Dấu Bằng Có Quá Đánh Giá? Các Nhà Toán Học Tranh Luận

Dấu bằng là nền móng của toán học. Dường như nó đưa ra một tuyên bố hoàn toàn cơ bản và không gây tranh cãi: Những thứ này chính xác giống nhau.

Nhưng có một cộng đồng ngày càng lớn của các nhà toán học xem dấu bằng như là sai lầm ban đầu của toán học. Họ coi nó như là một lớp veneer che đi sự phức tạp quan trọng trong cách các lượng liên quan đến nhau - những phức tạp có thể mở khóa giải pháp cho một số lượng lớn vấn đề. Họ muốn tái cơ cấu toán học bằng ngôn ngữ linh hoạt hơn của "tương đương".

“Chúng tôi đã đưa ra khái niệm về sự bằng nhau,” nói Jonathan Campbell của Đại học Duke. “Nguyên từ nên là tương đương từ đầu.”

Nhân vật nổi bật nhất trong cộng đồng này là Jacob Lurie. Tháng 7, Lurie, 41 tuổi, rời khỏi vị trí giáo sư có quyền lợi tại Đại học Harvard để đảm nhận một vị trí giảng viên tại Viện Nghiên cứu Cao cấp ở Princeton, New Jersey, nơi có nhiều nhà toán học được tôn trọng nhất trên thế giới.

Các ý tưởng của Lurie lan rộng trên một quy mô hiếm thấy trong bất kỳ lĩnh vực nào. Qua những cuốn sách của mình, bao gồm hàng nghìn trang dày, kỹ thuật, ông đã xây dựng một cách hiểu khác biệt đáng chú ý về một số khái niệm quan trọng nhất trong toán học bằng cách vượt qua dấu bằng. “Tôi chỉ nghĩ rằng ông ấy cảm thấy đây là cách đúng để nghĩ về toán học,” nói Michael Hopkins, một nhà toán học tại Harvard và cố vấn của Lurie khi ông học đại học.

Lurie xuất bản cuốn sách đầu tiên của mình, Higher Topos Theory, vào năm 2009. Cuốn sách dày 944 trang này phục vụ như một hướng dẫn về cách hiểu các lĩnh vực toán học đã được thiết lập trong ngôn ngữ mới của “danh mục vô cực.” Những năm qua, ý tưởng của Lurie đã lan sang một loạt rộng lớn các lĩnh vực toán học. Nhiều nhà toán học coi chúng là không thể thiếu cho tương lai của lĩnh vực. “Không ai quay lại sau khi họ đã học về danh mục vô cực,” nói John Francis của Đại học Northwestern.

Tuy nhiên, sự lan rộng của các danh mục vô cực cũng đã chỉ ra những đau đớn tăng lên mà một lĩnh vực có uy tín như toán học phải trải qua mỗi khi nó cố gắng hấp thụ một ý tưởng mới lớn, đặc biệt là một ý tưởng thách thức ý nghĩa của khái niệm quan trọng nhất của nó. “Có một mức độ bảo thủ phù hợp trong cộng đồng toán học,” nói Clark Barwick của Đại học Edinburgh. “Tôi chỉ nghĩ rằng bạn không thể mong đợi bất kỳ nhóm nhà toán học nào chấp nhận bất kỳ công cụ nào từ bất kỳ nơi nào một cách nhanh chóng mà không cung cấp cho họ những lý do thuyết phục để nghĩ về nó.”

Mặc dù nhiều nhà toán học đã chấp nhận danh mục vô cực, nhưng tương đối ít người đã đọc toàn bộ văn bản dài, rất trừu tượng của Lurie. Do đó, một số công việc dựa trên ý tưởng của ông ít chặt chẽ hơn so với điều thông thường trong toán học.

“Tôi đã nghe người ta nói, ‘Nó ở đâu đó trong Lurie,’” nói Inna Zakharevich, một nhà toán học tại Đại học Cornell. “Và tôi nói, ‘Thật sao? Bạn đang tham chiếu đến 8,000 trang văn bản.’ Đó không phải là một tham chiếu, đó là một kêu gọi đến quyền lực.”

