Đại số tuyến tính

Đại số tuyến tính là một phần của toán học tập trung vào các phương trình tuyến tính như: $a_1{x}_1+\cdots <!--\; \cdots \; -->+a_n{x}_n=b,$

các phép biến đổi tuyến tính như:

$(x_1,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n)\mapsto <!--\; \mapsto \; -->a_1{x}_1+\dots <!--\; \dots \; -->+a_n{x}_n,$

và cách thể hiện của chúng trong không gian vectơ cũng như qua các ma trận.

Đại số tuyến tính là nền tảng của nhiều lĩnh vực toán học. Ví dụ, nó là cơ sở cho các bài thuyết trình hiện đại về hình học, bao gồm việc xác định các yếu tố cơ bản như đường thẳng, mặt phẳng và phép quay. Hơn nữa, giải tích hàm, một nhánh của giải tích toán học, có thể coi là ứng dụng của đại số tuyến tính vào không gian của các hàm.

Đại số tuyến tính có ứng dụng rộng rãi trong hầu hết các lĩnh vực khoa học và kỹ thuật, vì nó giúp mô hình hóa nhiều hiện tượng tự nhiên và tính toán hiệu quả với các mô hình như vậy. Đối với các hệ thống phi tuyến không thể mô hình hóa bằng đại số tuyến tính, nó thường được dùng để xử lý các phép xấp xỉ bậc nhất, do vi phân của một hàm đa biến tại một điểm là ánh xạ tuyến tính gần đúng nhất của hàm gần điểm đó.

Đại số tuyến tính được áp dụng nhiều trong toán học, chẳng hạn như trong đại số đại cương, giải tích hàm, và hình học giải tích... để giải quyết các bài toán như phép quay trong không gian, nội suy bình phương nhỏ nhất, nghiệm của hệ phương trình vi phân, tìm đường tròn đi qua ba điểm... Nó cũng có vô số ứng dụng trong khoa học tự nhiên (như vật lý, công nghệ) và khoa học xã hội (như kinh tế), vì các mô hình phi tuyến tính thường gặp trong tự nhiên và xã hội có thể được xấp xỉ bằng các mô hình tuyến tính.

Lịch sử

Phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính đồng thời, hiện được gọi là phép khử Gauss, đã xuất hiện trong văn bản toán học cổ đại Trung Quốc, cụ thể là Chương 8: Mảng chữ nhật trong Cửu chương toán thuật. Phương pháp này được minh họa qua 18 bài toán, với số lượng phương trình từ 2 đến 5.

Khái niệm về hệ phương trình tuyến tính được phát triển ở châu Âu vào năm 1637 cùng với sự ra đời của hệ tọa độ trong hình học do René Descartes đề xuất. Trong hình học mới này, hiện được gọi là hình học Descartes, các đường thẳng và mặt phẳng được mô tả bằng các phương trình tuyến tính, và việc tính toán các giao điểm của chúng trở thành bài toán giải hệ phương trình tuyến tính.

Các phương pháp đầu tiên để giải hệ thống tuyến tính bằng định thức được Leibniz nghiên cứu vào năm 1693. Đến năm 1750, Gabriel Cramer đã áp dụng phương pháp này để đưa ra các giải pháp rõ ràng cho hệ thống tuyến tính, gọi là quy tắc Cramer. Gauss sau đó đã mô tả thêm phương pháp loại trừ, được xem là một tiến bộ quan trọng trong ngành trắc địa lúc bấy giờ.

Năm 1844, Hermann Grassmann công bố tác phẩm 'Lý thuyết mở rộng' chứa các chủ đề mới cơ bản về đại số tuyến tính. Đến năm 1848, James Joseph Sylvester đã giới thiệu thuật ngữ ma trận.

