Công Thức

Công Thức là một biểu thức toán học bao gồm các biến và phép toán, trong đó các giá trị của các biến cần được xác định để làm cho biểu thức trở thành một phép tính chính xác. Công thức thường có dấu '=' để chỉ sự bằng nhau giữa hai biểu thức. Mục đích của việc giải công thức là tìm các giá trị của biến để biểu thức trở nên đúng và có nghĩa. Có nhiều loại công thức khác nhau, như công thức đại số, công thức vi phân, và nhiều loại khác. Công thức được áp dụng rộng rãi trong toán học, khoa học, kỹ thuật, và kinh tế.

Trong toán học, công thức biểu thị sự tương đương giữa hai biểu thức có chứa biến (mối liên hệ giữa các biến số). Công thức có thể mang nhiều ý nghĩa khác nhau tùy thuộc vào ngôn ngữ; ví dụ, trong tiếng Pháp, từ 'équation' chỉ một đẳng thức với một hoặc nhiều biến; còn trong tiếng Anh, 'equation' có thể chỉ bất kỳ đẳng thức nào.

Giải một công thức chứa biến có nghĩa là xác định các giá trị của biến sao cho đẳng thức trở nên đúng. Các biến còn được gọi là ẩn số, và các giá trị của ẩn số làm cho công thức đúng được gọi là nghiệm. Công thức có thể chia thành hai loại: đồng nhất thức, đúng với mọi giá trị của biến, và công thức có điều kiện, chỉ đúng với một số giá trị nhất định của biến hoặc không có giá trị nào (gọi là công thức vô nghiệm).

Một phương trình được thể hiện bằng hai biểu thức, nối với nhau qua dấu '='. Biểu thức bên trái dấu '=' được gọi là 'vế trái', trong khi biểu thức bên phải dấu '=' gọi là 'vế phải'.

Phương trình đại số là loại phổ biến nhất, trong đó hai vế là các biểu thức đại số. Mỗi bên của một phương trình đại số có thể chứa nhiều số hạng. Ví dụ, trong phương trình $A{x}^2+Bx+C=y$, vế trái chứa ba số hạng là $A{x}^2+Bx+C$, còn vế phải chỉ có một số hạng là y. Các biến trong phương trình là x và y, còn A, B, C là các tham số.

Để biến đổi một phương trình mà không làm thay đổi các nghiệm của nó, cần thực hiện cùng một phép toán cộng, trừ, nhân, hoặc chia trên cả hai vế của phương trình.

Trong hình học, phương trình dùng để mô tả các dạng hình khác nhau. Các phương trình như phương trình ẩn hoặc phương trình tham số có thể có vô số nghiệm, và thay vì xác định hay liệt kê các nghiệm cụ thể, người ta dùng phương trình để nghiên cứu các đặc tính của hình dạng. Đây là nền tảng của hình học đại số, một lĩnh vực quan trọng trong toán học.

Đại số nghiên cứu hai loại phương trình chính là phương trình đa thức và phương trình tuyến tính. Với một biến, phương trình đa thức có dạng P(x) = 0, trong đó P(x) là một đa thức; còn phương trình tuyến tính có dạng ax + b = 0, với a và b là các tham số. Để giải các phương trình này, người ta sử dụng các kỹ thuật hình học hoặc thuật toán từ giải tích hoặc đại số tuyến tính. Đại số cũng nghiên cứu phương trình Diophantos, trong đó các hệ số và nghiệm là các số nguyên, sử dụng nhiều kỹ thuật từ lý thuyết số.

Phương trình vi phân là các phương trình liên quan đến một hoặc nhiều hàm và đạo hàm của chúng. Chúng được giải quyết khi ta tìm ra một biểu thức cho hàm mà không còn phụ thuộc vào đạo hàm của nó. Phương trình vi phân được sử dụng để mô hình hóa các quá trình có liên quan đến tốc độ thay đổi của các biến và thường được áp dụng trong các lĩnh vực như vật lý, hóa học, sinh học và kinh tế.

Ký hiệu '=' xuất hiện trong tất cả các phương trình và được phát minh bởi Robert Recorde vào năm 1557. Ông cho rằng không có gì bằng nhau hơn hai đường thẳng song song có cùng độ dài.

Giới thiệu

Minh họa

Hãy tưởng tượng một phương trình như một cái cân, nơi mà sự cân bằng hoặc chênh lệch được thể hiện.

