Công thức Euler

Định lý Euler là một công thức quan trọng trong phân tích phức, được phát triển bởi nhà toán học Thụy Sĩ Leonhard Euler. Công thức này thể hiện mối liên hệ giữa hàm lượng giác và hàm số mũ phức.

Cụ thể, với bất kỳ số thực x nào, ta có:

$e^{ix}=\cos <!--\; \; -->\left(x\right)+i\sin <!--\; \; -->\left(x\right)$

Tại đây, e là cơ số của logarit tự nhiên, i là đơn vị của số phức, còn cos và sin là các hàm lượng giác cosine và sine. Học sinh Anh và Mỹ thường viết là cis x để ghi nhớ cos, i, sin.

Khi khai triển từ công thức này, các hàm số:$\cos <!--\; \; -->x$ và:$\sin <!--\; \; -->x$ có thể được biểu diễn như sau:

Trường hợp đặc biệt: khi $x=\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$, ta có:$e^{i\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}=\cos <!--\; \; -->\left(\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\right)+i\sin <!--\; \; -->\left(\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\right)=-<!--\; -\; -->1$, từ đó có công thức nổi tiếng:

$e^{i\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}+1=0$

Chứng minh

Áp dụng khai triển chuỗi Taylor

Dưới đây là một phương pháp chứng minh công thức Euler thông qua khai triển chuỗi Taylor và các thuộc tính cơ bản của lũy thừa số i:

$\stackrel{¨<!--\; ¨\; -->}{a}{i}^0=1v3$

$i^1=i$

$i^2=-<!--\; -\; -->1$

$i^3=-<!--\; -\; -->i$

$i^4=1$

$i^5=i$

$⋮<!--\; ⋮\; -->$

Các hàm e, cos(x) và sin(x) (với giả định x là số thực) có thể được biểu diễn như sau:

$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots <!--\; \cdots \; -->$

$\cos <!--\; \; -->x=1-<!--\; -\; -->\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-<!--\; -\; -->\frac{x^6}{6!}+\cdots <!--\; \cdots \; -->$

$\sin <!--\; \; -->x=x-<!--\; -\; -->\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-<!--\; -\; -->\frac{x^7}{}$

7 ! + ⋯ {\displaystyle \sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots }

Vì bán kính hội tụ của các chuỗi trên là vô hạn, chúng ta có thể thay thế x bằng iz, trong đó z là số phức. Khi đó ta có:

$e^{iz}=1+iz+\frac{(iz{)}^2}{2!}+\frac{(iz{)}^3}{3!}+\frac{(iz{)}^4}{4!}+\frac{(iz{)}^5}{5!}+\frac{(iz{)}^6}{6!}+\frac{(iz{)}^7}{7!}+\frac{(iz{)}^8}{8!}+\cdots <!--\; \cdots \; -->$

$=1+iz-<!--\; -\; -->\frac{z^2}{2!}-<!--\; -\; -->\frac{i{z}^3}{3!}+\frac{z^4}{4!}+\frac{i{z}^5}{5!}-<!--\; -\; -->\frac{z^6}{6!}-<!--\; -\; -->\frac{i{z}^7}{7!}+\frac{z^8}{8!}+\cdots <!--\; \cdots \; -->$

$=\left(1-<!--\; -\; -->\frac{z^2}{2!}+\frac{z^4}{4!}-<!--\; -\; -->\frac{z^6}{6!}+\frac{z^8}{8!}-<!--\; -\; -->\cdots <!--\; \cdots \; -->\right)+i\left(z-<!--\; -\; -->\frac{z^3}{3!}+\frac{z^5}{5!}-<!--\; -\; -->\frac{z^7}{7!}+\cdots <!--\; \cdots \; -->\right)$

$=\cos <!--\; \; -->\left(z\right)+i\sin <!--\; \; -->\left(z\right)$

Việc tổ chức lại các số hạng là hợp lý bởi vì mỗi chuỗi đều hội tụ tuyệt đối. Nếu ta đặt z = x là một số thực, chúng ta sẽ nhận được đẳng thức nguyên thủy mà Euler đã khám phá.

