Công thức tính diện tích tam giác: vuông, đều, cân là kiến thức cơ bản trong Toán lớp 8, lớp 9 và thường được sử dụng trong các bài thi vào lớp 10.
Cách tính diện tích tam giác dưới đây tập hợp toàn bộ kiến thức về công thức tính diện tích các hình cơ bản cùng với các dạng bài tập có đáp án và bài tập tự luyện. Điều này sẽ giúp các bạn học sinh tổng hợp kiến thức, làm nhanh các bài tập về tính diện tích tam giác. Ngoài ra, để nâng cao kiến thức Toán, các em có thể tham khảo thêm tài liệu về Đường cao trong tam giác cân.
I. Công thức tính diện tích tam giác
1. Tính diện tích tam giác thường
Tam giác ABC có các cạnh a, b, c và ha là đường cao từ đỉnh A như trong hình vẽ:
a. Công thức tổng quát
Diện tích tam giác bằng ½ tích của độ dài đường cao kẻ từ đỉnh với độ dài cạnh đối diện của đỉnh đó.
Ví dụ:
Tính diện tích của tam giác khi có độ dài đáy là 5m và chiều cao là 24dm.
Giải: Chiều cao 24dm tương đương với 2,4m.
Diện tích của tam giác là
b. Tính diện tích tam giác khi biết một góc
Diện tích tam giác được tính bằng ½ tích hai cạnh kề nhân với sin của góc giữa hai cạnh đó trong tam giác.
Ví dụ:
Tam giác ABC có cạnh BC = 7, cạnh AB = 5, góc B là 60 độ. Tính diện tích tam giác ABC?
c. Tính diện tích tam giác khi biết 3 cạnh bằng công thức Heron.
Áp dụng công thức Heron đã được chứng minh:
Với p là nửa chu vi tam giác:
Có thể biểu diễn lại bằng công thức:
Ví dụ:
Tính diện tích tam giác có độ dài cạnh AB = 8, AC = 7, CB = 9
Giải:
Nửa chu vi tam giác ABC là
Áp dụng công thức Heron ta có
d. Tính diện tích bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác (R).
Phương pháp khác:
Lưu ý: Cần phải chứng minh được R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác.
Ví dụ:
Cho tam giác ABC, với độ dài các cạnh a = 6, b = 7, c = 5 và bán kính ngoài R = 3 (R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC). Hãy tính diện tích của tam giác ABC.
Giải:
e. Tính diện tích bằng bán kính đường tròn nội tiếp tam giác (r).
- p: Nửa chu vi tam giác.
- r: Bán kính đường tròn nội tiếp.
Giải:
Nửa chu vi tam giác ABC là:
Bán kính nội tiếp tam giác là r = 5
Diện tích tam giác là:
2. Tính diện tích tam giác cân
Tam giác cân ABC có ba cạnh, a là độ dài cạnh đáy, b là độ dài hai cạnh bên, ha là đường cao từ đỉnh A như hình vẽ:
Áp dụng công thức tính diện tích thường, ta có công thức tính diện tích tam giác cân:
3. Tính diện tích tam giác đều
Tam giác đều ABC có ba cạnh bằng nhau, a là độ dài các cạnh như hình vẽ:
Dựa vào định lý Heron, chúng ta có thể suy luận ra công thức tính diện tích của tam giác đều.
4. Tính diện tích của tam giác vuông
Tam giác ABC vuông tại B, với a và b là độ dài của hai cạnh góc vuông:
Áp dụng công thức tính diện tích thông thường cho tam giác vuông, với chiều cao là một trong hai cạnh góc vuông và đáy là cạnh còn lại.
Công thức tính diện tích của tam giác vuông là:
5. Tính diện tích của tam giác vuông cân
Tam giác ABC vuông cân tại A, a là độ dài hai cạnh góc vuông:
Áp dụng công thức tính diện tích tam giác vuông cho tam giác vuông cân với chiều cao và đáy bằng nhau, chúng ta có công thức sau:
II. Các dạng bài tập về diện tích hình tam giác
Dạng 1: Tính diện tích tam giác khi biết độ dài đáy và chiều cao
Ví dụ 1: Tính diện tích của tam giác thường và tam giác vuông khi có:
a) Độ dài đáy là 32cm và chiều cao là 25cm.
b) Hai cạnh góc vuông có độ dài lần lượt là 3dm và 4dm.
