Công thức Heron

Trong hình học, Công thức Heron là phương pháp tính diện tích của tam giác khi biết ba cạnh.

Công thức

$S=\sqrt{p\left(p-<!--\; -\; -->a\right)\left(p-<!--\; -\; -->b\right)\left(p-<!--\; -\; -->c\right)}$

với p là nửa chu vi của tam giác:

$p=\frac{a+b+c}{2}$

Công thức Heron cũng có thể được biểu diễn như sau:

$S=\frac{\sqrt{(a+b+c)(a+b-<!--\; -\; -->c)(b+c-<!--\; -\; -->a)(c+a-<!--\; -\; -->b)}}{4}$

$S=\frac{\sqrt{2(a^2{b}^2+a^2{c}^2+b^2{c}^2)-<!--\; -\; -->(a^4+b^4+c^4)}}{4}$

$S=\frac{\sqrt{(a^2+b^2+c^2{)}^2-<!--\; -\; -->2(a^{}}}{}$

4 + b 4 + c 4 )   4 . {\displaystyle S={\ {\sqrt {(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})\,}}\ \over 4}.}

Lịch sử

Công thức này mang tên nhà toán học Heron của Alexandria, và cách chứng minh có thể tìm thấy trong cuốn sách của ông, Metrica, được viết vào khoảng năm 60 sau công nguyên. Có lẽ Archimedes đã biết công thức này, bởi vì Metrica là tuyển tập các kiến thức toán học có sẵn ở thế giới cổ đại. Vì thế, cuốn sách này có lẽ là nguồn tham khảo của thời kì trước.

Một công thức tương đương với Heron có nội dung:

$A=\frac{1}{2}\sqrt{a^2{c}^2-<!--\; -\; -->{\left(\frac{a^2+c^2-<!--\; -\; -->b^2}{2}\right)}^2}$

được phát hiện bởi người Trung Quốc một cách độc lập so với người Hy Lạp. Nó được xuất bản trong cuốn sách Sổ thư cửu chương, được viết bởi Tần Cửu Thiều và xuất bản vào năm 1247 sau Công nguyên.

Chứng minh

Một phương pháp chứng minh hiện đại, bằng cách sử dụng đại số và lượng giác, khá khác so với cách chứng minh của Heron. Gọi a, b, c lần lượt là 3 cạnh của tam giác và A, B, C lần lượt là các góc đối diện của các cạnh. Theo hệ quả của định lý cosin, ta có:

$\cos <!--\; \; -->\left(C\right)=\frac{a^2+b^2-<!--\; -\; -->c^2}{2ab}$

Do đó:

$\sin <!--\; \; -->\left(C\right)=\sqrt{1-<!--\; -\; -->{\cos }^2<!--\; \; -->\left(C\right)}=\frac{\sqrt{4a^2{b}^2-<!--\; -\; -->(a^2+b^2-<!--\; -\; -->c^2{)}^2}}{2ab}$.

Dựa vào chiều cao và sin của góc C. Ta có công thức tính diện tích tam giác ABC:

$S$	$=\frac{1}{2}ab\sin <!--\; \; -->\left(C\right)$
	$=\frac{1}{4}\sqrt{4a^2{b}^2-<!--\; -\; -->(a^2+b^2-<!--\; -\; -->c^2{)}^2}$
	$=\frac{1}{4}\sqrt{(2ab-<!--\; -\; -->(a^2+b^2-<!--\; -\; -->c^2\left)\right)(2ab+(a^2+b^2-<!--\; -\; -->c^2\left)\right)}$
	$=\frac{1}{4}\sqrt{(c^2-<!--\; -\; -->(a-<!--\; -\; -->b{)}^2\left)\right((a+b{)}^2-<!--\; -\; -->c^2)}$
	$=\frac{1}{4}\sqrt{(c-<!--\; -\; -->(a-<!--\; -\; -->b\left)\right)\left(\right(c+(a-<!--\; -\; -->b)\left)\right((a+b)-<!--\; -\; -->c\left)\right)\left(\right(a+b)+c)}$
	$=\sqrt{p\left(p-<!--\; -\; -->a\right)\left(p-<!--\; -\; -->b\right)\left(p-<!--\; -\; -->c\right)}.$

Đến đây công thức đã được chứng minh.

• Tam giác Heron
• Công thức Bretschneider
• Công thức Brahmagupta

Ghi chú

• Lịch sử toán học Hy Lạp (Tập II). Oxford University Press. tr. 321–323.

Liên kết bên ngoài

• Mục nhập MathWorld về Công thức Heron
• Một chứng minh của Định lý Pythagoras từ Công thức Heron tại cut-the-knot
• Ứng dụng và máy tính diện tích tương tác sử dụng Công thức Heron
• Cài đặt của Công thức Heron trong các ngôn ngữ lập trình khác nhauLưu trữ 2008-09-21 tại Wayback Machine
• Thảo luận của J.H. Conway về Công thức Heron
• Sự đơn giản hóa của lập luận Pythagoras của Kevin Brown dựa trên Công thức Heron Lưu trữ 2008-05-09 tại Wayback Machine