhân lùi vô hạn (V_n) với số hạng đầu V₁ = -1 và công bội q = x². Tìm tổng của cấp số nhân lùi vô hạn và bốn số hạng đầu tiên.

Hướng dẫn giải:

$S= rac{v_{1}}{1-q}= rac{-1}{1-x^{2}}$

Do đó, bốn số hạng đầu tiên của dãy là -1; -x²; -x⁴; -x⁶

Bài 5: Cho cấp số nhân lùi vô hạn (V_n) với số hạng đầu v₁ = 2 và công bội q = x_³ . Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn và bốn số hạng đầu tiên.

Hướng dẫn giải:

$S = rac{v_{1}}{1-q}= rac{2}{1-x^{3}}$

Do đó, bốn số hạng đầu tiên của dãy là 2; 2x³; 2x⁶; 2x⁹

Bài 6: Một cấp số nhân lùi vô hạn có tổng của tất cả các số hạng bằng 56, và tổng bình phương các số hạng bằng 448. Tìm số hạng đầu tiên của cấp số nhân này?

Hướng dẫn giải:

$left{egin{matrix} S_{n}= rac{u_{1}}{1-q}= 56 & \ u_{1}^{2} + u_{2}^{2}+ ... + u_{n}^{2}= 448& end{matrix} ight.$ $Leftrightarrow left{egin{matrix} u_{1}= 56(1-q) & \ u_{1}^{2}(1+q^{2}+ q^{4}+.... + q^{2n-2})= 448 & end{matrix} ight.$ $Rightarrow u_{1}^{2}. rac{1}{1-q^{2}}= 448$ $Rightarrow rac{56^{2}(1-q)}{1+q}= 448 Rightarrow q= rac{3}{4}Rightarrow u_{1}=14$ Bài 7: $rac{left ( -1 ight )^{n+1}}{2^{n}}$

Hướng dẫn giải:

U_n là cấp số nhân với: U₁ = 2, q = -1/2

$Rightarrow S= rac{u_{1}}{1-q}= rac{2}{ rac{1}{2}+ 2}= rac{4}{3}$

Bài 8: Đáp án nào sau đây là chính xác?

A. Cấp số nhân lùi vô hạn với U₁ = 15 và S = 60 ⇒ q = 3/4

$S= rac{u_{1}}{1-q}$

C. Cấp số nhân lùi vô hạn với u₁ = -4 và S = -169 ⇒ q = -5/4

_Một $Rightarrow S = rac{u_{1}}{1-q}= rac{3}{1- rac{1}{3}}= rac{9}{2}$ $Rightarrow S = rac{u_{1}}{1-q}= 60$

Bài 9: Cấp số nhân lùi vô hạn với u₁ = -50 và S = 100. Tìm năm số hạng đầu tiên của cấp số này

A. 50; 25; 12,25; 6,125; 3,025

B. 50; 25; 12,5; 6,5; 3,25

C. 50; 25; 12,5; 6,5; 3,125

D. 50; 25; 12,5; 6,25; 3,125

Chọn đáp án D

Bài 10: Cấp số nhân lùi vô hạn với u₁ = -1 và q=x. Xác định ba số hạng đầu tiên của cấp số này

A. 1; x; -x²

B. -1; x; x²

C. -1; x; x²

D. -1; -x; -x²

Chọn đáp án là D

Bài 11:

Hướng dẫn giải:

_n₁

$S = rac{u_{1}}{1-q}= rac{5}{1+ rac{1}{sqrt{5}}}= rac{5sqrt{5}}{1 + sqrt{5}}$

Chọn đáp án: C

Bài 12: Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn sau: -3; 0; 3; -0,03; 0,003; ...