Bằng cách áp dụng phép tính vi phân và tích phân

Xét hàm số $f$ được định nghĩa bởi: $f\left(x\right)=\frac{e^{ix}}{\cos <!--\; \; -->x+i\sin <!--\; \; -->x}$

Chúng ta sẽ chứng minh rằng $\cos <!--\; \; -->x+i\sin <!--\; \; -->x$ luôn khác 0 với mọi x

Giả sử $\cos <!--\; \; -->x+i\sin <!--\; \; -->x=0$; khi đó $\cos <!--\; \; -->x=-<!--\; -\; -->i\sin <!--\; \; -->x$; do đó ta có ${\cos }^2<!--\; \; -->x=-<!--\; -\; -->{\sin }^2<!--\; \; -->x$; do đó ${\cos }^2<!--\; \; -->x+{\sin }^2<!--\; \; -->x=0$ (điều này là vô lý)

Do đó mẫu của:$f$ luôn khác 0

Tiếp theo, tính đạo hàm của:$f$ theo quy tắc chia; ta dễ dàng nhận thấy rằng $f^{\prime }\left(x\right)=0\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}x$

Do đó:$f$ là hàm số không thay đổi; có nghĩa là với mọi:$y$ thì

$f\left(x\right)=f\left(y\right)$

Giả sử:$y=0$ thì:$f\left(0\right)=1$; vì vậy:$f\left(x\right)=1\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}x$

do đó $e^{ix}=\cos <!--\; \; -->x+i\sin <!--\; \; -->x\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}x$

Áp dụng phương trình vi phân thông thường

Xem xét hàm số $f\left(x\right)$ được định nghĩa bởi

$f\left(x\right)\equiv <!--\; \equiv \; -->e^{ix}.$

Lưu ý rằng $i$ là một hằng số, do đó đạo hàm bậc nhất và bậc hai của $f\left(x\right)$ sẽ là

$f^{\prime }\left(x\right)=i{e}^{ix}$

$f^{″}\left(x\right)=i^2{e}^{ix}=-<!--\; -\; -->e^{ix}$

vì $i^2=-<!--\; -\; -->1$ theo định nghĩa. Từ đó, ta xây dựng phương trình vi phân bậc hai như sau:

$f^{″}\left(x\right)=-<!--\; -\; -->f\left(x\right)$

hoặc

$f^{″}\left(x\right)+f\left(x\right)=0.$

Đây là dạng phương trình vi phân bậc hai, vì vậy nó có hai nghiệm độc lập tuyến tính như sau:

$f_1\left(x\right)=\cos <!--\; \; -->\left(x\right)$

$f_2\left(x\right)=\sin <!--\; \; -->\left(x\right).$

Cả hai hàm $\cos <!--\; \; -->\left(x\right)$ và $\sin <!--\; \; -->\left(x\right)$ đều là các hàm số thực có đạo hàm bậc hai bằng giá trị âm của chính nó. Thêm vào đó, bất kỳ tổ hợp tuyến tính nào của các nghiệm từ một phương trình vi phân thuần nhất cũng sẽ là một nghiệm của phương trình đó. Do vậy, nghiệm tổng quát của phương trình vi phân là

$f\left(x\right)$	$=A{f}_1\left(x\right)+B{f}_2\left(x\right)$
	$=A\cos <!--\; \; -->\left(x\right)+B\sin <!--\; \; -->\left(x\right)$

với mọi hằng số $A$ và $B.$ Tuy nhiên, không phải tất cả các giá trị của các hằng số này đều đáp ứng điều kiện ban đầu của hàm $f\left(x\right)$:

$f\left(0\right)=e^{i0}=1$

$f^{\prime }\left(0\right)=i{e}^{i0}=i$.

Việc áp dụng các điều kiện ban đầu này cho nghiệm tổng quát sẽ cho kết quả như sau

$f\left(0\right)=A\cos <!--\; \; -->\left(0\right)+B\sin <!--\; \; -->\left(0\right)=A$

$f^{\prime }\left(0\right)=-<!--\; -\; -->A\sin <!--\; \; -->\left(0\right)+B\cos <!--\; \; -->\left(0\right)=B$

Do đó, ta có

$f\left(0\right)=A=1$

$f^{\prime }\left(0\right)=B=i$

và cuối cùng là

$f\left(x\right)\equiv <!--\; \equiv \; -->e^{ix}=\cos <!--\; \; -->\left(x\right)+i\sin <!--\; \; -->\left(x\right).$

• Đơn vị ảo
• Hàm số mũ với số phức

Các liên kết bên ngoài

Các yếu tố của Đại số