Buzz
1. Khái quát về cấp số cộng
- Dãy số u_n là cấp số cộng nếu u_{n+1} = u_n + d với mọi n ∈ N^*, trong đó d là hằng số.
d = u_{n+1} − u_n được gọi là công sai.
* d = 0: Cấp số cộng trở thành dãy số không thay đổi.
Chẳng hạn, dãy số 3; 6; 9; 12; 15 là một cấp số cộng vì:
6 = 3 + 3 9 = 6 + 3 12 = 9 + 3 15 = 12 + 3
Đây là cấp số cộng với công sai d = 3 và số hạng đầu tiên u_1 = 3.
- Số hạng tổng quát
Ký hiệu: u_n = u_1 + (n – 1) d, với n ≥ 2 (n là số tự nhiên lớn hơn 1)
Công sai có thể tính theo công thức: d = (u_n − u_1) / (n − 1).
Ví dụ: Với cấp số cộng (u_n) biết u_1 = −1 và d = 3, tìm u_20.
Ta có:
u_20 = u_1 + (20 − 1) d
= u_1 + 19d
= −1 + 19 × 3
= 56
- Đặc điểm: u_k = (u_{k−1} + u_{k+1}) / 2 với k ≥ 2
hoặc u_{k+1} + u_{k−1} = 2u_k
Ví dụ: Cho ba số 3, x, 9 theo thứ tự tạo thành một cấp số cộng. Xác định giá trị của x.
Ta có: x = (3 + 9) / 2 = 6.
Vậy x = 6.
Tổng của n số hạng đầu tiên
+) Tính qua số hạng đầu, cuối và số số hạng: S_n = n (u_1 + u_n) / 2, với n ∈ N^*
+) Tính tổng qua số hạng đầu, số lượng hạng và công sai: S_n = n u_1 + [n (n − 1)] d / 2
S_n = n [2 u_1 + (n − 1) d] / 2
Ví dụ: Với cấp số cộng (u_n) biết u_1 = −1 và d = 3, tính S_20.
Ta có: S_20 = 20 u_1 + 20 × (20 − 1) d / 2.
d = 20 × (−1) + 20 × 19 × 3 / 2 = 550
- Công thức tính tổng của n số đầu tiên trong cấp số cộng là: S = (n/2) × (a_1 + a_n)
Trong đó: S là tổng của n số đầu tiên, a_1 là số hạng đầu tiên, a_n là số hạng thứ n, và n là số lượng số hạng.
Để tính tổng S, cần biết số lượng số hạng (n), số hạng đầu tiên (a_1) và số hạng thứ n (a_n).
Số hạng thứ n được tính bằng công thức a_n = a_1 + (n-1)d, với d là công sai của cấp số cộng.
Nếu không có số hạng thứ n, có thể tính tổng S bằng cách sử dụng công thức an = a_1 + (n-1)d: S = (n/2) × (a_1 + a_1 + (n-1)d) = (n/2) × [2a_1 + (n-1)d]
Với công thức này, bạn có thể tính tổng S chỉ bằng số lượng số hạng (n), số hạng đầu tiên (a_1) và công sai (d) của cấp số cộng.
Nếu cấp số cộng là một dãy số vô hạn hội tụ, tức là khi số lượng số hạng tiến về vô hạn, tổng có thể được tính bằng công thức: S = a_1 / (1 – d)
Trong đó: S là tổng cấp số cộng, a_1 là số hạng đầu tiên, d là công sai. Công thức này chỉ áp dụng cho cấp số cộng hội tụ khi số lượng số hạng tiến về vô hạn.
Nếu cấp số cộng không hội tụ, tổng sẽ không xác định và công thức trên không còn hiệu lực.
2. Một số đặc điểm quan trọng của cấp số cộng
- Tổng của một cấp số cộng: Để tính tổng của n số đầu tiên trong cấp số cộng, sử dụng công thức: S = (n/2) × (a_1 + a_n), với S là tổng, a_1 là số hạng đầu tiên và a_n là số hạng thứ n.