Mỗi vế của phương trình có thể coi như một bên của cái cân. Các đại lượng khác nhau có thể nằm ở mỗi bên: nếu khối lượng ở cả hai bên bằng nhau, cái cân sẽ ở trạng thái cân bằng. Tương tự, nếu sự cân bằng biểu thị số dư, thì nó cũng phải cân bằng. Ngược lại, nếu không cân bằng, thì biểu thức tương ứng với một bất đẳng thức được thể hiện bằng một bất phương trình.

Trong hình minh họa, x, y, z là các đại lượng khác nhau (ở đây là số thực) được thể hiện bằng khối lượng của các hạt tròn, và mỗi đại lượng x, y, z được biểu diễn bởi một hạt có khối lượng riêng biệt. Phép cộng tương ứng với việc thêm khối lượng, còn phép trừ tương ứng với việc loại bỏ khối lượng. Nếu đẳng thức chính xác, tổng khối lượng của cả hai bên sẽ bằng nhau.

Tham số và biến số

Tham số là một giá trị không thay đổi trong một phương trình hoặc hệ phương trình. Nó được coi là một hằng số và không thay đổi trong quá trình giải phương trình. Tham số thường được ký hiệu bằng chữ m, hoặc bất kỳ chữ cái thường nào (ví dụ: a, b, c) và thường đại diện cho một yếu tố hoặc đặc điểm cụ thể trong bài toán.

Ẩn số là một biến mà chúng ta cần xác định giá trị của nó khi giải một phương trình hoặc hệ phương trình. Thông thường, ẩn số được ký hiệu bằng các chữ cái thường (như x, y, z) và biểu thị một giá trị chưa biết mà chúng ta cần tìm. Mục tiêu khi giải phương trình là xác định giá trị chính xác cho ẩn số để phương trình trở thành một phép toán đúng.

Để phân biệt tham số và ẩn số trong một phương trình, ta thường gán giá trị cụ thể cho tham số trước khi giải. Lúc này, phương trình có thể coi như một bài toán với ẩn số mà chúng ta cần xác định giá trị.

Phương trình thường bao gồm các số hạng khác ngoài ẩn số. Những thành phần này, được coi là đã biết, thường được gọi là hằng số, hệ số hoặc tham số.

Một ví dụ về phương trình có ẩn số x, y và tham số R là:

$x^2+y^2=R^2.$

Khi R được đặt là 2 (R = 2), phương trình này khi được vẽ trên hệ tọa độ Descartes sẽ đại diện cho một đường tròn có bán kính 2. Do đó, phương trình với R chưa xác định là dạng tổng quát của phương trình đường tròn với bán kính R.

Thông thường, các ẩn số được ký hiệu bằng các chữ cái gần cuối bảng chữ cái như x, y, z, w,... trong khi các hệ số hoặc tham số được ký hiệu bằng các chữ cái đầu bảng chữ cái như a, b, c, d,... Ví dụ, phương trình bậc hai tổng quát thường được viết dưới dạng $a{x}^2+bx+c=0$. Việc tìm nghiệm hoặc biểu diễn ẩn số dưới dạng tham số được gọi là giải phương trình. Nghiệm dưới dạng các tham số còn được gọi là nghiệm tổng quát.

Hệ phương trình là một tập hợp các phương trình, thường chứa nhiều ẩn số, và chúng ta tìm các giá trị chung của các ẩn số sao cho tất cả các phương trình trong hệ thống đều được thỏa mãn. Một nghiệm của hệ phương trình là một tập hợp các giá trị cho mỗi ẩn số, sao cho các giá trị đó đồng thời là nghiệm của tất cả các phương trình trong hệ. Ví dụ về hệ phương trình:

có nghiệm duy nhất là $(x;y)=(1;1)$.

Phương trình có vô số nghiệm

Phương trình có vô số nghiệm là phương trình đúng với tất cả các giá trị có thể của các biến trong nó. Trong quá trình giải phương trình, một phương trình có vô số nghiệm thường được dùng để đơn giản hóa và làm cho phương trình dễ giải hơn.

Trong đại số, một ví dụ về phương trình có vô số nghiệm là hiệu của hai bình phương như sau:

$x^2-<!--\; -\; -->y^2=(x+y)(x-<!--\; -\; -->y)$

Phương trình này đúng với mọi giá trị của x và y.

Lượng giác chứa nhiều đồng nhất thức quan trọng, rất hữu ích khi giải hoặc áp dụng vào các phương trình lượng giác. Hai đồng nhất thức phổ biến liên quan đến hàm sin và cos là:

${\sin }^2<!--\; \; -->\left(\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}\right)+{\cos }^2<!--\; \; -->\left(\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}\right)=1$ và $\sin <!--\; \; -->\left(2\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}\right)=2\sin <!--\; \; -->\left(\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}\right)\cos <!--\; \; -->\left(\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}\right)$

luôn đúng với mọi giá trị của θ.

Ví dụ, để tìm giá trị của θ thỏa mãn phương trình:

$3\sin <!--\; \; -->\left(\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}\right)\cos <!--\; \; -->\left(\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}\right)=1,$

Khi θ được xác định trong khoảng từ 0 đến 45 độ, chúng ta có thể áp dụng đồng nhất thức cho tích để có được:

dẫn đến kết quả

Vì hàm sin là hàm tuần hoàn, phương trình sẽ có vô số nghiệm nếu không có điều kiện cho θ. Tuy nhiên, với θ trong khoảng từ 0 đến 45 độ, phương trình chỉ có một nghiệm duy nhất.

Các phương trình tương đương và hệ quả

Khái niệm

Phương trình tương đương là những phương trình mà khi giải theo cùng một cách, chúng sẽ cho ra các nghiệm giống nhau. Nói cách khác, nếu thay giá trị của biến vào một phương trình tương đương, kết quả thu được sẽ không thay đổi.

Để biến đổi một phương trình thành phương trình tương đương, ta có thể thực hiện các phép biến đổi hợp lệ trên cả hai vế mà không làm thay đổi nghiệm của nó. Những phép biến đổi thường gặp bao gồm cộng hoặc trừ một số bằng nhau vào cả hai vế, nhân hoặc chia cả hai vế cho một số giống nhau, áp dụng các quy tắc đổi dấu và loại bỏ các phần không cần thiết.

Chẳng hạn, hai phương trình dưới đây là tương đương:

• Phương trình 1: $2x+3=7$
• Phương trình 2: $2x=4$

Bằng cách trừ 3 từ cả hai vế của Phương trình 1, chúng ta sẽ có Phương trình 2. Do đó, cả hai phương trình đều có nghiệm chung là x = 2.

Phương trình tương đương thường được áp dụng để đơn giản hóa hoặc biến đổi dạng của một phương trình mà không làm thay đổi nghiệm của nó, từ đó hỗ trợ trong việc giải phương trình hoặc phân tích các bài toán liên quan.

Xét phương trình (1) $f\left(x\right)=g\left(x\right)$ có tập nghiệm là $S$ và phương trình (2) $f_1\left(x\right)=g_1\left(x\right)$ có tập nghiệm là $S_1$.

• Nếu $S=S_1$ thì hai phương trình (1) và (2) là tương đương. Ta viết ký hiệu $f\left(x\right)=g\left(x\right)\iff <!--\; \iff \; -->f_1\left(x\right)=g_1\left(x\right)$.
• Nếu $S\subset <!--\; \subset \; -->S_1$ thì phương trình (2) là hệ quả của phương trình (1). Ta viết ký hiệu $f\left(x\right)=g\left(x\right)\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->f_1\left(x\right)=g_1\left(x\right)$. Các nghiệm của phương trình (2) mà không phải là nghiệm của phương trình (1) được gọi là nghiệm ngoại lai.

Ví dụ, phương trình $x=1$ có nghiệm $x=1.$. Nếu nâng cả hai vế lên lũy thừa 2 (tức là áp dụng hàm $f\left(s\right)=s^2$ lên cả hai vế của phương trình), ta được phương trình $x^2=1$, không chỉ giữ nghiệm ban đầu mà còn sinh ra nghiệm ngoại lai là $x=-<!--\; -\; -->1.$

Hơn nữa, nếu hàm không xác định tại một số giá trị (như 1/x, không xác định khi x = 0), các nghiệm tại những giá trị đó có thể bị loại bỏ. Do đó, cần cẩn thận khi thực hiện các phép biến đổi trên phương trình.

