Cung trong hình học

Buzz

Nội dung bài viết

Chiều dài của cung tròn

Đoạn cung parabol

Diện tích của hình quạt tròn

Diện tích của hình viên phân

Bán kính cung tròn

Ghi chú

Tài liệu tham khảo bên ngoài

Xem thêm

Đọc tóm tắt

- Hình quạt tròn màu xanh lá cây, được bao quanh bởi cung tròn với chiều dài L và hai bán kính.
- Cung tròn là phần của đường tròn hoặc chu vi của hình tròn.
- Chiều dài của cung tròn được tính bằng công thức θr.
- Cách tính độ dài của cung tròn thông qua góc tạo bởi hai đoạn thẳng từ hai đầu mút của cung đến tâm đường tròn.
- Đoạn cung parabol và cách tính độ dài của nó.
- Diện tích của hình quạt tròn và hình viên phân.
- Cách xác định bán kính của đường tròn từ chiều cao và chiều rộng của cung tròn.
- Các khái niệm khác như cung kinh tuyến, chu vi của đường tròn và đường dây xích.

Hình quạt tròn màu xanh lá cây, được bao quanh bởi một cung tròn với chiều dài L và hai bán kính.

Cung trong hình học (ký hiệu: ⌒) là đoạn đường cong liên tục nằm trong một đa tạp. Cung tròn là phần của đường tròn hoặc chu vi của hình tròn.

Trừ khi có chỉ định khác, cung trong bài viết này thường được hiểu là cung tròn, tức là quỹ tích các điểm thuộc đường tròn nằm giữa hai điểm đã cho.

Chiều dài của cung tròn

Chiều dài của một cung tròn trên đường tròn có bán kính $r$ , tạo ra góc ở trung tâm (được đo bằng radian), được tính theo công thức . Điều này xảy ra vì

\frac{L}{c h u v i} = \frac{θ}{2 π} .

tương đương

\frac{L}{2 π r} = \frac{θ}{2 π},

tương đương

L = θ r .

Nếu góc ở tâm là độ, thì số đo của góc này bằng radian sẽ được tính như sau:

θ = \frac{α}{180} π,

Thay vào công thức trên, ta có được biểu thức tương đương

L = \frac{α π r}{180} .

Một cách để tính độ dài của cung tròn là vẽ hai đoạn thẳng từ hai đầu mút của cung đến tâm của đường tròn, sau đó đo góc tạo bởi hai đoạn thẳng đó và áp dụng công thức để tính độ dài L:

\frac{α}{360} = \frac{L}{c h u v i}

Ví dụ: Nếu góc có số đo là và chu vi đường tròn là ,

\frac{60}{360} = \frac{L}{24}

360 L = 1440

L = 4

(c m) .

Đoạn cung parabol

Khi có một điểm X trên đường parabol (với tiêu cự $f,$ ) và khoảng cách vuông góc từ X đến trục đối xứng là $p$ , với giả định rằng $f$ và $p$ cùng đơn vị đo, và gọi $s$ là độ dài của đoạn cung từ X đến đỉnh parabol, thì $s$ được tính theo công thức dưới đây:

h = \frac{p}{2}

q = \sqrt{f^{2} + h^{2}}

s = \frac{h q}{f} + f \ln (\frac{h + q}{f})

Từ đó, ta có thể tính độ dài cung parabol giữa điểm X và điểm đối xứng của nó qua trục đối xứng của parabol là $2 s$ .

Khoảng cách vuông góc $p$ có thể là số âm hoặc dương, điều này cho biết điểm X nằm ở bên nào so với trục đối xứng. Nếu $h$ và $s$ cũng mang dấu, thì độ dài cung giữa hai điểm bất kỳ trên parabol luôn bằng hiệu giữa hai giá trị $s$ của chúng. Đơn giản hóa công thức bằng các thuộc tính của hàm lô-ga-rít, ta có:

s_{1} - s_{2} = \frac{h_{1} q_{1} - h_{2} q_{2}}{f} + f \ln (\frac{h_{1} + q_{1}}{h_{2} + q_{2}})

Công thức này có thể áp dụng khi tính toán kích thước vật liệu cho gương phản xạ parabol hoặc chảo gương parabol.

