Công thức tính diện tích hình quạt tròn

Hiện tại có nhiều học sinh chưa biết cách tính diện tích hình quạt tròn vì chưa hiểu rõ công thức. Đây là kiến thức giúp họ tiếp cận môn học hình học một cách hiệu quả hơn. Bài viết sau sẽ cung cấp công thức tính diện tích hình quạt tròn để các bạn tham khảo và áp dụng vào các bài tập thực tế.

Diện tích của hình tròn được tính như thế nào?

Trước khi tìm hiểu công thức tính diện tích hình quạt tròn, chúng ta cần hiểu về hình tròn và cách tính diện tích của nó. Diện tích của hình tròn (S) thường là phần bên trong của một vòng tròn. Cách tính diện tích S của hình tròn đã được phát triển từ thời cổ đại và được người Hy Lạp nghiên cứu vào thời kỳ trước Công Nguyên.

Các nhà toán học ở Hy Lạp đã nhận ra rằng diện tích của hình tròn có mối liên hệ với bán kính bình phương. Điều này có nghĩa là khi biết độ dài bán kính của hình tròn, chúng ta có thể tính được diện tích của nó bằng công thức sau:

S = π x R^2 (đơn vị diện tích)

Diện tích của hình quạt tròn được tính như thế nào?

Sau khi đã nắm được cách tính diện tích của hình tròn, bạn sẽ nhận thấy nó có quan hệ với hình quạt tròn thông qua các thông tin sau đây:

Hình quạt tròn là gì?

Diện tích (S) của hình quạt là một khái niệm quan trọng trong toán học và hình học. Để hiểu rõ hơn về diện tích của hình này, hãy tưởng tượng một hình tròn trong mặt phẳng. Bên trong hình tròn có một tâm và một đường viền. Để tạo ra hình quạt tròn, chỉ cần chọn hai điểm bất kỳ trên đường viền và nối chúng với tâm hình tròn.

Công thức tính diện tích hình quạt

Diện tích của hình quạt được tạo bởi hai tia xuất phát từ tâm của hình tròn. Để tính diện tích này, ta sử dụng góc giữa hai tia này, đo lường bằng đơn vị độ. Đây là yếu tố quan trọng ảnh hưởng đến diện tích của hình quạt. Diện tích của hình quạt là một phần của diện tích của hình tròn và bao gồm hai tia tạo nên hình quạt.

Để tính diện tích của hình quạt, chúng ta cần lấy tỉ lệ của góc giữa hai tia và nhân với diện tích của toàn bộ hình tròn. Công thức tính diện tích hình quạt đã được áp dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực thực tế như địa lý, khoa học tự nhiên và kỹ thuật.

Trong đó bao gồm:

• là chiều dài của cung n° trong hình quạt.
• n° là số đo độ của cung.
• π là hằng số xấp xỉ 3,14.
• R là bán kính của đường tròn.

Tổng hợp các bài tập trắc nghiệm về diện tích hình quạt

Để áp dụng kiến thức về cách tính diện tích hình quạt như trên, hãy tham gia các bài tập trắc nghiệm sau:

Bài 1: Một hình tròn có diện tích S là 225π cm2. Vậy bán kính R của hình tròn này bằng bao nhiêu?

• A. 15 cm
• B. 16 cm
• C. 12 cm
• D. 14 cm

Đáp án: 

Ta có S = R^2 x π = 225. Từ đó suy ra R^2 = 225 và suy ra bán kính R là 15cm.

Bài 2: Hãy tính diện tích của hình tròn có bán kính là R = 10cm?

• A. 100π cm²
• B. 10π cm²
• C. 20π cm²
• D. 100π² cm²

Đáp án:

S = π X r^2 = 100π (cm2)

Bài 3: Cho 1 đường tròn có tâm 0 với bán kính là 10cm, đường kính là AB. Lấy điểm M thuộc đường tròn tâm O sao cho góc tên BAM bằng 45 độ. Bạn hãy tính S của hình quạt tên AOM.

• A. 5π (cm²)
• B. 25π (cm²)
• C. 50π (cm²)
• D. 25/2π (cm²)

Đáp án:

Chúng ta có đường tròn tâm O và bán kính bằng 10cm:

• OA = OM
• Góc tên MOA bằng 45 độ

Suy ra tam giác AMO là một tam giác vuông và vân → Góc tên MOA bằng 90 độ.