Các phép biến đổi tương đương

Các phép toán sau đây có thể biến đổi một phương trình thành phương trình tương đương, với điều kiện các phép toán đó hợp lệ đối với các biểu thức mà chúng được áp dụng:

• Cộng, trừ, nhân, chia cả hai vế với cùng một số, với điều kiện phép nhân và chia không chứa số 0 và không vi phạm điều kiện xác định.
• Rút gọn phương trình để có dạng tối giản tương tự như rút gọn đa thức mà không vi phạm điều kiện xác định.
• Áp dụng căn bậc n hoặc lũy thừa bậc n nếu các biểu thức ở hai vế cùng dấu và không vi phạm điều kiện xác định.
• Các nghiệm phải thỏa mãn điều kiện xác định và làm cho hai vế của phương trình bằng nhau.

Các phép biến đổi này là nền tảng cho hầu hết các phương pháp giải phương trình cơ bản, cũng như một số phương pháp nâng cao như phương pháp khử Gauss.

Đại số

Phương trình đa thức

Phương trình đa thức là loại phương trình chứa ít nhất một biến và các hạng tử của đa thức. Đa thức là biểu thức đại số bao gồm các biến, hệ số và các phép toán như cộng, trừ, nhân và lũy thừa.

Phương trình đa thức thường được viết dưới dạng đa thức bằng cách đưa biểu thức đa thức về 0. Mục tiêu là tìm các giá trị của biến sao cho khi thay vào phương trình, biểu thức trở thành đúng.

Ví dụ, dưới đây là một phương trình đa thức bậc hai:

$x^2-<!--\; -\; -->5x+6=0$

Trong phương trình này, x là biến, và các hệ số là 1, -5 và 6. Mục tiêu là xác định giá trị của x để phương trình trở thành đúng. Ở đây, các giá trị x là 2 và 3, vì khi thay x = 2 hoặc x = 3 vào phương trình, ta đều có 0 = 0.

Phương trình đa thức rất phổ biến trong toán học và các lĩnh vực như vật lý, kỹ thuật và kinh tế, dùng để mô hình hóa các tình huống phức tạp và giải quyết các bài toán thực tiễn.

Thông thường, một phương trình đại số hoặc phương trình đa thức có dạng

$P\left(x\right)=0$ hoặc $P\left(x\right)=Q\left(x\right)$

Trong đó P(x) và Q(x) là các đa thức với hệ số thuộc một tập hợp số nào đó (như số thực, số phức, v.v...), thường là tập hợp các số hữu tỉ. Một phương trình đại số là đơn biến nếu chỉ chứa một biến. Ngược lại, nếu phương trình đa thức có nhiều biến, nó được gọi là đa biến (ví dụ: x, y, z,...). Thuật ngữ phương trình đa thức thường được ưa chuộng hơn phương trình đại số.

Chẳng hạn,

$x^5-<!--\; -\; -->3x+1=0$

là một phương trình đại số (đa thức) với một biến và các hệ số nguyên cùng

là một phương trình đa thức với nhiều biến trên tập hợp các số hữu tỉ.

Không phải mọi phương trình đa thức với hệ số hữu tỉ đều có nghiệm dưới dạng biểu thức đại số với số hữu hạn các phép toán liên quan đến các hệ số (tức là có thể giải bằng đại số). Phương pháp giải bằng đại số có thể áp dụng cho các phương trình bậc một, hai, ba hoặc bốn; tuy nhiên, với bậc năm trở lên, nó chỉ có thể giải cho một số phương trình nhất định. Như định lý Abel-Ruffini đã chỉ ra, không phải tất cả các phương trình bậc năm trở lên đều có thể giải được. Một lượng lớn công trình nghiên cứu đã được thực hiện để tìm gần đúng các nghiệm thực hoặc phức của một phương trình đại số đơn biến (xem phần Tìm nghiệm nguyên của đa thức) và các nghiệm chung của nhiều phương trình đa thức nhiều biến (xem Hệ phương trình đa thức).

Hệ phương trình tuyến tính

Hệ phương trình tuyến tính (hoặc hệ tuyến tính) bao gồm một tập hợp các phương trình tuyến tính có chung một tập biến. Ví dụ:

Đây là một hệ ba phương trình với ba biến x, y, z. Một nghiệm của hệ là tập giá trị của các biến sao cho tất cả các phương trình đều được thỏa mãn đồng thời. Một nghiệm của hệ phương trình trên là

vì nó đảm bảo tất cả ba phương trình đều đồng thời đúng. Từ 'hệ' ám chỉ rằng các phương trình được xét chung, không phải từng cái một.

