Buzz
1. Khái niệm về bài toán tính tổng dãy số
Bài toán tính tổng dãy số liên quan đến việc tính tổng các số hạng trong một dãy số. Mỗi số hạng trong dãy có thể có dấu cộng hoặc dấu trừ, dẫn đến dãy số có thể bao gồm cả số hạng dương và âm.
Ví dụ minh họa:
Dãy số đầu tiên: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ... + 99 + 100
Dãy số thứ hai: 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - ... - 100 + 101
2. Công thức tính tổng cho dãy số đều
2.1. Xác định số lượng số hạng trong dãy
Số lượng số hạng = (Số hạng cuối - Số hạng đầu) / Đơn vị khoảng cách + 1
Ví dụ minh họa: Dãy số 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 99 + 100
Số lượng số hạng trong dãy số này là:
(100 - 1) / 1 + 1 = 100 (số hạng)
Trong đó:
- 100 là số hạng cuối
- 1 là số hạng đầu
- 1 là đơn vị khoảng cách giữa các số hạng của dãy
2.2. Công thức tính tổng cho dãy số đều
Tổng của dãy số đều = (Số hạng đầu + Số hạng cuối) x Số lượng số hạng / 2
Ví dụ minh họa: Dãy số 2 + 4 + 6 + ... + 48 + 50
Số lượng số hạng trong dãy số này là:
(50 - 2) / 2 + 1 = 25 (số hạng)
Tổng của dãy số đều này là:
(2 + 50) x 25 / 2 = 650
Trong đó:
- 2 là số hạng đầu tiên
- 50 là số hạng cuối cùng
- 25 là tổng số hạng của dãy
2.3. Công thức xác định số hạng cuối của dãy số đều
Số hạng cuối của dãy số đều = Số hạng đầu + (Tổng số hạng - 1) x Đơn vị khoảng cách
Ví dụ minh họa:
Số hạng cuối của dãy số là:
1 + (25 - 1) x 2 = 49
Trong đó:
- 1 là số hạng đầu của dãy số
- 25 là tổng số hạng trong dãy số
- 2 là đơn vị khoảng cách giữa các số hạng
2.4. Công thức xác định số hạng đầu của dãy số đều
Số hạng đầu của dãy số đều = Số hạng cuối - (Tổng số hạng - 1) x Đơn vị khoảng cách
Ví dụ minh họa: Xác định số hạng đầu của dãy số đều với 50 số hạng, số cuối là 100 và khoảng cách giữa các số hạng là 2 đơn vị.
Số hạng đầu của dãy số đều là:
100 - (50 - 1) x 2 = 2
Trong đó:
- 100 là số hạng cuối
- 50 là tổng số hạng
- 2 là đơn vị khoảng cách
2.5. Công thức tính giá trị trung bình của dãy số đều
Giá trị trung bình của dãy số đều = Tổng dãy số / Tổng số hạng
Ví dụ: Dãy số 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 99 + 100
Tổng số hạng của dãy số này là:
(100 - 1) / 1 + 1 = 100 (số hạng)
Tổng của dãy số này là:
(1 + 100) x 100 / 2 = 5050
Giá trị trung bình của dãy số này là:
5050 / 100 = 50,5
Chi tiết như sau:
- 5050 là tổng của toàn bộ dãy số
- 100 là tổng số hạng trong dãy
2.6. Lưu ý
- Khi giải bài toán tính tổng dãy số cách đều, cần xác định rõ số hạng đầu, số hạng cuối, tổng số hạng và đơn vị khoảng cách giữa các số hạng.
- Đối với bài toán có số lượng số hạng là số lẻ, giá trị của số hạng ở giữa được tính bằng (số cuối + số đầu) chia 2.
- Tùy thuộc vào bài toán cụ thể và dãy số tăng dần hay giảm dần, công thức áp dụng cần được điều chỉnh cho phù hợp.
3. Công thức tính tổng dãy số không đều
Dãy số không đều như dãy Fibonacci hoặc Tribonacci, trong đó tổng (hoặc hiệu) giữa hai số liên tiếp tạo thành một dãy số khác.