Vậy thì ta sẽ tính được S của hình quạt tên AOM là:

S = (π x R² x n°)/360 

= (π x 10^2 x 90)/360 

= 25π (cm²)

Tổng hợp các bài tập tự luận về tính diện tích hình quạt tròn 

Ngoài những bài tập trắc nghiệm đơn giản ở trên thì các bạn có thể tham khảo thêm một số bài tập tự luận về cách tính diện tích của hình quạt như sau:

Bài 1

Cho 1 hình tròn có tâm O với độ dài đường kính tên AB là 3√3. Cho điểm C thuộc đường tròn và tạo ra góc tên ABC bằng 60 độ. Hãy tính S hình viên phân BC (Khu vực hình tròn được giới hạn từ 1 cung tròn cùng 1 dây căng cung).

Đáp án:

Xét một đường tròn tâm O có góc tên ACB bằng 90 độ.

Suy ra góc tên CAB = 90 độ – góc tên CBA = 60 độ (Tam giác tên ABC có góc vuông ở C)

Góc BOC và góc CAB là hai góc nội tiếp và là góc tại tâm cùng chắn cung.

Suy ra góc BOC gấp hai lần góc tên CAB = 2 x 30 độ = 60 độ.

Vậy S hình quạt tên AOC là: S = (π x R^2 x 60)/360 =  π x R^2/6

Ta tiếp tục xét tam giác tên AOC và được:

• Góc tên BOC bằng 60 độ
• OC = OA = R

Suy ra tam giác tên BOC đều có các cạnh là R.

Ta gọi đoạn đường cao thuộc tam giác tên AOC là H và ta được:

CH = CO x sin góc 60 độ = √3R/2

Suy ra S của tam giác tên AOC = 1/2 x CH x OA = √3R^2/4

Như vậy, S của hình viên phân BC sẽ bằng diện tích hình quạt tên AOC – S của hình tam giác tên BOC:

⇔ π x R^2/6 – √3R^2/4 = (18π – 27√3)/16 (cm²)

Bài 2

Hãy tính toán và điền kết quả vào trong bảng như sau:

Đáp án:

Ta có độ dài của đường tròn = 12cm nên suy ra C bằng 12cm. Vậy thì R của đường tròn bằng: R = C/ 2π = 12/2π = 1.91cm.

Vậy thì S của hình tròn với R = 1.91cm là: S = R^2 x π = 1.91^2 x π = 11.46 cm2.

Suy ra S của hình quạt có cung 45 độ là: S’ = (π x R^2 x n)/360 = (π x 1.91^2 x 45)/ 360 = 1.43cm2.

Vì bán kính của đường tròn bằng 2cm nên ta có độ dài của đường tròn = C = 2πxR = 2π x R = 2π x 2 = 12,57cm.

Vậy thì S của hình tròn được tính bằng S = R^2 x π = 2^2 x π = 12.57cm2.

Vì diện tích hình quạt = 10.5cm2 nên suy ra số đo cung tròn bằng n = (360 x S’)/ (π x R^2) = (360 x 10.5)/ 12.57 = 300 độ.

Vì S của hình tròn bằng 40cm2 nên suy ra R của đường tròn bằng R = √S/R = √40/π = 7cm.

Vậy ta có chu vi của cung tròn là C = 2π x R = 2π x 7 = 22.42cm.

Vì ta có S của hình quạt = 1/4 S của hình tròn nên ta có số đo của cung tròn bằng 90 độ.

Như vậy ta sẽ điền vào bảng trên các kết quả như sau:

Bài 3

Cho 1 hình vuông có độ dài các cạnh đều bằng 5cm và nội tiếp 1 đường tròn tâm O. Bạn hãy tính toán độ dài của đường tròn tâm O và tính S của hình tròn này?

Đáp án:

Gọi hình vuông ở trên có tên là ABCD, ta có: 

OD = OC = OB = OA = R. Suy ra điểm O chính là một giao điểm của đoạn AC với đoạn BD. Từ đó suy ra R = AC/2

Xét một tam giác tên ABC vuông ở B, ta có:

AC^2 = AB^2 + BC^2 (Pitago)

AC^2 = 5^2 + 5^2

AC^2 = 25 + 25

AC^2 = 50 

→ AC = 5√2 cm

Vậy ta có R của đường tròn bằng R = AC/2 = (5√2)/2 (cm)

Vậy ta có C của hình tròn bằng: 2π x R = 2 x π x ((5√2)/2)) (cm)

Vậy ta có S của hình tròn này bằng: S = π x R^2 = π x ((5√2)/2)^2 = (25/2)π (cm^2)

Bài 4

Cho 1 đường tròn có tâm O và bán kính R cùng 1 điểm M để OM = 2R. Kể từ điểm M, hãy vẽ những tiếp tuyến như MA, MB với điểm A và B là những tiếp điểm. 