Trong toán học, lý thuyết về hệ tuyến tính là nền tảng và phần thiết yếu của đại số tuyến tính, một lĩnh vực quan trọng trong toán học hiện đại. Các thuật toán tìm kiếm nghiệm là một phần quan trọng của đại số tuyến tính và có ứng dụng rộng rãi trong vật lý, kỹ thuật, hóa học, khoa học máy tính và kinh tế. Một hệ phương trình tuyến tính thường có thể được xấp xỉ bằng một hệ thống tuyến tính (xem tuyến tính hóa), kỹ thuật này rất hữu ích khi xây dựng mô hình toán học hoặc mô phỏng máy tính cho những hệ thống phức tạp.

Hình học

Hình học giải tích

Trong hình học Euclid, mỗi điểm trong không gian có thể được gán một tập hợp tọa độ thông qua một lưới trực giao. Điều này cho phép mô tả các hình học bằng các phương trình. Một mặt phẳng trong không gian ba chiều có thể được biểu diễn bằng một phương trình dạng $ax+by+cz+d=0$. Ở đây, $a,b,c,d$ là các hệ số thực và $x,y,z$ là các ẩn số tương ứng với tọa độ của điểm trong lưới trực giao. Các giá trị $a,b,c$ đại diện cho tọa độ của một vectơ vuông góc với mặt phẳng được xác định bởi phương trình. Đường thẳng được xác định là giao của hai mặt phẳng, đó là tập nghiệm của một phương trình tuyến tính duy nhất trong $R^2$ hoặc là tập nghiệm của hai phương trình tuyến tính trong $R^3.$

Đường conic là tập hợp các điểm giao nhau giữa một mặt phẳng và một mặt nón có phương trình $x^2+y^2=z^2$ và một mặt phẳng. Nói cách khác, trong không gian, một hình nón có thể được định nghĩa bởi tập nghiệm của phương trình mặt phẳng và phương trình nón đã cho. Phương pháp này giúp xác định vị trí và các thuộc tính của các đường conic.

Sử dụng các phương trình giúp tiếp cận các vấn đề hình học qua một lĩnh vực toán học rộng lớn. Hệ tọa độ Descartes chuyển đổi bài toán hình học thành bài toán phân tích khi các hình được diễn đạt dưới dạng phương trình; từ đó tên gọi hình học giải tích ra đời. Quan điểm của Descartes đã làm phong phú và thay đổi cách nhìn nhận hình học do các nhà toán học Hy Lạp cổ đại phát triển.

Ngày nay, hình học giải tích chỉ định một lĩnh vực toán học hiện đại. Dù vẫn sử dụng các phương trình để mô tả các hình học, nó còn áp dụng các kỹ thuật phức tạp khác như phân tích hàm và đại số tuyến tính.

Phương trình Descartes

Hệ tọa độ Descartes định nghĩa mỗi điểm trong mặt phẳng thông qua một cặp số tọa độ, phản ánh khoảng cách có dấu từ điểm đến hai trục vuông góc cố định, được thể hiện bằng cùng một vector đơn vị chiều dài.

Tương tự, trong không gian ba chiều, ta xác định vị trí của điểm bằng ba tọa độ Descartes, đại diện cho các khoảng cách có dấu đến ba mặt phẳng vuông góc, hoặc bằng cách chiếu vuông góc lên ba đường vuông góc.

Sự phát minh hệ tọa độ của René Descartes (tên Latinh: Cartesius) vào thế kỷ XVII đã tạo ra bước ngoặt trong toán học bằng cách thiết lập liên hệ có hệ thống đầu tiên giữa hình học Euclid và đại số. Nhờ hệ tọa độ Descartes, các hình dạng hình học (như đường cong) có thể được biểu diễn bằng phương trình Descartes: các phương trình đại số liên quan đến tọa độ của các điểm trên hình dạng đó. Ví dụ, một đường tròn bán kính 2 trong mặt phẳng, với tâm tại điểm gốc, có thể được mô tả bằng tập hợp các điểm có tọa độ x và y thỏa mãn phương trình x + y = 4.

Phương trình tham số

Phương trình tham số của đường cong mô tả tọa độ của các điểm trên đường cong dưới dạng hàm của một biến số, được gọi là tham số. Ví dụ,

Đây là phương trình tham số của đường tròn đơn vị, với t là tham số. Tập hợp các phương trình này được gọi là biểu diễn tham số của đường cong.