A. 11/30

B. 30/11

C. -11/30

$-2\frac{8}{11}$

Hướng dẫn cách giải:

U_n đại diện cho cấp số nhân với: u₁ = -3; q = 0,1

$\Rightarrow S = \frac{u_{1}}{1-q}= \frac{-3}{1+ 0,1}= -2\frac{8}{11}$

Lựa chọn đáp án là D

Bài tập 13 $\frac{5}{3}$ $\frac{39}{25}$ ₁

A. u₁ = 1; q = -2/5

B. u₁ = -1; q = -2/5

C. u₁ = -1; q = 2/5

D. u₁ = 1; q = 2/5

Hướng dẫn cách giải:

$S = \frac{u_{1}}{1-q}= \frac{5}{3}$

u₁ + u₂ + u₃ = u₁(1 + q + q²) = 39/25

$\Rightarrow \frac{u_{1}}{1-q}\left ( 1+q^{3} \right ) = \frac{39}{25}\Rightarrow \frac{5}{3}\left ( 1+q^{3} \right )= \frac{39}{25}$

⇒ q = 2/5 ⇒ u₁ = 1

Đáp án chính xác là: D

Bài tập 14: $\frac{1}{4^{n - 3}}$

A. S = 62/3

B. S = 64/5

C. S = 16/3

D. S = 64/3

Hướng dẫn giải:

+ Bước 1: Xem xét tổng này có phải là cấp số nhân suy giảm vô hạn không?

+ Bước 2: Sử dụng công thức phù hợp để tính tổng

$v_{n+1}= \frac{1}{4^{n+1-3}}; v_{n}= \frac{1}{4^{n-3}}\Rightarrow q= \frac{v_{n+1}}{v_{n}}= \frac{\frac{1}{4^{n+1-3}}}{\frac{1}{4^{n-3}}}= \frac{1}{4}\Rightarrow \frac{1}{4}$

Vì |q| = |1/4| < 1, nên tổng này là cấp số nhân suy giảm vô hạn

$S = \frac{v_{1}}{1 - q}= \frac{16}{1-\frac{1}{4}}= \frac{64}{3}$

Chọn đáp án D

Bài 15: Cho cấp số nhân suy giảm vô hạn (v_n) với v₁ = 20 và tổng S = 100. Xác định 6 số hạng đầu tiên của dãy (v_n):

A. 20; 16; 12,8; 10,24; 8,192; 6,5536

B. 20; 16; 12,8; 10,25; 8,192; 6,5536

C. 20; 16,25; 12,8; 10,24; 8,192; 6,5536

D. 20; 16; 12,8; 10,24; 8,192; 6,5

Hướng dẫn giải:

$S = rac{v_{1}}{1-q}$ ₁ $S = rac{v_{1}}{1-q}$ $S = rac{v_{1}}{1-q}Leftrightarrow 100 = rac{200}{1 -q}Rightarrow q= rac{4}{5}$

Vậy 6 số hạng đầu tiên của dãy số (v_n) là: 20; 16; 12,8; 10,24; 8,192; 6,5536

Chọn đáp án A

Bài 16: Cho số b = 3,13131313... (chu kỳ 13) là số thập phân vô hạn tuần hoàn. Số b có thể viết dưới dạng phân số tối giản b = x/y, trong đó x và y là các số nguyên dương. Tìm tổng x + y

A. x + y = 211

B. x + y = 409

C. x + y = 130

D. x + y = 490

Hướng dẫn giải:

$3 + rac{13}{100}+ rac{13}{100^{2}}+ rac{13}{100^{3}}+ rac{13}{100^{4}}+ ...$ ₁

b = 3 + rac{rac{13}{100}}{1-rac{1}{100}}= rac{310}{99}

⇒ x = 310; y = 99

Do đó x + y = 310 + 99 = 409

Cách 2: Đặt d = 0,113131313... ⇒ 100d = 13 + d ⇔ d = 13/99

⇒ b = 3 + d = 3 + 13/99 = 310/99

⇒ x = 310; y = 99

Vậy x + y = 310 + 99 = 409

Cách 3: Sử dụng máy tính để tính. Nhập số 3,1313131313 vào máy (nhiều bộ số 13 cho đến khi tràn màn hình) rồi nhấn =

Kết quả trên máy tính là 3,(13) = 310/99

⇒ x = 310; y = 99

Do đó, x + y = 310 + 99 = 409

Chọn đáp án B

Nội dung từ Mytour nhằm chăm sóc khách hàng và khuyến khích du lịch, chúng tôi không chịu trách nhiệm và không áp dụng cho mục đích khác.

Nếu bài viết sai sót hoặc không phù hợp, vui lòng liên hệ qua email: [email protected]