Buzz
Thể tích của khối chóp là kiến thức cơ bản mà các học sinh lớp 12 cần hiểu để học tốt môn Hình học. Các bài toán về khối chóp thường xuyên xuất hiện trong đề thi THPT Quốc gia, vì vậy học sinh cần nghiên cứu kỹ và làm bài tập thường xuyên để nắm vững kiến thức này. Bài viết sau đây sẽ chia sẻ nhiều hơn về khối chóp và cách tính nhanh thể tích của nó.
Khái niệm về hình chóp và các tính chất
Trước khi tìm hiểu về thể tích khối chóp, người ta cần hiểu về hình chóp. Đây là một loại hình học có mặt đáy là một hình đa giác và các mặt bên là các tam giác đều có chung một đỉnh. Đỉnh của hình chóp cũng là một phần của hình chóp. Đường cao trong hình chóp là một đoạn thẳng có thể đi qua đỉnh và tạo thành một góc vuông với mặt đáy.
Hiện nay có hai loại hình chóp phổ biến và được đặt tên theo hình dạng của mặt đáy: hình chóp tứ giác và hình chóp tam giác. Ngoài ra, hình chóp còn có một số tính chất quan trọng như sau:
- Trong hình chóp, nếu các cạnh bên đều có độ dài bằng nhau, thì chân đường cao của hình chóp là tâm của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.
- Nếu các mặt bên của hình chóp được thiết lập với góc giống nhau đối với đáy, thì chân đường cao của hình chóp là tâm của đường tròn nội tiếp đa giác đáy.
- Trường hợp hình chóp có một mặt bên tạo góc vuông với đáy, thì chân đường cao của hình chóp là chân của đoạn thẳng vuông góc với đỉnh hình chóp và đi xuống từ đỉnh đến cạnh đáy thuộc mặt bên này.
- Nếu hai mặt bên của hình chóp cùng vuông góc với mặt đáy, thì đường giao tuyến của hai mặt bên cũng vuông góc với mặt đáy.
Công thức tính nhanh thể tích của hình chóp
Thể tích của hình chóp có thể được tính nhanh bằng công thức sau:
V = 1/3 x S x h.
Trong công thức này:
- S: Diện tích của mặt phẳng đáy
- h: Chiều cao của hình chóp.
Các loại bài toán thường gặp và ứng dụng tính thể tích khối chóp
Hiện nay có nhiều dạng bài toán liên quan đến tính thể tích hình chóp vì đây là loại hình học đặc biệt. Dưới đây là một số dạng bài toán tính V của hình chóp thường gặp kèm theo các bài tập tương ứng mà các bạn học sinh có thể tham khảo:
Bài toán tính thể tích khối chóp khi mặt bên ⊥ với mặt đáy
Để nhận biết loại bài toán này, các bạn cần xem xét kỹ hình chóp được đưa ra. Nếu hình chóp có 2 mặt bên đồng thời ⊥ với mặt đáy và đường cao của hình chóp là đoạn thẳng nối hai điểm trên 2 mặt bên đó, chúng ta sẽ áp dụng công thức này.
Để tính độ dài đường cao của hình chóp, các bạn có thể dùng định lý sau:
Để hiểu rõ hơn về cách tính thể tích của hình chóp này, các bạn có thể tham khảo ví dụ sau đây: Cho khối chóp S.ABCD có mặt đáy là tam giác ABC vuông tại B, với mặt phẳng SBC ⊥ với mặt phẳng ABC, và BC = 4a, BA = 3a. Biết rằng góc SBC bằng 30 độ và đoạn SB bằng 2a√3. Hãy tính thể tích của khối chóp S.ABC.
