Đạo hàm từng phần

Trong toán học, đạo hàm từng phần của một hàm số nhiều biến là đạo hàm theo một biến cụ thể, với các biến khác được coi là hằng số (trái ngược với đạo hàm toàn phần, khi tất cả các biến đều thay đổi). Đạo hàm từng phần thường được áp dụng trong giải tích vector và hình học vi phân.

Đạo hàm từng phần của f đối với biến x có thể được ký hiệu bằng nhiều cách khác nhau như

$f_x^{\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}},f_x,f_{,x},{}_{}$

∂ x f ,  hoặc  ∂ f ∂ x {displaystyle f_{x}^{prime }, f_{x}, f_{,x}, partial _{x}f,{ ext{ hoặc }}{rac {partial f}{partial x}}}

Ký hiệu cho đạo hàm từng phần là ∂. Ký hiệu này được Adrien-Marie Legendre giới thiệu và đã được Carl Gustav Jacob Jacobi phổ biến rộng rãi sau này.

Định nghĩa

Ví dụ dưới đây sẽ minh họa định nghĩa của đạo hàm từng phần theo biến y. Giả sử một hàm với hai biến x, y có thể được xem như một tập hợp các hàm theo y được đánh số bởi x

$f(x,y)=f_x\left(y\right)=x^2+xy+y^2.$

Nói cách khác, mỗi giá trị của x xác định một hàm số đơn biến, ký hiệu là fx. Có nghĩa là

$f_x\left(y\right)=x^2+xy+y^2.$

Khi giá trị của x được chọn, ví dụ là a, thì f(x,y) sẽ cho ta một hàm số fa

$f_a\left(y\right)=a^2+ay+y^2.$

Trong biểu thức này, a là hằng số, không phải biến số, vì vậy fa là hàm số đơn biến và ta có thể áp dụng định nghĩa đạo hàm cho hàm một biến:

$f_a^{\prime }\left(y\right)=a+2y.$

Quá trình trên có thể áp dụng cho bất kỳ giá trị nào của a. Khi tổng hợp tất cả các đạo hàm này, ta có được sự biến thiên của hàm số f theo y:

Đây là đạo hàm từng phần của f theo biến y. Ký hiệu ∂ được gọi là ký hiệu đạo hàm từng phần.

Trong tổng quát, đạo hàm từng phần của hàm số f(x₁,...,x_n) theo hướng xi tại điểm (a₁,...,a_n) được định nghĩa như sau:

$\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}f}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_i}(a_1,\dots <!--\; \dots \; -->,a_n)=\underset{h\to <!--\; \to \; -->0}{lim}\frac{f(a_1,\dots <!--\; \dots \; -->,a_i+h,\dots <!--\; \dots \; -->,a_n)-<!--\; -\; -->f(a_1,\dots <!--\; \dots \; -->,a_i,\dots <!--\; \dots \; -->,a_n)}{h}.$

Trong tỷ số trên, tất cả các biến ngoài xi đều được giữ nguyên. Do đó, chúng ta chỉ còn lại hàm số theo biến $f_{a_1,\dots <!--\; \dots \; -->,a_{i-<!--\; -\; -->1},a_{i+1},\dots <!--\; \dots \; -->,a_n}\left(x_i\right)=f(a_1,\dots <!--\; \dots \; -->,a_{i-<!--\; -\; -->1},x_i,a_{i+1},\dots <!--\; \dots \; -->,a_n)$, và theo định nghĩa,,

$\frac{d{f}_{a_1,\dots <!--\; \dots \; -->,a_{i-<!--\; -\; -->1},a_{i+1},\dots <!--\; \dots \; -->,a_n}}{d{x}_i}\left(x_i\right)=\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}f}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_i}(a_1,\dots <!--\; \dots \; -->,a_n).$

Ví dụ điển hình về đạo hàm riêng là hàm số f(x₁,...x_n) được định nghĩa trên miền của R (như R hoặc R). Trong tình huống này, hàm số f có các đạo hàm riêng ∂f/∂x_j cho từng biến x_j. Tại điểm a, các đạo hàm riêng này tạo thành một vector.

$\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}f\left(a\right)=\left(\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}f}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_1}\left(a\right),\dots <!--\; \dots \; -->,\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}f}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_n}\left(a\right)\right).$

Vector này được gọi là gradient của f tại a. Nếu f khả vi tại mọi điểm trong một miền nào đó, thì gradient là hàm số vectơ ∇f mà gán cho điểm a vectơ ∇f(a). Vì vậy, gradient chính là một trường vectơ.

Ghi chú

Liên kết ngoài

• Đạo hàm riêng trên MathWorld