– Số hạng trung bình của một cấp số cộng: Được tính bằng công thức: a = (a_1 + a_n) / 2
– Các số hạng trong cấp số cộng: Số hạng thứ n có thể được xác định bằng công thức: a_n = a_1 + (n-1)d, trong đó d là công sai.
– Phân tích cấu trúc chuỗi số: Một chuỗi số là cấp số cộng nếu các số trong chuỗi có thể được tạo thành từ một số hạng đầu tiên và công sai cố định. Cấp số cộng có ứng dụng rộng rãi trong toán học, khoa học máy tính và nhiều lĩnh vực khác như tài chính, thống kê, và khoa học dữ liệu. Các loại cấp số cộng phổ biến bao gồm:
– Cấp số cộng hình vuông: Là cấp số cộng mà các số hạng là các số chính phương liên tiếp. Ví dụ: 1, 4, 9, 16, 25 là cấp số cộng hình vuông.
– Cấp số cộng Fibonacci: Đây là cấp số cộng mà các số hạng được tính bằng cách cộng các số hạng liền kề trong chuỗi Fibonacci.
Ví dụ: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 là một ví dụ về cấp số cộng Fibonacci.
– Cấp số cộng tiên nghiệm: Đây là cấp số cộng được hình thành bằng cách cộng một số hạng trước đó với một số nguyên tố cố định.
Ví dụ: 2, 5, 11, 23, 47 là một cấp số cộng tiên nghiệm với công sai bằng 3.
3. Các bài tập cơ bản về cấp số cộng
Bài 1:
a) Tìm x sao cho ba số x2 + 1, x – 2, 1 – 3x tạo thành một cấp số cộng.
b) Xét cấp số cộng – 2, x, 6, y. Tính giá trị của biểu thức P = x2 + y2.
Hướng dẫn giải
a) Xét cấp số cộng với ba số x2 + 1, x – 2, 1 – 3x
⇔ x^2 + 1 + 1 – 3x = 2(x – 2)
⇔ x^2 – 5x + 6 = 0
⇔ x = 2; x = 3
Vậy, các giá trị x cần tìm là x = 2 và x = 3.
b) Áp dụng tính chất của cấp số cộng, ta có
x = (−2 + 6) / 2 = 2 và 6 = (x + y) / 2
⇔ x = 2 và y = 10
Do đó, P = x² + y² = 2² + 10² = 104.
Bài 2: Chứng minh rằng:
a) Nếu ba số a, b, c tạo thành một cấp số cộng, thì ba số x, y, z cũng tạo thành một cấp số cộng, với: x = a² – bc, y = b² – ca, z = c² – ab.
b) Nếu phương trình x³ – ax² + bx – c = 0 có ba nghiệm tạo thành cấp số cộng, thì 9ab = 2a³ + 27c.
Giải
a) Vì a, b, c là cấp số cộng nên a + c = 2b
Cần chứng minh rằng x, y, z cũng là cấp số cộng, tức là x + z = 2y.
Ta có 2y = 2b² – 2ca
Và x + z = a² + c² - b(a + c)
= (a + c)² – 2ac – 2b²
= 4b² – 2ac – 2b²
= 2b² – 2ac = 2y
Vì vậy, y = (x + z) / 2
Vậy điều cần chứng minh đã được thực hiện. b) Giả sử phương trình có ba nghiệm x₁, x₂, x₃ tạo thành cấp số cộng, khi đó: x₁ + x₃ = 2x₂ (1)
Mặt khác: x³ – ax² + bx – c
= (x – x₁)(x – x₂)(x – x₃)
= x³ – (x₁ + x₂ + x₃)x² + (x₁x₂ + x₂x₃ + x₃x₁)x – x₁x₂x₃
Do đó, x₁ + x₂ + x₃ = a (2)
Từ (1) và (2), ta có 3x² = a ⇔ x² = a / 3
Vì phương trình đã cho có nghiệm x² = a / 3, nên: (a / 3)³ – a(a / 2)² + b(a / 3) – c = 0
⇔ – 2a³ / 27 + ba / 3 – c = 0
⇔ 9ab = 2a³ +
Vậy điều cần chứng minh đã được thực hiện.
Trân trọng kính chào.