Đại số tuyến tính tiếp tục phát triển với những ý tưởng ghi nhận trong mặt phẳng phức. Ví dụ, hai số $w$ và $z$ trong $C$ có sự khác biệt $w-<!--\; -\; -->z$, và các đoạn thẳng $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{wz}$ và $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{0(w-<!--\; -\; -->z)}$ có cùng chiều dài và hướng. Các đoạn này là tương đương với nhau. Hệ thống bốn chiều $H$ của các quaternion bắt đầu được phát triển từ năm 1843. Thuật ngữ vectơ được giới thiệu để chỉ một điểm trong không gian và chênh lệch bậc bốn $p-<!--\; -\; -->q$ cũng tạo ra đoạn tương đương với $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{pq}.$. Các hệ thống số siêu phức khác cũng sử dụng ý tưởng về một không gian tuyến tính có cơ sở.

Arthur Cayley đã giới thiệu phép nhân ma trận và ma trận nghịch đảo vào năm 1856, làm cho nhóm tuyến tính tổng quát trở nên khả thi. Ông đã sử dụng một ký hiệu duy nhất để đại diện cho ma trận, xem ma trận như một đối tượng tổng hợp. Cayley cũng phát hiện mối liên hệ giữa ma trận và định thức, và cho rằng lý thuyết ma trận có vẻ như đã xuất hiện trước lý thuyết định thức.

Benjamin Peirce đã công bố tác phẩm Đại số liên kết tuyến tính vào năm 1872, và sau đó, con trai của ông, Charles Sanders Peirce, đã mở rộng công trình này.

Sự phát triển của điện báo đòi hỏi một hệ thống vật lý để giải thích nó, và vào năm 1873, ấn phẩm có tên Một luận thuyết về điện và từ trường đã thiết lập lý thuyết trường cho lực và yêu cầu hình học vi phân để biểu thị. Đại số tuyến tính được coi là hình học vi phân phẳng, áp dụng cho không gian tiếp tuyến với đa tạp. Đối xứng điện từ của không thời gian được mô tả bằng các phép biến đổi Lorentz, và lịch sử của đại số tuyến tính phần lớn gắn liền với các phép biến đổi Lorentz.

Định nghĩa hiện đại và chính xác hơn về không gian vectơ lần đầu tiên được Peano đưa ra vào năm 1888. Đến năm 1900, lý thuyết về các phép biến đổi tuyến tính trong không gian vectơ hữu hạn chiều đã xuất hiện. Đại số tuyến tính trở nên hiện đại vào giữa thế kỷ XX, khi nhiều ý tưởng và phương pháp của các thế kỷ trước được tổng hợp thành đại số trừu tượng. Sự phát triển của máy tính đã thúc đẩy nghiên cứu các thuật toán hiệu quả cho phép loại bỏ Gaussian và phân rã ma trận, làm cho đại số tuyến tính trở thành công cụ thiết yếu trong mô hình hóa và mô phỏng.

Phạm vi nghiên cứu

Không gian vector

Cấu trúc cơ bản của đại số tuyến tính là các không gian vector. Một không gian vector trên trường số $F$ bao gồm một tập hợp $V$ cùng với hai phép toán. Các phần tử trong $V$ được gọi là các vector, còn các phần tử trong $F$ gọi là vô hướng. Phép toán đầu tiên là phép cộng vector, với hai vector $v$ và $w$ cộng lại sẽ tạo ra một vector thứ ba là $v+w$. Phép toán thứ hai là phép nhân một vô hướng $a$ với bất kỳ vector $v$ nào, cho ra một vector mới $av$, gọi là phép nhân vô hướng của $v$ với $a$. Các phép toán nhân và cộng trong không gian vector phải tuân theo 8 tiên đề sau, với $u$, $v$ và $w$ là các vector trong tập $V$. $a$ và $b$ là các vô hướng trong trường số $F$.