Ví dụ: Tính giá trị của A = 1 x 2 + 2 x 3 + 3 x 4 + … + n x (n + 1)
Hướng dẫn giải
3 x A = 1 x 2 x 3 + 2 x 3 x 4 + 3 x 4 x 5 + … + n x (n + 1) x (n + 2)
= 1 x 2 x (3 – 0) + 2 x 3 x (4 – 1) + 3 x 4 x (5 – 2) + … + n x (n + 1) x [(n + 2) – (n + 1)]
= 1 x 2 x 3 + 2 x 3 x 4 – 1 x 2 x 3 + 3 x 4 x 5 – 2 x 3 x 4 + … + n x (n + 1) x (n + 2) – (n – 1) x n x (n + 1)
= n x (n + 1) x (n + 2)
=> A = n x (n + 1) x (n + 2) : 2
4. Một số bài tập liên quan đến tính tổng dãy số đều và không đều
4.1. Bài tập tính tổng dãy số đều
Bài tập 1: Tính giá trị của T với: T = 2 + 3 + 4 + 5 + … + 2015
Giải pháp
Số hạng của dãy số là: (2015 – 1) : 2 + 1 = 1008
Giá trị của T là: (2015 + 2) x 1008 : 2 = 1016568
Kết quả: 1016568
Bài tập 2: Tính tổng của 40 số lẻ liên tiếp, biết số lẻ lớn nhất trong dãy là 2011?
Giải pháp
Số nhỏ nhất trong dãy là: 2011 – (40 – 1) x 2 = 1933
Tổng của 40 số lẻ là: (2011 + 1933) x 40 : 2 = 78880
Kết quả: 78880
Bài tập 3: Một khu phố có 25 ngôi nhà, được đánh số là các số lẻ liên tiếp. Biết tổng của 25 số nhà là 1145, hãy tính số nhà đầu tiên của khu phố đó?
Giải pháp
Khoảng cách giữa số nhà cuối và số nhà đầu tiên là: (25 – 1) x 2 = 48
Tổng của số nhà đầu và số nhà cuối là: 1145 x 2 : 25 = 91,6
Số nhà đầu tiên trong khu phố là: (91,6 – 48) : 2 = 21,8
Kết quả: 21,8
4.2. Bài tập tính tổng dãy số không đều
Bài tập 1: Tính giá trị của M với M = 1 x 2 x 3 + 2 x 3 x 4 + … + (n – 1) x n x (n + 1)
Giải pháp
4 x M = 1 x 2 x 3 x 4 + 2 x 3 x 4 x 4 + … + (n – 1) x n x (n + 1) x 4
= 1 x 2 x 3 x (4 – 0) + 2 x 3 x 4 x (5 – 1) + … + (n – 1) x n x (n + 1) x [(n + 2) – (n – 2)]
= 1 x 2 x 3 x 4 + 2 x 3 x 4 x 5 – 1 x 2 x 3 x 4 + … + (n – 1) x n x (n + 1) x (n + 2) – (n – 2) x (n – 1) x n x (n + 1)
= (n – 1) x n x (n + 1) x (n + 2)
=> M = (n – 1) x n x (n + 1) x (n + 2) : 4
Bài tập 2: Tính giá trị của N với N = 1.4 + 2.4 + 3.6 + 4.7 + … + n(n + 3)
Lời giải
Ví dụ: 1.4 = 1.(1 + 3) = 1.(1 + 1 + 2) = 1.(1 + 1) + 2.1
2.5 = 2.(2 + 3) = 2.(2 + 1 + 2) = 2.(2 + 1) + 2.2
3.6 = 3.(3 + 3) = 3.(3 + 1 + 2) = 3.(3 + 1) + 2.3
4.7 = 4.(4 + 3) = 4.(4 + 1 + 2) = 4.(4 + 1) + 2.4
……………………..
N(n + 3) = n(n + 1) + 2n
Do đó, N = 1.2 + 2.1 + 2.3 + 2.2 + 3.4 + 2.3+ … + n(n + 1) + 2n
= 1.2 + 2 + 2.3 + 4 + 3.4 + 6 + ….. + n(n + 1) + 2n
= [1.2 + 2.3 + 3.4 + …. + n(n + 1) + (2 + 4 + 6 +… + 2n)
Trong đó, 1.2 + 2.3 + 3.4+ …. + n(n + 1) = n(n+1)(n+2)/3
2 + 4 + 6 + ... + 2n = (2n + 2)n/2
=> N = n(n + 1)(n + 2)/3 + (2n + 2)n/2 = n(n + 1)(n + 5)/3
Mong rằng bài viết của Mytour đã mang đến cho bạn đọc những thông tin bổ ích. Xin cảm ơn sự quan tâm và theo dõi của các bạn.