Đáp án:
Hãy vẽ đường thẳng SH sao cho nó vuông góc với cạnh BC của khối chóp (H phải nằm trên cạnh BC). Sau đó ta có:
- Mặt phẳng SBC ⊥ với mặt phẳng ABC
- BC là đoạn giao tuyến giữa mặt phẳng SBC và mặt phẳng ABC
- SH vuông góc với cạnh BC
- SH nằm trong mặt phẳng SBC
→ Đường SH là đoạn thẳng vuông góc với mặt phẳng ABC
Tiếp tục xét đến tam giác tên SHB vuông tại H, ta có:
- SH = SB x sin của góc SBC = 2a√3 x sin30 = a√3
-
Diện tích của tam giác ABC = 1/2 x BA x BC = 1/2 x 3a x 4a = 6a^2
- Thể tích của hình chóp S.ABC = 1/3 x SH x Diện tích của tam giác ABC = 1/3 x a√3 x 6a^2 = 2a^3√3
Dạng toán tính thể tích khối chóp có cạnh bên ⊥ với mặt đáy
Như đã đề cập ở trên, công thức tính thể tích hình chóp là ⅓ S x h. Với hình chóp có cạnh bên ⊥ với mặt đáy, đường cao hình chóp chính là cạnh bên này với h bằng độ dài của cạnh bên ⊥ với mặt đáy. Các bạn có thể hiểu rõ hơn qua bài tập sau:
Bài toán: Cho hình chóp S.ABC với cạnh SA ⊥ với đáy, độ dài SA là 4, độ dài AB là 6, độ dài BC là 10 và độ dài CA là 8. Hãy tính thể tích của hình chóp S.ABC?
Kết quả:
Tính được AB^2 + AC^2 = 6^2 + 8^2 = BC^2
→ Tam giác ABC có góc vuông tại A.
Vì vậy diện tích của tam giác này là: S = 1/2 AB x AC = 1/2 x 6 x 8 = 24
Vậy thể tích của khối chóp S.ABC = 1/3 x SA x S của tam giác ABC = 1/3 x 4 x 24 = 32
Dạng toán tính V của hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông
Đối với dạng toán hình chóp có mặt phẳng đáy là hình vuông, bạn có thể làm theo bài tập sau:
Bài tập: Cho hình chóp S.ABCD với mặt phẳng đáy là hình vuông có cạnh độ dài a, cạnh SC tạo với mặt phẳng SAB một góc 30 độ, cạnh SA ⊥ với đáy. Hãy tính thể tích của khối chóp này?
Đáp án:
- Vì mặt phẳng ABCD là hình vuông nên cạnh BC vuông góc với cạnh AB (1).
- Cạnh SA lại vuông góc với mặt phẳng ABCD, suy ra cạnh SA vuông góc với BC (2).
- Từ (1) và (2), suy ra cạnh BC cũng vuông góc với mặt phẳng SAB.
- Góc tạo bởi cạnh SA và mặt phẳng SAB = Góc tạo bởi cạnh SC và SB = Góc CSB = 30 độ.
- Do đó BC/SB = tan30 = √3/3
- → SB = √3BC = √3a
- Dựa trên định lý Pythagore thì cạnh SA = √(SB^2 – AB^2) = √(3a^2 – a^2) = √2a
Vậy thể tích của khối chóp S.ABCD là: 1/3 x SA x S của hình vuông ABCD = 1/3 √2a x a^2 = (√2/3) x a^3
Dạng toán tính V hình chóp dạng lập phương
Đây là loại hình chóp đặc biệt vì tất cả các mặt bên đều là hình lập phương. Vì vậy cách tính thể tích của hình chóp lập phương này rất đơn giản: V = a x a x a = a^3. Dưới đây là một bài tập minh họa:
Cho một hình chóp lập phương có đường chéo có độ dài 27cm. Hãy tính V của hình chóp này?
Đáp án:
Độ dài các cạnh của hình chóp là 27/√3 (cm).
Vậy V của hình chóp lập phương này là V = (27/√3)^3 = 6561/√3 (cm^3).
Dạng toán tính V của hình chóp lăng trụ có đáy là tam giác cân đều
Nếu một hình chóp bao gồm mặt bên thuộc dạng hình bình hành, 2 mặt phẳng đáy nằm song song và có kích thước như nhau thì nó được coi như hình chóp lăng trụ. Nếu hình chóp lăng trụ này gồm mặt phẳng đáy là tam giác cân đều thì nó là hình chóp lăng trụ tam giác cân đều. Sau đây là bài tập để các bạn hiểu rõ hơn.
Bài tập: Cho 1 hình lăng trụ là ABC.A’B’C’ có mặt phẳng đáy là tam giác đều ABC với cạnh a bằng 2cm và chiều cao h bằng 3cm. Hãy tính toán thể tích khối chóp lăng trụ này?