Bài giải
a) Diện tích của hình tam giác là:
32 x 25 : 2 = 400 (cm2)
b) Diện tích của hình tam giác là:
3 x 4 : 2 = 6 (dm2)
Đáp án: a) 400cm2
b) 6dm2
Dạng 2: Tính độ dài đáy khi biết diện tích và chiều cao
+ Từ công thức tính diện tích, chúng ta có thể suy ra công thức tính độ dài đáy: a = S x 2 : h
Ví dụ 1: Tính độ dài cạnh đáy của hình tam giác khi chiều cao là 80cm và diện tích là 4800cm2.
Bài giải
Độ dài cạnh đáy của hình tam giác là:
4800 x 2 : 80 = 120 (cm)
Đáp án: 120cm
Ví dụ 2: Cho hình tam giác có diện tích 5/8m2 và chiều cao là 1/2 m. Tính độ dài cạnh đáy của tam giác đó?
Bài giải
Độ dài cạnh đáy của tam giác là:
Đáp án: 5/2m
Dạng 3: Tính chiều cao khi biết diện tích và độ dài đáy
+ Từ công thức tính diện tích, chúng ta có thể suy ra công thức tính chiều cao: h = S x 2 : a
Ví dụ 1: Tính chiều cao của hình tam giác khi có độ dài cạnh đáy là 50cm và diện tích là 1125cm2.
Bài giải
Chiều cao của hình tam giác là:
1125 x 2 : 50 = 45 (cm)
Đáp án: 45cm
Dạng bài tập nâng cao
Cho tam giác AOB vuông tại O với đường cao OM (h.131). Hãy giải thích tại sao chúng ta có đẳng thức:
AB.OM = OA.OB
Gợi ý đáp án:
Chúng ta có cách tính diện tích tam giác AOB với đường cao OM và cạnh đáy AB:
Chúng ta cũng có cách tính diện tích tam giác AOB vuông với hai cạnh góc vuông OA, OB là
III. Bài tập tự luyện diện tích tam giác
Câu 1:
Tính diện tích của hình tam giác khi có:
a) Độ dài đáy là 32cm và chiều cao là 22cm;
b) Độ dài đáy là 2,5 cm và chiều cao là 1,2cm;
Câu 2:
Tính diện tích của hình tam giác khi có:
a) Độ dài đáy là 45cm và chiều cao là 2,4dm;
b) Độ dài đáy là 1,5 m và chiều cao là 10,2dm;
Câu 3:
Tính diện tích của hình tam giác khi có:
a) Độ dài đáy là 3/4m và chiều cao là 1/2m;
b) Độ dài đáy là 4/5 m và chiều cao là 3,5 dm;
Câu 4:
Tính diện tích của hình tam giác vuông khi có độ dài hai cạnh góc vuông lần lượt là:
a) 35cm và 15 cm.
b) 3,5 m và 15 dm.
Câu 5:
Tính diện tích của tam giác MDC. Biết hình chữ nhật ABCD có AB = 25 cm, BC = 16cm.
Câu 6:
Tính diện tích của tam giác MDN. Biết hình vuông ABCD có cạnh 20cm và AM = MB , BN = NC.
Câu 6: Cho tam giác ABC có BC = 6cm. D ∈ AC thỏa mãn CD = 2AD, E ∈ BC. Đoạn thẳng DE chia tam giác ABC thành hai phần thỏa mãn diện tích hình tứ giác gấp 3 lần diện tích hình tam giác. Tính độ dài đoạn thẳng BE.
Câu 7: Cho tam giác ABC có diện tích bằng 40cm2. Gọi M là trung điểm của AC . Tính diện tích tam giác ABM?
Câu 8: Cho tam giác ABC có đường cao AH = 6cm, diện tích tam giác ABC là 30 cm2. Gọi M là trung điểm của BC. Tính diện tích tam giác ABM
Câu 9: Cho tam giác ABC có diện tích 150cm2. M là trung điểm của BC, N là trung điểm của AC. Nối MN. Tính diện tích tam giác CMN ?
Câu 10 Cho hình chữ nhật ABCD, F là một điểm bất kì trên cạnh AD, BF cắt CD kéo dài tại điểm E. Nối điểm A với điểm E. Tính diện tích tam giác AEF, biết AF = 3cm, BC = 5cm, AB = 7 cm ?
Câu 11: Cho tam giác ABC biết BM = MC; CN = 3 x NA (như hình vẽ) và diện tích tam giác AEN bằng 27 cm².Tính diện tích tam giác ABC ?
Câu 12: Cho tam giác ABC có diện tích bằng 18cm2. Biết DA = 2 x DB ; EC = 3 x EA ; MC = MB. Tính tổng diện tích hai tam giác MDB và MCE ?