Khái niệm về phương trình tham số đã được mở rộng cho các bề mặt, đa tạp và các dạng đại số có số chiều lớn hơn. Số lượng tham số tương ứng với thứ nguyên của đa tạp hoặc đa dạng, trong khi số phương trình tương ứng với thứ nguyên của không gian trong đó chúng được xem xét (ví dụ: đường cong có kích thước một với một tham số, bề mặt có kích thước hai với hai tham số, v.v...).

Lý thuyết số

Phương trình Diophantos

Phương trình Diophantos là các phương trình đa thức với hai hoặc nhiều ẩn số, chỉ quan tâm đến các nghiệm nguyên (tức là nghiệm mà tất cả các ẩn số đều là số nguyên). Ví dụ, phương trình Diophantos tuyến tính bao gồm hai tổng đơn thức bậc không hoặc bậc nhất. Một ví dụ cụ thể là ax + by = c, với a, b và c là các hằng số. Phương trình Diophantos hàm mũ là loại phương trình trong đó các số mũ của các hạng tử là các ẩn số.

Các bài toán Diophantos thường có số lượng phương trình ít hơn số biến và yêu cầu tìm số nguyên sao cho tất cả các phương trình đều được thỏa mãn. Trong ngôn ngữ toán học, các nghiệm này xác định một đường cong đại số, bề mặt đại số, hoặc các đối tượng tổng quát hơn, và vấn đề là tìm các điểm lưới trên chúng.

Tên Diophantus xuất phát từ nhà toán học Hy Lạp thế kỷ III, Diophantus ở Alexandria, người đã nghiên cứu các phương trình kiểu này và là một trong những người đầu tiên sử dụng ký hiệu trong đại số. Nghiên cứu các vấn đề liên quan đến phương trình Diophantos do Diophantus khởi xướng hiện được gọi là giải tích Diophantos.

Số đại số và số siêu việt

Số đại số là các số có thể là nghiệm của một phương trình đa thức với hệ số hữu tỉ (hoặc tương đương, sau khi xóa các mẫu số, với hệ số nguyên). Ví dụ, các số như pi ($\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$) hay e không phải là số đại số, mà thuộc loại số siêu việt. Hầu hết các số thực và số phức đều là số siêu việt.

Hình học đại số

Hình học đại số là một lĩnh vực toán học nghiên cứu các nghiệm của phương trình đa thức dưới góc độ hình học. Ngày nay, hình học đại số hiện đại dựa vào các phương pháp trừu tượng hơn từ đại số trừu tượng, đặc biệt là đại số giao hoán, để nghiên cứu ngôn ngữ và các vấn đề hình học.

Đối tượng nghiên cứu chính trong hình học đại số là các dạng đại số, là các biểu hiện hình học của các nghiệm của hệ phương trình đa thức. Các lớp đa dạng đại số được nghiên cứu nhiều nhất bao gồm: đường cong đại số phẳng như đường thẳng, đường tròn, parabol, elip, hyperbol, đường cong elliptic, và các đường cong tứ phương như hình chanh và hình bầu dục Cassini. Một điểm trên mặt phẳng thuộc về một đường cong đại số nếu tọa độ của nó thỏa mãn một phương trình đa thức cho trước. Các câu hỏi cơ bản thường xoay quanh các điểm đặc biệt như điểm kỳ dị, điểm uốn và điểm ở vô cùng, trong khi các câu hỏi nâng cao hơn liên quan đến cấu trúc liên kết của đường cong và mối quan hệ giữa các đường cong do các phương trình khác nhau định nghĩa.

Phương trình vi phân

Phương trình vi phân là một công thức toán học mô tả mối liên hệ giữa một hàm và các đạo hàm của nó. Trong thực tế, hàm số thường đại diện cho các đại lượng vật lý, các đạo hàm phản ánh sự thay đổi của chúng, và phương trình định nghĩa mối liên hệ giữa các hàm này. Vì các mối quan hệ này rất phổ biến, phương trình vi phân rất quan trọng trong nhiều lĩnh vực như vật lý, kỹ thuật, kinh tế và sinh học.