Phương pháp này có thể được áp dụng cho bất kỳ trường hợp parabol nào, không chỉ khi trục đối xứng của parabol song song với trục y.

Diện tích của hình quạt tròn

Diện tích khu vực được giới hạn bởi cung tròn và tâm đường tròn, tức là hình quạt tròn, được tính bằng:

S = \frac{1}{2} r^{2} θ .

Chia cả hai vế cho

Tỷ lệ giữa diện tích $S$ và tổng diện tích của đường tròn tương đương với tỷ lệ giữa số đo góc và số đo góc toàn bộ đường tròn

\frac{S}{π r^{2}} = \frac{θ}{2 π} .

Rút gọn $π$ ở cả hai bên

\frac{S}{r^{2}} = \frac{θ}{2} .

Nhân cả hai vế với , ta có

S = \frac{1}{2} r^{2} θ .

Tương tự như phần trước, công thức tương ứng khi góc được đo bằng độ là:

S = \frac{α}{360} π r^{2} .

Khi gọi l là độ dài của cung tròn có số đo góc , công thức trên sẽ trở thành

Diện tích của hình viên phân

Hình viên phân là phần diện tích được giới hạn bởi cung tròn và dây cung. Diện tích của hình viên phân này là:

\frac{1}{2} r^{2} (θ - \sin θ)

Để tính diện tích của hình viên phân, ta lấy diện tích của hình quạt tròn giới hạn bởi dây cung và hai bán kính, sau đó trừ đi diện tích của tam giác tạo bởi tâm đường tròn và hai đầu của dây cung.

Bán kính cung tròn

Có thể xác định bán kính $r$ của đường tròn khi biết chiều cao $H$ và chiều rộng $W$ của cung tròn bằng cách sử dụng định lý dây cung giao cắt (hay còn gọi là định lý cát tuyến tiếp tuyến).

Xem xét dây cung của một cung tròn, gọi là dây cung số 1. Đường trung trực của nó là dây cung khác và cũng là đường kính của hình tròn, gọi là dây cung số 2. Dây cung số 1 có độ dài là $W$ và được chia làm hai nửa bằng nhau bởi dây cung số 2; mỗi phần có độ dài là . Dây cung số 2 có độ dài $2 r$ và được dây cung số 1 chia thành hai phần: một phần là chiều cao của cung tròn, ký hiệu là $H$ ; phần còn lại có độ dài là . Áp dụng định lý dây cung giao cắt để giải.

H (2 r - H) = {(\frac{W}{2})}^{2}

Do đó, ta có:

2 r - H = \frac{W^{2}}{4 H}

Như vậy:

r = \frac{W^{2}}{8 H} + \frac{H}{2} .

Chiều dài của cung tròn
Cung kinh tuyến
Chu vi của đường tròn
Chu vi tổng thể
Đường dây xích, hình dạng tương tự

Ghi chú

Tài liệu tham khảo bên ngoài

English

Khái niệm và đặc điểm của cung tròn, kèm hoạt hình minh họa
Bán kính của cung tròn, kèm hoạt hình minh họa
Weisstein, Eric W., 'Arc' trong MathWorld.

Theovi.wikipedia.org

Copy link

Nội dung được phát triển bởi đội ngũ Mytour với mục đích chăm sóc khách hàng và chỉ dành cho khích lệ tinh thần trải nghiệm du lịch, chúng tôi không chịu trách nhiệm và không đưa ra lời khuyên cho mục đích khác.

Nếu bạn thấy bài viết này không phù hợp hoặc sai sót xin vui lòng liên hệ với chúng tôi qua email [email protected]