Đáp án:
Bởi vì đáy của hình chóp trên là tam giác đều có cạnh bằng a nên diện tích S của tam giác này là a^2 x √3/4 = 2^2 x (√3/4) = √3 (m2)
Do đó thể tích của hình chóp lăng trụ này là S của tam giác ABC nhân với chiều cao h = √3 x 3 = 3√3 (m3)
Dạng toán tính V của hình chóp có đáy là lục giác đều
Để hiểu rõ hơn về cách tính thể tích của hình chóp này, mọi người hãy xem bài tập sau:
Bài tập: Cho 1 hình chóp có đáy là lục giác đều với góc tạo bởi cạnh bên và mặt phẳng đáy là 30 độ, độ dài cạnh đáy là a. Hãy tính V của hình chóp này?
Đáp án:
Đặt tên cho hình chóp là S.ABCDEF, và O là tâm của đáy ABCDEF.
Do đó ta có OA = OC = OB = OD = OF = OE = AB = CD = BC = DE = FA = EF = a
→ Tam giác OAB là tam giác đều với các cạnh bằng a.
→ Diện tích mặt đáy ABCDEF gấp 6 lần diện tích tam giác OAB.
→ Diện tích mặt đáy ABCDEF bằng (3.a^2.√3)/2
Cạnh SO vuông góc với mặt đáy ABCDEF
→ Góc giữa cạnh SA và mặt đáy = Góc SAO = 30 độ
→ SO = OA x tan30 = (a√3)/3
Thể tích khối chóp S.ABCDEF = 1/3 x Diện tích mặt đáy ABCDEF x SO = 1/3 x (3.a^2√3)/2 x (a√3)/3 = (a^3)/2
Dạng toán tính V hình chóp gồm cạnh bên đôi một vuông góc
Tham khảo bài tập sau để tính V hình chóp gồm cạnh bên đôi một vuông góc với nhau:
Cho 1 tứ diện S.ABC gồm cạnh SA, SC, SB và đôi một cạnh bên vuông góc với nhau. Cho biết SB = 4a, SA = 3a, SC = 5a. Tính V hình chóp này?
Đáp án:
Cạnh SA vuông góc với cả cạnh SC và SB → SA vuông góc với mặt phẳng SBC.
Diện tích của hình chóp tứ diện S.ABC = 1/3 x SA x diện tích mặt phẳng SBC = 1/6 x SA x SB x SC = 1/6 x 3a x 4a x 5a = 10a^3
Dạng toán tính V hình chóp tròn xoay
Công thức tính V hình chóp tròn xoay
Công thức để tính V của hình chóp tròn xoay tương tự với công thức tính V của hình chóp cơ bản:
V = 1/3 B x h
= 1/3 x π x r^2 x h x 1/3 x B x h
= 1/3 x π x r^2 x h
Trong công thức này:
- B: Diện tích của đáy là hình nón
- r: Bán kính của mặt phẳng đáy hình nón
- h: Chiều cao của hình nón
Bài tập tính V hình chóp tròn xoay
Bài tập sau đây sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về cách tính thể tích khối chóp tròn xoay:
Cho 1 hình nón có chiều cao là 2√5 với mặt phẳng đi qua đỉnh của hình nón cắt thành một thiết diện là tam giác đều có S = 9√3. Hãy tính V của khối chóp được giới hạn bởi hình nón đã cho.
Đáp án:
Tam giác ABC có điểm I là trung điểm của cạnh BC và a là độ dài cạnh tam giác ABC. Ta có:
(a^2√3)/4 = 9√3 → (3a^2)/4 = 27 → AI = a√3 = 3√3
→ OI = √AI^2 – AO^2 = √27 – 20 = √7
Bán kính của đáy hình nón R = OC = √OI^2 + IC^2 = √7 + 9 = 4
V = 1/3 x π x 4^2 x 2√5 = (32√5π)/3
Các công thức tính thể tích khối chóp đã được chia sẻ, giúp các bạn nắm bắt nhanh chóng. Hy vọng giúp ích cho việc học môn hình học ở bậc THPT.