Những nhà toán học vẫn đang nỗ lực với cả sự vĩ đại của ý tưởng của Lurie và cách duy nhất mà chúng được giới thiệu. Họ đang tóm tắt và đóng gói lại cách Lurie trình bày về các danh mục vô cực để làm cho chúng trở nên dễ tiếp cận hơn đối với nhiều nhà toán học hơn. Họ đang thực hiện, theo một cách, công việc cần thiết về quản trị phải theo sau mọi cuộc cách mạng, chuyển đổi một văn bản biến đổi thành luật lệ hàng ngày. Trong quá trình làm đó, họ đang xây dựng một tương lai cho toán học dựa trên sự tương đương, chứ không phải trên sự bằng nhau.

Các Tháp Vô Cực của Sự Tương Đương

Sự bằng nhau toán học có vẻ là ý tưởng ít gây tranh cãi nhất có thể. Hai viên bi cộng một viên bi bằng ba viên bi. Còn gì để nói về điều đó? Nhưng những ý tưởng đơn giản nhất có thể là những cái nguy hiểm nhất.

Kể từ cuối thế kỷ 19, nền tảng của toán học đã được xây dựng từ các tập hợp đối tượng, được gọi là các tập hợp. Lý thuyết tập hợp quy định các quy tắc, hoặc các hệ a-xi-ôm, để xây dựng và thao tác các tập hợp này. Một trong những hệ a-xi-ôm này, ví dụ, nói rằng bạn có thể thêm một tập hợp có hai phần tử vào một tập hợp có một phần tử để tạo ra một tập hợp mới có ba phần tử: 2 + 1 = 3.

Trên một cấp độ hình thức, cách để chứng minh rằng hai lượng bằng nhau là đôi: Kết hợp một viên bi ở bên phải của dấu bằng với một viên bi ở bên trái. Lưu ý rằng sau khi tất cả các đôi được thực hiện, không còn viên bi nào dư thừa.

Lý thuyết tập hợp nhận biết rằng hai tập có ba đối tượng mỗi tập sẽ kết hợp hoàn toàn, nhưng nó không dễ dàng nhận ra tất cả các cách khác nhau để kết hợp chúng. Bạn có thể kết hợp viên bi đầu tiên bên phải với viên bi đầu tiên bên trái, hoặc viên bi đầu tiên bên phải với viên bi thứ hai bên trái, và cứ thế (tổng cộng có sáu cách kết hợp). Nếu nói rằng hai cộng một bằng ba và để đó là bỏ qua tất cả các cách khác nhau mà chúng bằng nhau. “Vấn đề là, có nhiều cách để kết hợp,” Campbell nói. “Chúng ta đã quên chúng khi nói 'bằng nhau.'”

Đây là nơi tương đương xuất hiện. Trong khi sự bằng nhau là một mối quan hệ nghiêm ngặt - hoặc hai thứ là bằng nhau hoặc chúng không - sự tương đương xuất hiện dưới nhiều hình thức khác nhau.

Khi bạn có thể kết hợp chính xác từng phần tử của một tập với một phần tử trong tập khác, đó là một dạng tương đương mạnh mẽ. Nhưng trong một lĩnh vực của toán học gọi là lý thuyết homotopy, ví dụ, hai hình dạng (hoặc không gian hình học) là tương đương nếu bạn có thể căng ra hoặc nén một cái vào cái kia mà không cần phải cắt hoặc rách nó.

Từ quan điểm của lý thuyết homotopy, một đĩa phẳng và một điểm đơn trong không gian là tương đương - bạn có thể nén đĩa xuống điểm. Tuy nhiên, không thể kết hợp các điểm trong đĩa với các điểm trong điểm. Sau cùng, có vô số điểm trong đĩa, trong khi điểm chỉ là một điểm.