Ánh xạ tuyến tính

Xét hai không gian vector $V$ và $W$ trên một trường $F$, một biến đổi tuyến tính (hay ánh xạ tuyến tính) là một phép ánh xạ:

$T:V\to <!--\; \to \; -->W$

bảo toàn các phép cộng và nhân vô hướng:

$T(u+v)=T\left(u\right)+T\left(v\right),T\left(av\right)=aT\left(v\right)$

đối với mọi vector $u,v\in <!--\; \in \; -->V$ và mọi vô hướng $a\in <!--\; \in \; -->F$.

Các chủ đề chính

• Định thức
• Độc lập tuyến tính
• Hệ phương trình tuyến tính
• Lý thuyết Lie
• Ma trận
• Vĩnh thức

Giới thiệu tổng quan

Tại các trường đại học, đại số tuyến tính thường bắt đầu bằng việc nghiên cứu các vectơ trong hệ tọa độ Descartes với 2 hoặc 3 chiều. Vectơ là những đoạn thẳng có hướng và độ dài. Những kết quả từ không gian 2 hoặc 3 chiều có thể được mở rộng cho nhiều chiều hơn, tổng quát được gọi là không gian vectơ.

Không gian vectơ là một khái niệm trừu tượng trong đại số, được định nghĩa trên một trường toán học, thường là trường số thực hoặc trường số phức trong ứng dụng.

Biến đổi tuyến tính chuyển các phần tử từ một không gian vectơ này sang một không gian vectơ khác, đồng thời tuân thủ các phép cộng và nhân vô hướng. Tập hợp tất cả các biến đổi này cũng tạo thành một không gian vectơ riêng của chúng.

Khi hệ cơ sở của một không gian vectơ được cố định, mọi biến đổi tuyến tính có thể được biểu diễn dưới dạng ma trận. Nghiên cứu các tính chất của ma trận, như định thức và vectơ riêng, là một phần quan trọng trong đại số tuyến tính.

Đại số tuyến tính là công cụ mạnh mẽ giúp giải quyết chính xác hoặc gần đúng nhiều bài toán, bao gồm cả các bài toán không tuyến tính. Điều này khả thi nhờ vào việc sử dụng vi giải tích để biến các hàm không tuyến tính thành gần đúng tuyến tính gần các điểm quan tâm. Phương pháp này rất phổ biến trong toán học ứng dụng cho khoa học và kỹ thuật.

Các định lý quan trọng

• Mỗi không gian véc tơ đều có một hệ cơ sở riêng.
• Ma trận $A$ vuông kích thước $n$ được gọi là khả nghịch nếu tồn tại một ma trận vuông $B$ kích thước $n$ sao cho $AB=BA=I$ với $I$ là ma trận đơn vị cùng kích thước với $A$.
• Với một ma trận $A$ vuông kích thước $n$, các mệnh đề sau đây là tương đương (tức là đều đúng hoặc đều sai)

1. $A$ khả nghịch
2. $det\left(A\right)\ne <!--\; \ne \; -->0$.
3. $\text{rank}A=n$.
4. $\text{null}A=0$.
5. $A$ không có giá trị riêng bằng $0$.
6. Với mọi $b$, phương trình $Ax=b$ có duy nhất một nghiệm $x$.
7. $A^{T}A$ là khả nghịch.
8. Các hàng (hoặc cột) của $A$ tạo thành các vectơ độc lập tuyến tính trong không gian vectơ của $A$.

Ghi chú

Ghi chú

• Vectơ
• Ma trận
• Định thức
• Biến đổi tuyến tính
• Đại số trừu tượng
• Quy hoạch tuyến tính

• Tài liệu liên quan đến Đại số tuyến tính trên Wikimedia Commons
• Gilbert Strang, Đại số tuyến tính và Ứng dụng (Ấn bản lần thứ 4), 2006
• Sudipto Banerjee; Anindya Roy, Đại số tuyến tính và Phân tích ma trận trong Thống kê (Chapman & Hall/CRC Texts in Statistical Science), 2014
• Hermann Grassmann, Luận lý mở rộng tuyến tính và ứng dụng cho các lĩnh vực toán học khác như cơ học, từ tính và tinh thể học, 1844.