Trong toán học thuần túy, nghiên cứu phương trình vi phân thường tập trung vào việc tìm nghiệm của chúng, tức là tập hợp các hàm thỏa mãn phương trình. Chỉ một số ít phương trình vi phân đơn giản có thể giải được bằng công thức rõ ràng; tuy nhiên, nhiều tính chất của nghiệm có thể được xác định mà không cần biết dạng chính xác của chúng.

Khi không có công thức chính xác để giải phương trình, các nghiệm có thể được tính gần đúng bằng các phương pháp số học trên máy tính. Lý thuyết hệ động lực tập trung vào phân tích định tính các hệ thống mô tả bằng phương trình vi phân, trong khi nhiều phương pháp số học đã được phát triển để xác định nghiệm với độ chính xác nhất định.

Phương trình vi phân thông thường

Phương trình vi phân thông thường, hay còn gọi là ODE, là một phương trình bao gồm một hàm của một biến độc lập và các đạo hàm của nó. Thuật ngữ ' thông thường ' phân biệt nó với phương trình vi phân riêng phần, liên quan đến nhiều hơn một biến độc lập.

Phương trình vi phân tuyến tính, với các nghiệm có thể cộng lại và nhân với hệ số, được hiểu rõ và có thể tìm được nghiệm dạng đóng chính xác. Ngược lại, các ODE phi tuyến tính không có nghiệm cộng lại, và việc giải chúng phức tạp hơn nhiều vì chúng thường không thể biểu diễn bằng các hàm cơ bản ở dạng đóng: Thay vào đó, các nghiệm chính xác của ODE thường dưới dạng chuỗi hoặc tích phân. Các phương pháp đồ thị và số học, thực hiện bằng tay hoặc máy tính, có thể ước lượng các nghiệm của ODE và cung cấp thông tin hữu ích, thường chỉ khi không có nghiệm số tích phân chính xác.

Phương trình vi phân riêng phần

Phương trình đạo hàm riêng, hay PDE, là một loại phương trình vi phân chứa các hàm nhiều biến chưa biết và các đạo hàm riêng của chúng. (Khác với phương trình vi phân thông thường, chỉ xử lý các hàm của một biến duy nhất và các đạo hàm của chúng). PDE được dùng để mô tả các vấn đề liên quan đến hàm nhiều biến và có thể được giải bằng tay hoặc dùng để tạo mô hình máy tính.

PDE có thể mô tả nhiều hiện tượng như âm thanh, nhiệt độ, tĩnh điện, điện động lực học, dòng chất lỏng, độ đàn hồi, hoặc cơ học lượng tử. Các hiện tượng vật lý này, dù khác biệt, đều có thể được biểu diễn qua PDE. Tương tự như phương trình vi phân thông thường thường mô hình hóa hệ động lực một chiều, phương trình đạo hàm riêng thường mô hình hóa hệ thống nhiều chiều. PDE còn có các tổng quát trong các phương trình vi phân riêng ngẫu nhiên.

Các loại phương trình

Phương trình có thể được phân loại theo tính chất và số lượng các yếu tố liên quan. Các loại chính bao gồm:

1. Phương trình đại số hay phương trình đa thức là loại phương trình mà cả hai vế đều là đa thức. Chúng được phân loại theo bậc như sau:
   • Phương trình tuyến tính hoặc bậc nhất
   • Phương trình bậc hai
   • Phương trình bậc ba
   • Phương trình bậc bốn
   • Phương trình bậc năm trở lên
2. Phương trình Diophantos yêu cầu các ẩn số phải là số nguyên.
3. Phương trình siêu nghiệm liên quan đến hàm siêu việt của các ẩn số chưa biết.
4. Phương trình tham số tìm kiếm các giải pháp dưới dạng hàm của một số biến khác, gọi là tham số.
5. Phương trình lượng giác chứa các hàm lượng giác.
6. Phương trình hàm có các ẩn số là các hàm số thay vì các số đơn giản.
7. Phương trình vi phân mô tả mối quan hệ giữa các hàm số chưa biết và các đạo hàm của chúng.
8. Phương trình tích phân mô tả mối quan hệ giữa các hàm số chưa biết và nguyên hàm của chúng.
9. Phương trình vi phân phân cực biểu diễn mối quan hệ giữa cả đạo hàm và nguyên hàm của các hàm số chưa biết.

• Phương trình Pythagoras
• Bất phương trình
• Phương trình đại số
• Phương trình tuyến tính
• Phương trình vi phân
• Phương trình tích phân

Ghi chú