• Hãy tính độ dài của cung AB.
• Hãy tính S được giới hạn bởi 2 tiếp tuyến là BM và AM với cung AB.

Đáp án:

a. Vì đoạn AM là phân tiếp tuyến đường tròn có tâm O nên đoạn AM sẽ vuông góc với đoạn OA.

Xét 1 tam giác tên OAM có góc vuông ở A thì ta có:

cos góc AOM = OA/OM = R/2R = 1/2 

Suy ra góc AOM bằng 60 độ. Mà đoạn OM còn là tia để phân giác góc tên AOB (2 tiếp tuyến khi cắt nhau).

Suy ra góc AOB = 120 độ

Vậy độ dài của cung AB = l = 9π x R x 120)/180 = (2π x R)/3 cm

b. Xét 1 tam giác tên là OAM và có góc vuông ở A:

AM^2 + AO^2 = OM^2 (Pitago)

→ AM^2 + R^2 = (2R)^2

→ AM^2 = 4 x R^2 – R^2

→ AM = √3x R

Vậy S của tam giác tên OAM sẽ bằng:

S = 1/2 AM x AO = 1/2 x R x √3R = (√3 x R^2)/2 

Xét hai tam giác là AOM và BOM thì ta được:

• OM là đoạn chung
• BO = AO = R
• AM = BM (tiếp tuyến có thể cắt nhau)

Vì vậy mà tam giác tên AOM bằng với tam giác BOM (cạnh – cạnh – cạnh)

Suy ra diện tích của tam giác AOM = Diện tích của tam giác BOM = (√3 x R^2)/2

Suy ra diện tích của hình AMBO = Diện tích của AOM + Diện tích của BOM = 

 (√3 x R^2)/2 + (√3 x R^2)/2 = √3 x R^2

Vậy diện tích hình quạt tròn có cung AB là: S = (π x R^2 x 120 độ)/ 360 = (π x R^2)/3

Diện tích của khu vực giới hạn bởi tiếp tuyến MB, MA cùng cung AB là:

S = Diện tích của AMBO + Diện tích của hình quạt tròn có cung là AB = √3 x R^2 + (π x R^2)/3 = R^2 x (√3 – (π/3))

Một số bài toán về tính diện tích hình quạt tự luyện

Các bạn có thể tự luyện thêm vài bài về công thức tính S của hình quạt sau đây:

Bài 1: Cho 1 hình quạt có C = 28cm và S = 49cm2. Hãy tính toán R của hình quạt này.

Bài 2: Cho 1 đường tròn tâm I với bán kính là 2cm. Hãy vẽ đường bán kính IB, IA sao cho góc tên AIB bằng 120 độ. Bạn hãy tính:

• Hãy tính độ dài của cung AB. 
• Hãy tính S của hình quạt bị giới hạn bởi cung AB cùng 2 bán kính là IB và IA.

Bài 3: Cho 2 đường tròn có cùng tâm O. Bán kính của 2 đường tròn này là r bằng 5cm và r bằng 2cm. Bạn hãy lấy hai điểm A và B sao cho thuộc đường tròn O và đảm bảo góc AOB bằng 70 độ. Tia OB, OA cắt đường tròn tâm O có bán kính R ở điểm D, E. Bạn hãy lấy điểm C nằm trong đường tròn O.

• Tính số đo góc DCE và góc DOE.
• Tính độ dài của đường tròn tâm O, bán kính R và tính đường tròn tâm O bán kính r với độ dài của cung DE.
• Tính S của hình tròn tâm O có bán kính r và tính hình quạt DOE.

Nội dung trên đã chia sẻ xong những kiến thức về công thức tính diện tích hình quạt cùng những bài tập liên quan. Các bạn học sinh phải nắm rõ kiến thức này để làm bài kiểm tra hình học tốt hơn.