Cùng một lúc

Trong hình học, thuộc tính 'cùng một lúc' là một đặc tính của các đường thẳng, mặt phẳng, hoặc tổng quát hơn là các không gian afin. Ban đầu, khái niệm 'cùng một lúc' được Euclide đưa ra trong tác phẩm Cơ sở (Euclid), bộ sách nổi tiếng về toán học và hình học của ông. Theo thời gian, khái niệm này đã chuyển từ một định nghĩa tiên đề sang một định nghĩa hình học phổ biến.

Trong hình học Euclide

Các nguyên lý của Euclide

Trong hình học Euclide, hai đường thẳng được gọi là đồng quy khi chúng cùng nằm trên một mặt phẳng và không có điểm chung. Trong trường hợp này, chúng được gọi là không cắt nhau, không giao nhau, hoặc không tiếp xúc nhau.

Hai đường thẳng bất kỳ trong hình học phẳng Euclide chỉ có thể thuộc vào 3 trường hợp:

• trùng nhau
• cắt nhau tại ít nhất một điểm nào đó
• đồng quy với nhau

Quan hệ tương đương

Nếu chấp nhận những đường thẳng trùng nhau là đồng quy với nhau, ta thấy mối quan hệ đồng quy mang các tính chất sau:

• phản chiếu: một đường thẳng là đồng quy với chính nó,
• đối xứng: Nếu một đường thẳng (d) đồng quy với đường thẳng (d') thì (d') cũng đồng quy với (d),
• phép biến đổi bắc cầu: Nếu một đường thẳng (d) đồng quy với đường thẳng (d') và nếu (d') đồng quy với (d') thì (d) cũng đồng quy với (d').

Do đó, ta có kết luận: mối quan hệ đồng quy là một mối quan hệ tương đương.

Trong hình học phi Euclide

Mở rộng ra trên hình học phi Euclide, khái niệm đường thẳng được thay thế bằng khái niệm đường trắc địa. Hai đường trắc địa trong hình học phi Euclide chỉ có thể thuộc vào 3 trường hợp:

• cắt nhau tại ít nhất một điểm xác định nào đó
• đồng quy: cắt nhau tại một điểm ở vô cực (có điểm chung ở vô cực)
• siêu đồng quy: không bao giờ cắt nhau (không bao giờ có điểm chung)

Biểu tượng

Biểu tượng để chỉ sự đồng quy là //. Ví dụ, nếu viết AB//CD, có nghĩa là đường thẳng AB đồng quy với đường thẳng CD.

Trong bộ mã Unicode, các biểu tượng đồng quy và không đồng quy có mã lần lượt là U+2225 (∥) và U+2226 (∦). Chúng thuộc phạm vi Toán học Operators.

Khái niệm ban đầu của Euclide về đường thẳng đồng quy

Qua 1 điểm nằm ngoài một đường thẳng, chỉ có duy nhất một đường thẳng đồng quy với đường thẳng đã cho.

Điều kiện để 2 đường thẳng đồng quy trong mặt phẳng

Hai đường thẳng được gọi là đồng quy khi có một đường thẳng thứ ba cắt hai đường thẳng trên và tạo với hai đường thẳng đó:

• Hai góc so le trong bằng nhau
• Hai góc đồng vị bằng nhau
• Hai góc trong cùng phía bù nhau
• Hai góc ngoài cùng phía bù nhau
• Hai góc so le ngoài bằng nhau

Hai đường thẳng cùng vuông góc hoặc cùng đồng quy với đường thẳng thứ 3 thì 2 đường thẳng đó đồng quy với nhau.

Quan hệ đồng quy trong không gian

Tính chất của 2 đường thẳng đồng quy

Nếu hai đường thẳng đồng quy bị cắt bởi một đường thẳng thứ ba và có các cặp góc so le trong bằng nhau thì cặp góc so le trong còn lại cũng bằng nhau và các cặp góc so le ngoài cũng bằng nhau và các cặp góc đồng vị bằng nhau và các cặp trong cùng phía bù nhau và các cặp ngoài cùng phía bù nhau

Đường thẳng đồng quy với mặt phẳng

Nếu một đường thẳng không nằm trong mặt phẳng và đồng quy với một đường thẳng khác nằm trong mặt phẳng thì đường thẳng đó đồng quy với mặt phẳng

Qua một đường thẳng đồng quy với một mặt phẳng, giao tuyến của mặt phẳng đã cho với mọi mặt phẳng chứa đường thẳng đã cho sẽ đồng quy với đường thẳng đó

Nếu đường thẳng chạy song song với mặt phẳng, thì nó sẽ cũng chạy song song với ít nhất một đường thẳng khác trong mặt phẳng đó.

Đường thẳng chạy song song với giao tuyến của hai mặt phẳng nếu và chỉ nếu nó chạy song song với cả hai mặt phẳng đó.

Trong trường hợp có hai đường thẳng chéo nhau, chỉ có một mặt phẳng có thể chứa đồng thời cả hai đường thẳng đó và chạy song song với đường thẳng còn lại.

Hai mặt phẳng chạy song song nhau.

Nếu một mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau và cũng chạy song song với mặt phẳng khác thì hai mặt phẳng đó cũng chạy song song với nhau.

Một mặt phẳng chỉ đi qua một điểm nằm ngoài mặt phẳng đã cho và có cùng định hướng với nó.

Đi qua một đường thẳng song song với một mặt phẳng, chỉ có một mặt phẳng khác song song với mặt phẳng đã cho và chứa đường thẳng đó.

Nếu hai mặt phẳng đều song song với mặt phẳng thứ ba, chúng sẽ cùng song song với nhau.

Khi một mặt phẳng cắt đôi một mặt phẳng khác song song, sẽ tạo ra hai đường thẳng song song với nhau.

Mối quan hệ giữa tính vuông góc và tính song song của các đường thẳng.

Nếu một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì nó cũng vuông góc với đường thẳng còn lại.

• Kỹ thuật vuông góc
• Định lý của Thales

• Phan Đức Chính và các tác giả khác, Sách giáo khoa Toán lớp 7 tập 1, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam
• Trần Văn Hạo và các tác giả khác, Sách giáo khoa Hình học lớp 11, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam