Công thức viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại một điểm và đi qua một điểm khác

Buzz

Nội dung bài viết

1. Khái niệm cơ bản về phương trình tiếp tuyến của đường tròn

2. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn

3. Bài tập thực hành liên quan:

Xem thêm

Trong bài viết này, Mytour sẽ giải thích chi tiết về cách viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại một điểm cụ thể và đi qua một điểm khác. Chúng tôi hy vọng thông tin sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn.

1. Khái niệm cơ bản về phương trình tiếp tuyến của đường tròn

Cách xác định phương trình tiếp tuyến của đường tròn

Phương trình của một đường tròn với tâm I(a; b) và bán kính R được biểu diễn như sau:

$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = R^{2}$

$a^{2}$ $b^{2}$ $R = a^{2} + b^{2} - c$

2. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn

Chúng ta có:

Vì thế, phương trình của Δ là:

(x_0 - a)(x - x_0) + (y_0 - b)(y - y_0) = 0 (1)

Tìm phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại một điểm cho trước

3. Bài tập thực hành liên quan:

Bài tập 1

Hướng dẫn giải:

- Đường tròn (C) có tâm I(2; 2) và bán kính R = √(2^2 + 2^2 - 4) = 2

⇒ Phương trình của ∆ là: a(x - 4) + b(y - 6) = 0 hoặc ax + by - 4a - 6b = 0 (*)

- Vì ∆ là tiếp tuyến của đường tròn (C) nên

$|2a + 2b - 4a - 6b| = 2 √(a^2 + b^2) \Leftrightarrow |-2a - 4b| = 2 √(a^2 + b^2)$ $|a + 2b| = √(a^2 + b^2) \Leftrightarrow a^2 + 4ab + 4b^2 = a^2 + b^2$

⇔ 4ab + 3b^2 = 0 ⇔ b = 0 và 4a = -3b

- Nếu b = 0: chọn a = 1, thay vào (*) ta có ∆: x - 4 = 0.

- Nếu 4a = -3b: chọn a = 3 thì b = -4, thay vào (*) ta có: 3x - 4y + 12 = 0

Vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn là x - 4 = 0 và 3x - 4y + 12 = 0

Bài 2: Phương trình tiếp tuyến d của đường tròn (C): (x + 2)^2 + (y + 2)^2 = 25 tại điểm M(2; 1) là:

A. d: -y + 1 = 0

B. d: 4x + 3y + 14 = 0

C. d: 3x – 4y – 2 = 0

D. d: 4x + 3y – 11 = 0

Hướng dẫn giải

+ Đường tròn (C) có tâm I(-2, -2) và bán kính là 5.

+ Vì đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn tại điểm M, nên đường thẳng d vuông góc với đoạn IM.

Đường thẳng d đi qua điểm M(2,1) và có vectơ pháp tuyến là IM(4,3).

⇒ Phương trình của đường thẳng d là: 4(x - 2) + 3(y - 1) = 0, tương đương với 4x + 3y - 11 = 0

==> Đáp án đúng là D: d: 4x + 3y - 11 = 0

Bài tập 3: $x^{2}$ $y^{2}$

a. Xác định phương trình tiếp tuyến của (C) qua điểm A (1, -3)

b. Tìm phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua điểm B (1, 1)

c. Xác định phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng 3x − 4y + 5 = 0

Hướng dẫn:

a. Đầu tiên, kiểm tra xem điểm A (1, -3) có nằm trên đường tròn (C) hay không. Nếu điểm A thuộc đường tròn, ta sẽ giải bài toán viết phương trình tiếp tuyến tại điểm đó; nếu không, sẽ có phương pháp giải khác.

Sau khi thay tọa độ điểm A (1, -3) vào phương trình của đường tròn (C), ta thấy thỏa mãn. Vì vậy, điểm A thuộc đường tròn (C).

Do đó, phương trình tiếp tuyến qua điểm A có dạng:

1. x − 3y − 2(x + 1) + 4(y − 3) + 18 = 0

⇔ x − y − 4 = 0

b. Khi thay tọa độ điểm B vào phương trình đường tròn (C), ta thấy không thỏa mãn. Do đó, điểm B không thuộc đường tròn (C). Khi điểm B không nằm trên đường tròn (C), phương pháp trên không áp dụng được. Vậy tiếp theo chúng ta phải làm gì? Theo dõi hướng dẫn sau.

Trước tiên, xác định phương trình đường thẳng đi qua điểm B (1,1) với hệ số góc k là Δ: y = k(x − 1) + 1 ⇔ kx − y − k + 1 = 0

Để đường thẳng Δ tiếp xúc với đường tròn (C), khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng Δ cần phải bằng bán kính R.

c. Phần này đề cập đến đường thẳng vuông góc, và cũng liên quan đến đường thẳng song song với hệ số góc.

Xét hai đường thẳng d1 và d2 với hệ số góc lần lượt là k1 và k2.

+ Nếu hai đường thẳng song song, hệ số góc của chúng sẽ bằng nhau, tức là: k1 = k2

+ Nếu hai đường thẳng vuông góc với nhau, tích hệ số góc của chúng bằng -1, tức là: k1 * k2 = -1

Vì đường thẳng Δ tiếp xúc với đường tròn (C), nên ta có:

Khoảng cách từ điểm I đến đường thẳng Δ bằng bán kính R

Câu 4: Đường tròn (C) có tâm I(-1; 2) và bán kính là 29. Xác định phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại điểm M sao cho M nằm trên đường thẳng d. Tìm phương trình tiếp tuyến và tọa độ nguyên của điểm M.

A. x + 2y + 3 = 0 B. 2x + 5y + 21 = 0

C. 3x + 5y - 8 = 0 D. Đáp án khác

Câu 5: