Đại số

Đại số (tiếng Anh: algebra) là một phân nhánh lớn của toán học, cùng với lý thuyết số, hình học và giải tích. Đại số là việc nghiên cứu về ký hiệu toán học và các quy tắc cho các thao tác các ký hiệu trên; nó là một chủ đề thống nhất của hầu hết tất cả lĩnh vực của toán học. Đại số bao gồm từ Giải phương trình cấp tiểu học cho đến các nghiên cứu trừu tượng như nhóm, vành và trường. Phần cơ bản hơn của đại số được gọi là đại số sơ cấp, phần trừu tượng hơn của nó được gọi là đại số trừu tượng hoặc đại số hiện đại. Đại số sơ cấp thường được coi là cần thiết cho bất kỳ nghiên cứu toán học, khoa học, hoặc kỹ thuật nào, cũng như các ứng dụng khác như các ngành y học và kinh tế. Đại số trừu tượng là một lĩnh vực quan trọng trong Toán học tiên tiến, là đối tượng nghiên cứu chủ yếu của các nhà toán học chuyên nghiệp. Các thành tựu đầu tiên của môn đại số có nguồn gốc từ tiếng Ả Rập và đã được các nhà toán học Ba Tư nghiên cứu tại Trung Đông như Al-Khwārizmī (780–850) và Omar Khayyam (1048–1131).

Đại số sơ cấp khác với số học trong việc sử dụng các khái niệm trừu tượng, chẳng hạn như sử dụng chữ cái để thay cho con số hoặc là không biết hoặc cho phép nhiều giá trị. Ví dụ, trong phương trình x + 2 = 5, chữ cái x là không biết, nhưng luật nghịch đảo có thể được sử dụng để tìm ra giá trị của nó: x = 3 (vì 5 - 2 = 3). Trong biểu thức E = mc^2, các chữ cái E và m là các biến số, còn chữ cái c là một hằng số, tốc độ ánh sáng trong chân không. Đại số cung cấp phương pháp để giải quyết các phương trình và biểu thị công thức một cách dễ dàng hơn (đối với những người biết cách sử dụng chúng) so với cách truyền thống sử dụng ngôn ngữ để miêu tả tất cả mọi thứ.

Thuật ngữ đại số cũng được dùng trong các lĩnh vực chuyên môn cụ thể. Các phân nhánh của toán học trừu tượng trong đại số được gọi là 'đại số', và thuật ngữ này được sử dụng trong các cụm từ như đại số tuyến tính và tô pô đại số.

Thuật ngữ gốc

'Đại số' là một thuật ngữ Hán-Việt (代數), chỉ đề cập đến việc sử dụng ký hiệu để biểu diễn các con số. Thuật ngữ này được dịch từ khái niệm phương Tây bởi nhà toán học Trung Quốc Lý Thiện Lan (李善蘭). Trong các ngôn ngữ phương Tây, thuật ngữ đại số (algebra) bắt nguồn từ tiếng Ả Rập الجبر (al-jabr, có nghĩa là phục hồi). Nó được lấy từ tựa đề quyển sách Ilm al-jabr wa'l-muḳābala của al-Khwarizmi.

Đại số như một lĩnh vực con của toán học

Đại số bắt đầu với các tính toán tương tự như số học, thay vì sử dụng chữ cái thay thế cho các con số. Điều này cho phép chứng minh các định lý hay công thức là chính xác mà không cần phải quan tâm đến các số liên quan. Ví dụ, trong phương trình bậc hai

$a{x}^2+bx+c=0$

$a,b,c$ có thể là bất kỳ số nào (ngoại trừ $a$ phải khác $0$), và công thức giải phương trình bậc hai có thể được sử dụng nhanh chóng và dễ dàng tìm thấy những giá trị của biến số $x$.

Trong quá trình phát triển, đại số đã được mở rộng đến các đối tượng không phải số khác, chẳng hạn như vectơ, ma trận và đa thức. Sau đó, các thuộc tính cấu trúc của các đối tượng không phải số này được tóm tắt để xác định các cấu trúc đại số như nhóm, vành và trường.

Trước thế kỷ 16, toán học được chia thành hai lĩnh vực số học và hình học. Mặc dù một số phương pháp đã được phát triển từ trước, có thể được coi là đại số, nhưng sự xuất hiện của đại số, và không lâu sau đó, các phép vi phân và tích phân như một lĩnh vực của toán học chỉ có từ thế kỷ 16 hoặc 17. Từ nửa sau của thế kỷ 19 trở đi, nhiều lĩnh vực mới của toán học xuất hiện, hầu hết trong số đó đã sử dụng cả số học và hình học, và gần như tất cả trong số đó đều sử dụng đại số.

Ngày nay, đại số đã phát triển đến khi nó đã bao gồm nhiều ngành của toán học, như có thể thấy trong Phân loại Chủ đề Toán học nơi không có lĩnh vực nào trong số các lĩnh vực mức độ đầu tiên (với hai chữ số) được gọi là đại số. Ngày nay đại số bao gồm các phần 08 – Hệ thống đại số chung, 12 – Lý thuyết trường và đa thức, 13 – Đại số giao hoán, 15 – Đại số tuyến tính và đại số đa tuyến; Lý thuyết ma trận, 16 – Vành kết hợp và đại số, 17 – Vành không kết hợp và đại số, 18 – Lý thuyết thể loại; đại số đồng điều, 19 – Thuyết K và 20 – Lý thuyết nhóm. Đại số cũng được sử dụng rộng rãi trong 11 – Lý thuyết số và 14 – Hình học đại số.

Lịch sử

Lịch sử ban đầu của đại số

Cội nguồn của đại số có nguồn gốc từ người Babylon cổ đại, vốn đã phát triển một hệ thống số học tiên tiến mà họ đã có thể làm các phép tính theo phong cách thuật toán. Người Babylon đã phát triển các công thức để tính toán các lời giải cho các bài toán mà ngày nay thường được giải quyết bằng cách sử dụng phương trình tuyến tính, phương trình bậc hai, và phương trình tuyến tính không xác định. Ngược lại, hầu hết người Ai Cập của thời đại này, cũng như các nhà toán học Hy Lạp và Trung Quốc trong thiên niên kỷ 1 TCN, thường giải các phương trình như vậy bằng phương pháp hình học, chẳng hạn như những mô tả trong sách toán viết trên giấy lau sậy Rhind, Cơ sở của Euclid và Cửu chương toán thuật. Lời giải bằng hình học của người Hy Lạp, tiêu biểu trong cuốn Cơ sở, cung cấp một khuôn khổ cho việc khái quát công thức không chỉ dành cho lời giải của các bài toán cụ thể mà còn đưa chúng vào một hệ thống chung hơn để mô tả và giải phương trình, mặc dù điều này sẽ không được thực hiện cho đến khi toán học phát triển trong Hồi giáo thời kỳ Trung Cổ.

Đến thời của Plato, toán học Hy Lạp đã trải qua một sự thay đổi mạnh mẽ. Người Hy Lạp cổ đại tạo ra một dạng đại số hình học, trong đó các từ ngữ được đại diện bằng các bên của các đối tượng hình học, thường là các dòng kẻ với các chữ cái liên kết ở bên cạnh. Diophantus (thế kỷ 3) là một nhà toán học Hy Lạp ở Alexandria và là tác giả của một loạt các cuốn sách có tên Arithmetica. Những cuốn sách này tập trung vào việc giải quyết phương trình đại số, và đã đưa lý thuyết số đến với phương trình Diophantos.

Các phương pháp đại số hình học đã thảo luận ở trên có ảnh hưởng trực tiếp đến nhà toán học người Ba Tư Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī (khoảng 780 – 850). Ông sau đó đã viết cuốn sách Cách tính toán dựa trên khôi phục và cân bằng. Cuốn sách này đã chính thức đưa đại số thành một phân nhánh độc lập của toán học, tách rời đại số khỏi hình học và số học.

Các nhà toán học thời Hellenistic Hero của Alexandria và Diophantus cũng như các nhà toán học Ấn Độ như Brahmagupta tiếp tục truyền thống của Ai Cập và Babylon, mặc dù tác phẩm của Arithmetica của Diophantus và tác phẩm Brāhmasphuṭasiddhānta của Brahmagupta ở đẳng cấp cao hơn. Ví dụ, giải pháp số học đầy đủ đầu tiên (bao gồm cả các nghiệm là số không và số âm) của phương trình bậc hai được Brahmagupta mô tả trong cuốn sách Brahmasphutasiddhanta. Sau đó, các nhà toán học Ba Tư và Ả Rập phát triển phương pháp đại số ở một mức độ tinh tế cao hơn nhiều. Mặc dù Diophantus và người Babylon sử dụng phương pháp tại chỗ đặc biệt để giải quyết các phương trình, đóng góp của Al-Khwarizmi là cơ bản. Ông đã giải quyết phương trình tuyến tính và phương trình bậc hai mà không dùng biểu tượng đại số, số âm hoặc số không, do đó ông đã phải tách biệt phương trình bậc hai tổng quát thành một số loại phương trình khác nhau.

Trong bối cảnh đại số được xác định với các lý thuyết của phương trình, nhà toán học người Hy Lạp Diophantus được biết đến như là 'cha đẻ của đại số' nhưng trong thời gian gần đây có nhiều cuộc tranh luận về việc liệu al-Khwarizmi, người sáng lập ra phép biến đổi al-jabr (khôi phục), xứng đáng hơn với danh hiệu trên. Những người ủng hộ Diophantus chỉ ra thực tế là các phép biến đổi đại số trong Al-Jabr có phần sơ cấp hơn khi so sánh với các phép biến đổi đại số trong Arithmetica và Arithmetica ngắn gọn hơn trong khi Al-Jabr hoàn toàn dùng ngôn ngữ thường. Những người ủng hộ Al-Khwarizmi chỉ ra thực tế là ông đã giới thiệu phương pháp 'giảm' và 'cân bằng' (bỏ đi hoặc trừ đi cả hai vế của phương trình cho cùng một số), từ đó có thuật ngữ al-jabr, và ông đã giải thích đầy đủ về cách giải phương trình bậc hai, kèm theo là các chứng minh bằng hình học, trong khi coi đại số là một ngành độc lập của riêng nó. Đại số của ông cũng đã không còn liên quan 'với một loạt các bài toán cần được giải quyết, mà đã trở thành một cuộc triển lãm bắt đầu với các khái niệm nguyên thủy, trong đó các trường hợp đưa ra phải bao gồm tất cả khả năng có thể cho phương trình, điều này đã chỉ rõ đối tượng thực sự của việc nghiên cứu'. Ông cũng nghiên cứu phương trình không phụ thuộc vào bài toán và 'một cách chung chung, phương trình không chỉ đơn giản là xuất hiện trong quá trình giải quyết một bài toán, nhưng nó được tạo ra để giải quyết vô số bài toán cùng loại'.

Một nhà toán học người Ba Tư khác là Omar Khayyám đã được ghi công với việc xác định các nền tảng của hình học đại số và tìm thấy cách giải bằng phương pháp hình học tổng quát của phương trình bậc ba. Tuy nhiên, một nhà toán học người Ba Tư khác tên Sharaf al-Dīn al-Tusi, tìm thấy cách giải đại số và số học cho hàng loạt trường hợp khác nhau của phương trình bậc ba. Ông cũng phát triển các khái niệm về hàm số. Các nhà toán học Ấn Độ Mahavira và Bhaskara II, nhà toán học Ba Tư Al-Karaji, và nhà toán học Trung Quốc Chu Thế Kiệt giải quyết một số phương trình bậc ba, bốn, năm và bậc cao hơn sử dụng các phương pháp số. Trong thế kỷ 13, cách giải một phương trình bậc ba của Fibonacci là đại diện cho khởi đầu của hồi sinh trong nghiên cứu đại số ở châu Âu. Khi thế giới Hồi giáo dần suy tàn, thế giới châu Âu dần phát triển. Và từ đó đại số đã phát triển hơn nữa.

Lịch sử đại số hiện đại

François Viète là người đã đưa ra các nghiên cứu tiên tiến về đại số vào cuối thế kỷ 16. Năm 1637, René Descartes xuất bản cuốn sách La Géométrie, khám phá ra hình học phân tích và giới thiệu ký hiệu đại số hiện đại. Các sự kiện quan trọng như giải phương trình bậc ba và bậc bốn chung, phát triển vào giữa thế kỷ 16, đã đánh dấu sự phát triển của đại số. Ý tưởng về định thức đã được nhà toán học Nhật Bản Seki Kōwa phát triển vào thế kỷ 17, cùng với nghiên cứu độc lập của Gottfried Leibniz 10 năm sau đó để giải quyết hệ phương trình tuyến tính bằng ma trận. Gabriel Cramer cũng đã nghiên cứu về ma trận và định thức trong thế kỷ 18. Hoán vị đã được Joseph-Louis Lagrange phân tích trong luận văn năm 1770 Réflexions sur la résolution algébrique des équations, tập trung vào các giải pháp của phương trình đại số, và ông giới thiệu đa thức giảm bậc Lagrange. Paolo Ruffini là người đầu tiên phát triển lý thuyết về nhóm hoán vị, tập trung vào việc giải quyết phương trình đại số.

Đại số trừu tượng đã được phát triển trong thế kỷ 19, bắt đầu từ sự quan tâm đến việc giải quyết các phương trình, đặc biệt là lý thuyết Galois và các vấn đề xây dựng số. George Peacock là người sáng lập tư duy tiên đề trong số học và đại số. Augustus De Morgan phát triển đại số quan hệ trong cuốn sách Syllabus of a Proposed System of Logic. Josiah Willard Gibbs phát triển đại số của các vectơ trong không gian ba chiều, và Arthur Cayley phát triển đại số của ma trận (một loại đại số không giao hoán).

Các lĩnh vực toán học có tên gắn với đại số

Một số lĩnh vực toán học trừu tượng có tên gắn với đại số, ví dụ như đại số tuyến tính. Một số lĩnh vực khác không có tên gọi liên quan đến đại số, chẳng hạn như lý thuyết nhóm, lý thuyết vòng và lý thuyết trường. Phần này sẽ liệt kê một số lĩnh vực toán học với từ 'đại số' trong tên.

Đại số sơ cấp là một phần quan trọng của toán học được giảng dạy trong các khóa học cơ bản.

Đại số trừu tượng, nơi mà các cấu trúc như nhóm, vành và trường được định nghĩa và nghiên cứu.

Đại số tuyến tính nghiên cứu tính chất của phương trình tuyến tính, không gian vectơ và ma trận.

Đại số giao hoán, nghiên cứu về các vành giao hoán.

Đại số sơ cấp là hình thức cơ bản nhất của đại số, được dạy cho những học sinh chưa có kiến thức về toán học ngoài các nguyên tắc cơ bản của số học.

Trong đại số, chỉ số và phép toán số học như cộng, trừ, nhân, chia được áp dụng. Nó cho phép viết các định luật chung của số học và nghiên cứu các thuộc tính của hệ thống số thực một cách hệ thống.

Đa thức là một biểu thức gồm tổng của các đơn thức khác nhau, mỗi đơn thức bao gồm tích của một hằng số và một số biến số với số mũ là số nguyên. Ví dụ, x + 2x − 3 là một đa thức của biến số x.

Một đa thức là một biểu thức gồm tổng của các đơn thức khác không, mỗi đơn thức bao gồm tích của một hằng số và một số biến số với số mũ là số nguyên. Ví dụ, x + 2x − 3 là một đa thức của biến số x.

Hai vấn đề quan trọng trong đại số là phân tích đa thức thành các nhân tử, tức là biểu diễn một đa thức dưới dạng tích của các đa thức khác mà không thể phân rã thêm, và tính toán các ước chung lớn nhất của đa thức. Ví dụ, một đa thức có thể được viết dưới dạng nhân tử như (x − 1)(x + 3). Các bài toán liên quan thường bao gồm tìm nghiệm số của đa thức một biến số bằng phương pháp căn thức.

Giáo dục

Môn đại số sơ cấp thường được khuyến khích dạy từ độ tuổi 11, mặc dù trong vài năm gần đây, nó đã được đưa vào chương trình giảng dạy tại cấp lớp 8 (khoảng 13 tuổi) ở Mỹ.

Tại Việt Nam, môn đại số được giảng dạy như một phần của môn Toán trong các lớp 7, 8, 9 (tương đương 12, 13, 14 tuổi), và được chính thức đưa vào chương trình dạy cùng với môn Hình học từ lớp 10 (15 tuổi).

Đại số trừu tượng

Đại số trừu tượng mở rộng các khái niệm quen thuộc trong đại số sơ cấp và số học sang những khái niệm tổng quát hơn. Dưới đây là danh sách các khái niệm cơ bản trong đại số trừu tượng.

Tập hợp: Thay vì chỉ xem xét các loại số khác nhau, đại số trừu tượng làm việc với các khái niệm tổng quát hơn - tập hợp: một tập hợp của tất cả các đối tượng (gọi là phần tử) được lựa chọn theo một đặc tính nào đó. Tất cả các nhóm các loại số quen thuộc đều là các tập hợp. Ví dụ khác về tập hợp bao gồm tập hợp của tất cả các ma trận hai-nhân-hai, tập hợp tất cả các đa thức bậc hai (ax + bx + c), tập hợp của tất cả các vectơ hai chiều trong một mặt phẳng, và hàng loạt nhóm hữu hạn như các nhóm cyclic, đó là nhóm các số nguyên đồng dư modulo n. Lý thuyết tập hợp là một nhánh của logic và về mặt lý thuyết không phải là một nhánh của đại số.

Phép toán hai ngôi: Dấu của phép cộng (+) được trừu tượng hóa để dùng cho phép toán hai ngôi, chẳng hạn phép ∗. Các khái niệm về phép toán hai ngôi là vô nghĩa nếu tập hợp mà trên đó các phép toán trên được định nghĩa. Đối với hai phần tử a và b trong một tập S, a ∗ b cũng là một phần tử của S; điều kiện này được gọi là tính đóng của tập hợp đối với phép toán. Phép cộng (+), phép trừ (−), phép nhân (×, ·), và phép chia (÷, /, :) có thể là phép toán hai ngôi khi xác định trên các tập hợp khác nhau, cũng như phép cộng và phép nhân các ma trận, vectơ và đa thức.

Phần tử đơn vị: Những con số 0 và 1 được trừu tượng hóa để tạo ra khái niệm về một phần tử đơn vị cho một phép toán. 0 là phần tử đơn vị cho phép cộng và 1 là phần tử đơn vị cho phép nhân. Đối với một phép toán hai ngôi ∗ phần tử đơn vị e phải thỏa mãn a ∗

Phần tử nghịch đảo: Các số âm đã đưa ra khái niệm các phần tử nghịch đảo. Đối với phép cộng, phần tử nghịch đảo của a được viết là -a, và cho phép nhân phần tử này được viết là a. Một yếu tố đảo ngược tổng quát a thỏa mãn thuộc tính: a * a = e và a * a = e, trong đó e là phần tử đơn vị.

Tính kết hợp: Phép cộng các số nguyên có tính chất được gọi là kết hợp. Điều này có nghĩa là nhóm các số để thực hiện phép cộng không ảnh hưởng đến tổng. Ví dụ: (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4). Nói chung, tính chất này trở thành (a * b) * c = a * (b * c). Điều này đúng với hầu hết các phép toán nhị phân, trừ phép trừ hoặc chia hoặc nhân octonon.

Tính giao hoán: Phép cộng và phép nhân của số thực đều là tính giao hoán. Điều này nghĩa là thứ tự của các số không ảnh hưởng đến kết quả. Ví dụ: 2 + 3 = 3 + 2. Nói chung, tính chất này trở thành a * b = b * a. Tính chất này không đúng với tất cả các phép toán nhị phân. Ví dụ, phép nhân ma trận và phép chia bậc bốn không giao hoán.

Nhóm

Kết hợp các khái niệm trên để tạo ra một trong những cấu trúc quan trọng nhất trong toán học: nhóm. Một nhóm là sự kết hợp của một tập hợp S và một phép toán nhị phân duy nhất, được xác định theo bất kỳ cách bạn chọn, với các tính chất sau:

• Một phần tử đơn vị e tồn tại, sao cho mỗi thành viên a thuộc S, e ∗ a và a ∗ e đều bằng a.
• Mỗi phần tử đều có phần tử nghịch đảo: đối với mỗi thành viên a thuộc S, tồn tại một thành viên a sao cho a ∗ a và a ∗ a đều bằng phần tử đơn vị e.
• Phép toán có tính kết hợp: nếu a, b và c là các thành viên của S, thì (a ∗ b) ∗ c bằng a ∗ (b ∗ c).

Nếu một nhóm cũng có tính giao hoán - tức là, với bất kỳ hai thành viên a và b của S, a * b bằng b * a - thì nhóm được gọi là nhóm giao hoán hoặc nhóm Abel.

Vành và trường

Các chủ đề chính

Dưới đây là một số chủ đề chính của đại số:

• Các bất biến đại số
• Các đa thức
• Các đại số mang tên người
• Các đẳng thức đại số
• Các đường cong đại số
• Các đường cong elíp
• Các nhân thức
• Các nhóm sóng
• Các phép biến đổi đại số
• Các phương trình đại số
• Các tính chất đại số
• Các tổng đại số
• Cyclotomy
• Dạng bình phương
• Đại số đồng điều
• Đại số không giao hoán
• Đại số phổ dụng
• Đại số tuyến tính
• Đại số tổng quát
• Đại số véc-tơ
• Đại số vô hướng
• Hình học đại số
• Lý thuyết giá trị
• Lý thuyết mã hoá
• Lý thuyết nhóm
• Lý thuyết nửa nhóm
• Lý thuyết số
• Lý thuyết trường đại số
• Lý thuyết vành

Phương trình đại số

• Phương trình tuyến tính
• Phương trình bậc hai
• Phương trình bậc ba
• Phương trình lũy thừa
• Phương trình đạo hàm

Linh tinh

Từ đại số cũng được sử dụng cho các cấu trúc đại số khác:

• Đại số trên trường (K-algebra)
• Đại số trên tập hợp
• Đại số Bool
• Đại số sigma (σ-algebra)

• Hệ thống đại số của máy tính
• Diophantus, 'người được biết đến như là cha đẻ của đại số'
• Mohammed al-Khwarizmi, được biết đến như là 'người cha đẻ của đại số'. [1]

Sách tham khảo

• Boyer, Carl B. (1991), Lịch sử toán học , John Wiley & Sons, Inc., ISBN 0-471-54397-7
• Donald R. Hill, Khoa học và kỹ thuật Hồi giáo (Nhà xuất bản Đại học Edinburgh, 1994).
• Ziauddin Sardar, Jerry Ravetz, và Borin Van Loon, Giới thiệu toán học (Nhà xuất bản Totem, 1999).
• George Gheverghese Joseph, Đỉnh cao của con công: Những nguồn gốc toán học không phải châu Âu (Nhà xuất bản Penguin, 2000).
• John J O'Connor và Edmund F Robertson, Chủ đề Lịch sử: Chỉ số Đại số. Trong Bộ sưu tập Lịch sử Toán học MacTutor (Đại học St Andrews, 2005).
• I.N. Herstein: Chủ đề về Đại số. ISBN 0-471-02371-X
• R.B.J.T. Allenby: Vòng, Trường và Nhóm. ISBN 0-340-54440-6
• L. Euler: Các yếu tố của Đại số Lưu trữ 2011-04-13 tại Wayback Machine, ISBN 978-1-899618-73-6
• Asimov, Isaac (1961). Vương quốc của Đại số. Houghton Mifflin.

Liên kết ngoài

Tiếng Anh

• Khan Academy: Video về các khái niệm và ví dụ thực hành
• Khan Academy: Nguyên thủy của Đại số, các bài giảng siêu nhỏ miễn phí trực tuyến Lưu trữ 2013-05-09 tại Wayback Machine
• Algebrarules.com: Một nguồn tài nguyên mã nguồn mở để học các nguyên tắc cơ bản của Đại số
• 4000 Năm của Đại số Lưu trữ 2007-10-04 tại Wayback Machine, bài giảng của Robin Wilson, tại Đại học Gresham, ngày 17 tháng 10 năm 2007 (có sẵn để tải xuống MP3 và MP4, cũng như một tệp văn bản).
• Pratt, Vaughan. “Đại số”. Trong Zalta, Edward N. (biên tập). Encyclopedia of Philosophy của Stanford.