Từ giữa thế kỷ 20, các nhà toán học đã cố gắng phát triển một phương thức thay thế cho lý thuyết tập hợp trong đó việc thực hiện toán học dựa trên sự tương đương sẽ tự nhiên hơn. Năm 1945, các nhà toán học Samuel Eilenberg và Saunders Mac Lane giới thiệu một đối tượng cơ bản mới mà trong đó sự tương đương được tích hợp ngay từ đầu. Họ gọi nó là một hạng mục.

Hạng mục có thể được điền với bất cứ thứ gì bạn muốn. Bạn có thể có một hạng mục về động vật có vú, sẽ thu thập tất cả các loài động vật có lông, nhiệt độ cơ thể cao và cho con bú sữa trên thế giới. Hoặc bạn có thể tạo ra các hạng mục của các đối tượng toán học: tập hợp, không gian hình học hoặc hệ thống số.

Một hạng mục là một tập hợp với siêu dữ liệu bổ sung: một mô tả về tất cả các cách mà hai đối tượng có liên quan đến nhau, bao gồm một mô tả về tất cả các cách mà hai đối tượng là tương đương. Bạn cũng có thể coi hạng mục như là các đối tượng hình học trong đó mỗi phần tử trong hạng mục được biểu diễn bởi một điểm.

Hãy tưởng tượng, ví dụ, bề mặt của một quả cầu. Mỗi điểm trên bề mặt này có thể đại diện cho một loại tam giác khác nhau. Các đường giữa những điểm đó sẽ diễn đạt về mối quan hệ tương đương giữa các đối tượng. Trong quan điểm của lý thuyết hạng mục, bạn quên đi cách rõ ràng mà bất kỳ đối tượng nào được mô tả và tập trung thay vào đó vào cách một đối tượng được đặt trong số tất cả các đối tượng khác cùng loại.

“Có nhiều điều chúng ta nghĩ đó là các đối tượng khi thực tế chúng là mối quan hệ giữa các đối tượng,” Zakharevich nói. “Cụm từ ‘chồng tôi,’ chúng ta nghĩ về nó như là một đối tượng, nhưng bạn cũng có thể coi đó là mối quan hệ với tôi. Có một phần cụ thể của anh ấy được định nghĩa bởi mối quan hệ với tôi.”

Phiên bản của Eilenberg và Mac Lane về một hạng mục rất phù hợp để theo dõi các dạng tương đương mạnh mẽ. Nhưng trong nửa sau của thế kỷ 20, các nhà toán học ngày càng bắt đầu thực hiện toán học dựa trên những ý tưởng yếu hơn về sự tương đương như homotopy. “Khi toán học trở nên tinh tế hơn, là không thể tránh khỏi sự tiến triển này đến những khái niệm tinh tế hơn về sự giống nhau,” Emily Riehl, một nhà toán học tại Đại học Johns Hopkins, nói. Trong những khái niệm tinh tế hơn về sự tương đương này, lượng thông tin về cách hai đối tượng liên quan đến nhau tăng đột ngột. Hạng mục cơ bản của Eilenberg và Mac Lane không được thiết kế để xử lý điều này.

Để nhìn thấy cách lượng thông tin tăng lên, đầu tiên hãy nhớ quả cầu của chúng ta đại diện cho nhiều tam giác. Hai tam giác là tương đương homotopy nếu bạn có thể căng ra hoặc biến dạng một cái thành cái kia. Hai điểm trên bề mặt là tương đương homotopy nếu có một đường nối một với cái kia. Bằng cách nghiên cứu các đường homotopy giữa các điểm trên bề mặt, bạn đang nghiên cứu các cách khác nhau mà những tam giác được đại diện bởi những điểm đó có liên quan đến nhau.

Nhưng chỉ nói rằng hai điểm được liên kết bởi nhiều đường bằng nhau không đủ. Bạn cần nghĩ về sự tương đương giữa tất cả những đường đó, nữa. Vì vậy, ngoài việc hỏi xem hai điểm có tương đương không, bạn bây giờ đang hỏi xem hai đường bắt đầu và kết thúc tại cùng một cặp điểm có tương đương không - có một đường giữa những đường đó không. Đường này giữa những đường có hình dạng của một đĩa có biên là hai đường.

Bạn có thể tiếp tục từ đó. Hai đĩa là tương đương nếu có một đường giữa chúng - và con đường đó sẽ có hình dạng của một đối tượng ba chiều. Những đối tượng ba chiều đó có thể được kết nối bởi các đường dẫn bốn chiều (đường dẫn giữa hai đối tượng luôn có một chiều nhiều hơn so với đối tượng chính nó).

Cuối cùng, bạn sẽ xây dựng một tháp vô tận của sự tương đương giữa những sự tương đương. Bằng cách xem xét toàn bộ kiến trúc, bạn tạo ra một góc nhìn đầy đủ về bất kỳ đối tượng nào bạn đã chọn đại diện dưới dạng điểm trên quả cầu đó.

“Nó chỉ là một quả cầu, nhưng hóa ra, để hiểu hình dạng của một quả cầu, bạn cần đi ra vô cùng theo một ý nghĩa nào đó,” David Ben-Zvi của Đại học Texas, Austin nói.

Trong những thập kỷ cuối của thế kỷ 20, nhiều nhà toán học đã làm việc trên một lý thuyết về “các hạng mục vô cùng” - một cái gì đó sẽ theo dõi tháp vô cùng của sự tương đương giữa những sự tương đương. Một số người đã đạt được tiến triển đáng kể. Chỉ có một người đi đến hết.

Tái Viết Toán Học

Bài báo đầu tiên của Jacob Lurie về lý thuyết hạng mục vô cùng không có vẻ may mắn. Vào ngày 5 tháng 6 năm 2003, người 25 tuổi đăng một tài liệu 60 trang mang tên “Về Infinity Topoi” lên trang web tiền in khoa học arXiv.org. Tại đó, anh ấy bắt đầu vẽ ra các quy tắc mà nhà toán học có thể làm việc với các hạng mục vô cùng.

Bài báo đầu tiên này không được đón nhận một cách chung chung. Ngay sau khi đọc nó, Peter May, một nhà toán học tại Đại học Chicago, gửi email cho người hướng dẫn của Lurie, Michael Hopkins, nói rằng bài báo của Lurie có một số ý tưởng thú vị nhưng cảm giác nó là sơ bộ và cần thêm tính chặt chẽ.

“Tôi đã giải thích ý kiến phản đối của chúng tôi cho Mike, và Mike đã truyền đạt thông điệp đến Jacob,” May nói.

Không rõ liệu Lurie đã xem email của May như một thách thức hay liệu anh ấy đã có động thái tiếp theo trong tâm trí từ đầu không. (Lurie từ chối nhiều yêu cầu phỏng vấn cho câu chuyện này.) Nhưng rõ ràng sau khi nhận được chỉ trích, Lurie đã bắt đầu vào một giai đoạn nhiều năm tích cực đã trở thành huyền thoại.

“Tôi không ở trong đầu của Jacob, tôi không thể nói chính xác anh ấy nghĩ gì vào thời điểm đó,” May nói. “Nhưng chắc chắn có sự khác biệt lớn giữa bản nháp mà chúng tôi phản đối và các phiên bản cuối cùng, hoàn toàn trên một tầng toán học cao hơn.”

Năm 2006, Lurie phát hành một bản nháp của Higher Topos Theory trên arXiv.org. Trong công việc khổng lồ này, anh ấy tạo ra các công cụ cần thiết để thay thế lý thuyết tập hợp bằng một nền tảng toán học mới, dựa trên các hạng mục vô cùng. “Anh ấy đã tạo ra hàng nghìn trang của máy móc cơ sở này mà chúng tôi tất cả đang sử dụng ngay bây giờ,” Charles Rezk, một nhà toán học tại Đại học Illinois, Urbana-Champaign, người đã thực hiện công việc quan trọng sớm trên các hạng mục vô cùng, nói. “Tôi không thể tưởng tượng được sản xuất Higher Topos Theory, mà anh ấy đã sản xuất trong hai hoặc ba năm, trong suốt cả cuộc đời.”

Sau đó vào năm 2011, Lurie tiếp tục với một công việc còn dài hơn. Trong đó, anh ấy tái tạo lại đại số.

Đại số cung cấp một bộ quy tắc hình thức tuyệt vời để thao tác các phương trình. Những nhà toán học sử dụng những quy tắc này liên tục để chứng minh các định lý mới. Nhưng đại số thực hiện các động tác của mình qua thanh ghi cố định của dấu bằng. Nếu bạn loại bỏ những thanh đó và thay thế chúng bằng khái niệm mảnh mai của tương đương, một số phép toán trở nên khó khăn hơn.

Hãy xem một trong những quy tắc đầu tiên của đại số mà trẻ con học trong trường: tính chất kết hợp, nói rằng tổng hoặc tích của ba hoặc nhiều số không phụ thuộc vào cách số được nhóm lại: 2 × (3 × 4) = (2 × 3) × 4.

Chứng minh rằng tính chất kết hợp đúng cho bất kỳ danh sách nào có ba số trở lên là dễ dàng khi bạn làm việc với sự bằng nhau. Điều này trở nên phức tạp khi bạn làm việc với thậm chí các khái niệm mạnh mẽ của sự tương đương. Khi bạn chuyển sang các khái niệm tương đương tinh tế hơn, với các tháp vô tận của đường dẫn giữa các đường dẫn, thậm chí một quy tắc đơn giản như tính chất kết hợp cũng biến thành một rừng cây.

“Điều này làm phức tạp mọi vấn đề, một cách khiến nó trở nên không thể làm việc với phiên bản toán học mới mà chúng ta đang tưởng tượng,” David Ayala, một nhà toán học tại Đại học Montana, nói.

Trong Đại số Cao, phiên bản mới nhất có đến 1.553 trang, Lurie đã phát triển một phiên bản của tính chất kết hợp cho các loại infinity categories—cùng với nhiều định lý đại số khác đã lập nên một nền tảng cho toán học của sự tương đương.

Tổng cộng, hai tác phẩm của ông ta đã gây ra cú sốc, những loại tác phẩm kích thước mà kích thích các cuộc cách mạng khoa học. “Quy mô hoàn toàn lớn lao,” Riehl nói. “Đó là một thành tựu ở mức độ của cuộc cách mạng đại số hình học của Grothendieck.”

Tuy nhiên, các cuộc cách mạng mất thời gian, và như những người toán học phát hiện ra sau khi những cuốn sách của Lurie xuất hiện, những năm tiếp theo có thể là hỗn loạn.

Tiêu hóa Nguyên Con Bò

Người toán học có danh tiếng là những người tư duy sáng tạo: Một bằng chứng đúng hoặc không, một ý tưởng hoạt động hoặc không. Nhưng người toán học cũng là con người, và họ phản ứng với ý tưởng mới theo cách mà con người thường làm: với tính chủ quan, cảm xúc và một cảm giác về lợi ích cá nhân.

“Tôi nghĩ rằng nhiều bài viết về toán học được thực hiện với tông điệu là người toán học đang tìm kiếm những sự thật tinh thể lấp lánh này,” Campbell nói. “Đó không phải là cách nó diễn ra. Họ là những người có gu riêng và các lĩnh vực thoải mái riêng, và họ sẽ từ chối những điều họ không thích vì lý do thẩm mỹ hoặc cá nhân.”

Trong lĩnh vực này, công việc của Lurie đại diện cho một thách thức lớn. Nói chung, đó là một sự khiêu khích: Đây là một cách tốt hơn để thực hiện toán học. Thông điệp đặc biệt chỉ trích đối với những người toán học đã dành cả sự nghiệp phát triển các phương pháp mà công việc của Lurie vượt qua.

“Có một căng thẳng trong quá trình khi mọi người không luôn hạnh phúc khi thấy thế hệ tiếp theo viết lại công việc của họ,” Francis nói. “Đây là một đặc điểm ảnh hưởng đến lý thuyết infinity category, nơi nhiều công việc trước đó được viết lại.”

Công việc của Lurie khó chấp nhận theo nhiều cách khác nhau. Lượng tư liệu đồ sộ có nghĩa là những người toán học sẽ cần dành nhiều năm để đọc sách của ông. Điều đó là yêu cầu gần như không thể với những người toán học bận rộn ở giữa sự nghiệp, và đó là một yêu cầu rủi ro cao đối với sinh viên sau đại học chỉ có vài năm để sản xuất kết quả để có được công việc.

Công việc của Lurie cũng rất trừu tượng, ngay cả so với tính trừu tượng cao của mọi thứ khác trong toán học cao cấp. Theo góc độ khẩu vị, nó không phải dành cho tất cả mọi người. “Nhiều người xem công việc của Lurie như là lý thuyết trừu tượng không có ý nghĩa, và nhiều người thực sự yêu thích và chấp nhận nó,” Campbell nói. “Sau đó có những phản ứng ở giữa, bao gồm việc không hiểu nó chút nào.”

Cộng đồng khoa học tiếp nhận ý tưởng mới liên tục, nhưng thường là chậm rãi, và với sự cảm giác mọi người đang cùng nhau tiến lên. Khi ý tưởng mới lớn nảy sinh, chúng đặt ra thách thức cho máy cơ bản của cộng đồng. “Nhiều thứ được giới thiệu cùng một lúc, nên nó giống như con trăn nữo một con bò,” Campbell nói. “Có một khối lượng lớn đang chảy qua cộng đồng.”

Nếu bạn là một nhà toán học nhìn nhận phương pháp của Lurie là một cách tốt hơn để thực hiện toán học, con đường phía trước là cô đơn. Ít người đã đọc sách của Lurie, và không có sách giáo trình nào tóm tắt nó và không có các buổi học bạn có thể tham gia để hiểu rõ hơn về nó. “Cách bạn phải học về điều này một cách chính xác thực sự là tự ngồi xuống và tự làm,” nói Peter Haine, một sinh viên sau đại học tại Viện Công nghệ Massachusetts đã dành một năm để đọc sách của Lurie. “Tôi nghĩ đó là phần khó khăn. Không chỉ tự ngồi xuống và làm - đó là tự ngồi xuống và làm bằng cách đọc 800 trang của Higher Topos Theory.”

Như nhiều sáng chế mới khác, Higher Topos Theory đòi hỏi các nhà toán học tương tác nhiều với máy móc làm cho lý thuyết hoạt động. Đó giống như việc khiến mọi người 16 tuổi muốn có bằng lái xe trước tiên phải học cách xây dựng lại động cơ. “Nếu có một phiên bản thân thiện với người lái, nó sẽ ngay lập tức trở nên dễ tiếp cận hơn đối với một đối tượng toán học rộng lớn hơn,” Dennis Gaitsgory, một nhà toán học tại Harvard đã hợp tác với Lurie nói.

Khi mọi người bắt đầu đọc sách của Lurie và sử dụng infinity categories trong nghiên cứu của họ, các vấn đề khác nảy sinh. Nhà toán học sẽ viết các bài báo sử dụng infinity categories. Người xem tại các tạp chí sẽ nhận được và nói: Đây là cái gì?

“Bạn có tình huống [bài báo] hoặc trở lại từ tạp chí với báo cáo phản biện vô lý phản ánh hiểu lầm sâu sắc, hoặc chúng chỉ mất vài năm để xuất bản,” Barwick nói. “Nó có thể làm cho cuộc sống của mọi người trở nên không thoải mái vì một bài báo chưa được xuất bản đang ngồi trên trang web của bạn suốt nhiều năm trông có vẻ hơi lạ.”

Tuy nhiên, vấn đề lớn nhất không phải là các bài báo không được xuất bản, mà là các bài báo sử dụng infinity categories và đã được xuất bản - với lỗi.

Các cuốn sách của Lurie là văn kiện độc nhất về infinity categories. Chúng hoàn toàn nghiêm túc, nhưng khó để hiểu hết. Chúng đặc biệt không phù hợp để phục vụ như các sách hướng dẫn tham khảo - khó để tìm kiếm các định lý cụ thể hoặc kiểm tra xem một ứng dụng cụ thể của infinity categories mà người ta có thể gặp trong bài báo của người khác có thực sự hoạt động không.”

“Hầu hết mọi người làm việc trong lĩnh vực này không đọc Lurie theo cách hệ thống,” nói André Joyal, một nhà toán học tại Đại học Quebec ở Montreal, người đã có công trình trước đây là một thành phần chính trong các cuốn sách của Lurie. “Nó sẽ mất nhiều thời gian và năng lượng, nên chúng ta có phần giả sử những gì trong sách của ông ta là chính xác vì hầu như mọi khi kiểm tra một điều gì đó, đó là đúng. Trên thực tế, mọi khi.”

Sự khó tiếp cận của các cuốn sách của Lurie đã dẫn đến sự không chính xác trong một số nghiên cứu tiếp theo dựa trên chúng. Các cuốn sách của Lurie khó đọc, khó trích dẫn và khó sử dụng để kiểm tra công việc của người khác.

“Có cảm giác làm việc mất mát xung quanh văn kiện tổ hợp vô hạn chung,” Zakharevich nói.

Mặc dù có định dạng chính thức, toán học không được thiết kế để có văn kiện linh thiêng mà chỉ có thầy tu mới có thể đọc. Lĩnh vực này cần cả các tờ rơi cũng như những quyển sách dày, cần có văn bản giải nghĩa thêm vào sự mở đầu sáng tạo. Và ngay bây giờ, lý thuyết infinity categories vẫn tồn tại chủ yếu như một số cuốn sách lớn trên kệ.”

“Bạn có thể có thái độ rằng ‘Jacob nói cho bạn biết làm thế nào, đó là tốt,’” Rezk nói. “Hoặc bạn có thể có thái độ rằng ‘Chúng ta không biết làm thế nào để trình bày chủ đề của mình đủ tốt để mọi người có thể nắm bắt và triển khai nó.’”

Tuy nhiên, một số nhà toán học đã đưa ra thách thức để biến infinity categories thành một kỹ thuật mà nhiều người hơn trong lĩnh vực của họ có thể triển khai.

Một Lý thuyết Dễ sử dụng

Để chuyển đổi infinity categories thành các đối tượng có thể thực hiện công việc toán học thực tế, Lurie phải chứng minh những định lý về chúng. Và để làm điều đó, anh ta phải chọn một bối cảnh để tạo ra những bằng chứng đó, giống như người làm hình học phải chọn một hệ toạ độ để làm việc. Nhà toán học gọi điều này là việc chọn một mô hình.

Lurie phát triển infinity categories trong mô hình của quasi-categories. Các nhà toán học khác trước đây cũng đã phát triển infinity categories trong các mô hình khác nhau. Mặc dù những nỗ lực đó xa lạc so với của Lurie, nhưng chúng dễ làm việc hơn trong một số tình huống. “Jacob chọn một mô hình và kiểm tra mọi thứ hoạt động trong mô hình đó, nhưng thường thì đó không phải là mô hình dễ làm việc nhất,” Zakharevich nói.

Trong hình học, nhà toán học hiểu chính xác cách di chuyển giữa các hệ toạ độ. Họ cũng đã chứng minh rằng các định lý được chứng minh trong một bối cảnh cũng hoạt động trong các bối cảnh khác.

Với infinity categories, không có bảo đảm như vậy. Nhưng khi nhà toán học viết bài báo sử dụng infinity categories, họ thường di chuyển dễ dàng giữa các mô hình, giả định (nhưng không chứng minh) rằng kết quả của họ có thể chuyển đến. “Mọi người không chỉ định rõ họ đang làm gì, và họ chuyển đổi giữa tất cả các mô hình khác nhau và nói, ‘Ồ, đó là cùng một thứ,’” Haine nói. “Nhưng đó không phải là một chứng minh.”

Trong suốt sáu năm qua, một cặp nhà toán học đã cố gắng đảm bảo những bảo đảm đó. Riehl và Dominic Verity, của Đại học Macquarie ở Úc, đã phát triển một cách mô tả infinity categories vượt qua những khó khăn tạo ra trong các khung mô hình cụ thể trước đây. Công việc của họ, xây dựng trên công việc trước đó của Barwick và những người khác, đã chứng minh rằng nhiều định lý trong Higher Topos Theory vẫn đúng bất kể mô hình nào bạn áp dụng chúng. Họ chứng minh sự tương thích này một cách phù hợp: “Chúng tôi đang nghiên cứu về infinity categories trong đó các đối tượng là chính các infinity categories này,” Riehl nói. “Lý thuyết hạng mục đang ăn chính nó ở đây.”

Riehl và Verity hy vọng đưa lý thuyết infinity category tiến lên một cách khác. Họ đang chỉ định các khía cạnh của lý thuyết infinity category có hiệu suất không phụ thuộc vào mô hình bạn đang ở. Bản trình bày “không phụ thuộc vào mô hình” này có chất lượng cắm và chạy mà họ hy vọng sẽ mời gọi những nhà toán học tham gia vào lĩnh vực này mà có thể đã tránh xa trong khi Higher Topos Theory là cách duy nhất. “Có một rãnh mương bạn phải vượt qua để vào thế giới này,” Hopkins nói, “và họ đang hạ cầu cầu đổ.”

Riehl và Verity dự kiến hoàn thành công việc của họ vào năm tới. Trong khi đó, Lurie đã bắt đầu một dự án mang tên Kerodon mà anh ta dự kiến là một sách giáo trình kiểu Wikipedia cho lý thuyết hạng mục cao. Mười ba năm sau khi Higher Topos Theory hình thành toán học của sự tương đương, những sáng tạo mới này là một cố gắng để làm tinh tế và quảng bá những ý tưởng—làm cho toán học của sự tương đương trở nên phổ cập một cách tổng quát.

“Tài năng đóng một vai trò quan trọng trong việc phát triển toán học, nhưng thực sự kiến thức chính là kết quả của hoạt động của cộng đồng,” Joyal nói. “Đó là mục tiêu thực sự của kiến thức để trở thành kiến thức của cộng đồng, không phải kiến thức của một hoặc hai người.”

Câu chuyện gốc được tái bản với sự cho phép từ Quanta Magazine, một tờ báo độc lập biên tập thuộc Sở hỗ trợ Simons, nhiệm vụ của nó là tăng cường sự hiểu biết của công chúng về khoa học bằng cách báo cáo về sự phát triển nghiên cứu và xu hướng trong toán học cũng như trong các ngành khoa học tự nhiên và sinh học.

Thêm Nhiều Bài Viết Tuyệt Vời Khác Từ Mytour

• Điểm mù trong trí tuệ nhân tạo có thể giúp bảo vệ quyền riêng tư của bạn
• Công nghệ và phụ kiện tốt nhất cho chó của bạn
• Công nghệ đột phá đằng sau “người” trẻ tuổi của Gemini Man Will Smith
• Làng Iceland nơi mặt trời không bao giờ lặn vào mùa hè
• Tại sao người giàu lại tàn ác?
• 👁 Chuẩn bị cho thời đại video deepfake; ngoài ra, kiểm tra tin tức mới nhất về trí tuệ nhân tạo
• 🎧 Âm thanh không phát ra đúng? Hãy xem tai nghe không dây, thanh âm và loa Bluetooth yêu thích của chúng tôi