Buzz
Dấu hiệu nhận diện tứ giác có nội tiếp là một trong những kiến thức quan trọng mà các bạn học sinh lớp 9 cần nắm để chuẩn bị cho kỳ thi quan trọng. Tứ giác nội tiếp là gì? Tính chất và dấu hiệu nhận biết hình tứ giác nội tiếp là gì? Mời các bạn theo dõi bài viết dưới đây của Mytour để có thông tin chi tiết nhé!
Tứ giác có nội tiếp là gì?
Tứ giác có nội tiếp hay còn được gọi là tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn. Các đỉnh của tứ giác nằm trên đường tròn gọi là đồng viên và đường tròn gọi là đường tròn ngoại tiếp.
Định lý về tứ giác nội tiếp: Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện luôn bằng 180 độ.
Ngoài định lý về tứ giác nội tiếp, còn có định lý đảo như sau: Nếu tổng số đo hai góc đối diện của một tứ giác bằng 180 độ thì tứ giác đó là tứ giác nội tiếp.
Tính chất cơ bản của tứ giác nội tiếp
Sau khi hiểu rõ định lý thuận và định lý đảo, các bạn cần nắm được tính chất, dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp. Những tính chất này sẽ giúp các bạn áp dụng vào việc giải quyết các bài toán liên quan. Cụ thể về các tính chất của tứ giác nội tiếp như sau:
- Theo định lý, trong tứ giác nội tiếp, hai góc đối diện luôn có tổng bằng 180 độ.
- Tứ giác nội tiếp có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện.
- Mọi tam giác, bao gồm tam giác thường, tam giác vuông, tam giác cân đều có đường tròn ngoại tiếp.
- Tứ giác nội tiếp có bốn đỉnh cách đều một điểm trung tâm được gọi là tâm của đường tròn ngoại tiếp.
Có những dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp nào?
Trong môn hình học lớp 9, tứ giác nội tiếp là một chủ đề quan trọng mà các bạn học sinh cần nắm vững. Dấu hiệu nhận biết hình tứ giác nội tiếp bao gồm:
- Tứ giác có bốn đỉnh cách đều một điểm cố định tức là tồn tại điểm O sao cho OA = OB = OC = OD.
- Một tứ giác có hai góc đối diện tổng bằng 180 độ.
- Một tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện là tứ giác nội tiếp.
Làm thế nào để chứng minh tứ giác nội tiếp?
Để chứng minh hình tứ giác nội tiếp có nhiều cách khác nhau dựa trên tính chất, dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp. Dưới đây là những cách chứng minh tứ giác nội tiếp dễ hiểu nhất cho các bạn tham khảo:
Chứng minh bốn đỉnh cách đều một điểm
Nếu có đường tròn O với bán kính R, thì bất kỳ điểm nào trên đường tròn đều cách tâm một khoảng R. Dựa vào lý thuyết này để chứng minh tứ giác nội tiếp một cách nhanh chóng. Ví dụ, với một điểm I cố định và tứ giác ABCD, để chứng minh đây là hình tứ giác nội tiếp, các bạn chỉ cần chứng minh rằng IA = IB = IC = ID. Điểm I là tâm của đường tròn và có bán kính là IA.
Chứng minh tổng hai góc đối diện của tứ giác bằng 180 độ
Ngoài cách chứng minh tứ giác nội tiếp có bốn đỉnh cách đều một điểm, bạn cũng có thể chứng minh hai góc đối diện của tứ giác bằng 180 độ. Ví dụ, với tứ giác ABCD, bạn chỉ cần chứng minh góc A + C = 180 độ hoặc góc B + D = 180 độ. Chỉ cần chứng minh một cặp góc đối diện có tổng bằng 180 độ theo dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp thì đây chính là tứ giác nội tiếp.
Chứng minh góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối
Cách chứng minh này khá đơn giản, bạn chỉ cần chứng minh góc ngoài tại đỉnh A bằng góc trong của đỉnh C thì tứ giác đó là tứ giác nội tiếp.
Chứng minh tứ giác đặc biệt
Trong các bài toán chứng minh tứ giác nội tiếp, có thể chứng minh thông qua các dạng đặc biệt như hình chữ nhật, hình vuông, hình thoi,… Từ đó suy ra tứ giác trong đề bài là tứ giác nội tiếp.
Cách giải một số dạng bài tập tứ giác nội tiếp lớp 9
Để giải bài tập liên quan, bạn cần hiểu định lý và tính chất của dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp. Khi nắm vững kiến thức này, bạn có thể áp dụng linh hoạt vào từng yêu cầu của đề bài. Dưới đây là một số ví dụ về dạng bài tập tứ giác nội tiếp thường gặp để bạn tham khảo:
Bài 1
Cho tam giác nhọn ABC với các đường cao BM, CN cắt nhau tại điểm H. Chúng ta cần chứng minh AMHN và BNMC là tứ giác nội tiếp.
Đây là một dạng bài thường gặp với học sinh lớp 9. Để giải bài này rất đơn giản. Đầu tiên, xét tứ giác AMHN có góc AMH + ANH = 90 + 90 = 180 độ. Theo dấu hiệu nhận biết, tứ giác AMHN có tổng hai góc đối bằng 180 độ, do đó là tứ giác nội tiếp.
Tương tự, xét tứ giác BNMC có góc BNC = BMC = 90 độ. Theo đó, chúng ta kết luận tứ giác BNMC cũng là tứ giác nội tiếp.
Bài 2
Hình tứ giác ABCD nội tiếp tâm O, điểm M nằm giữa cung AB. Khi nối điểm M với D, C sẽ cắt cạnh AB tại điểm E và P. Chúng ta cần chứng minh hình PEDC là tứ giác nội tiếp.
Với đề bài này, ta thấy góc AED bằng 1/2 tổng số đo của cung AD và MB. Như vậy, góc AED cũng bằng góc MCD. Từ đây, suy ra góc DEP + PCD = 180 độ -> PEDC là tứ giác nội tiếp (điều phải chứng minh).
Bài 3
Cho biết hình thang ABCD trong đó góc C = D = 60 độ, cạnh CD = 2AD. Chúng ta cần chứng minh các điểm A, B, C, D cùng nằm trên một đường tròn.
Dạng toán này cũng thường gặp liên quan tới dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp lớp 9. Để giải bài toán này, các bạn hãy tham khảo hướng dẫn sau:
- Đầu tiên, gọi I là trung điểm của cạnh CD.
- Ta có cạnh IC = AB và IC // AB. Từ đây suy ra ICBA là hình bình hành nên cạnh BC = AI (1).
- Tương tự cách chứng minh trên ta được AD = IB (2).
- Theo đề bài, ABCD là hình thang nên có góc C = D = 60 độ => đây là hình thang cân (3).
Từ ba lý lẽ trên suy ra ICB, IAD là tam giác đều => AI = IB = IC = ID => điểm A, B, C, D cùng nằm trên một đường tròn (điều phải chứng minh).
Bài 4
Cho hình tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Trong đó, M thuộc đường tròn, chúng ta cần vẽ MH vuông góc với BC tại điểm H và MI vuông góc với AC tại điểm I. Hãy chứng minh tứ giác MIHC là tứ giác nội tiếp.
Hầu hết các bạn học sinh lớp 9 thường lo lắng khi gặp bài tập về tứ giác nội tiếp. Nhưng chỉ cần nắm chắc định lý và tính chất, dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp, mọi bài tập sẽ trở nên đơn giản. Đối với bài này, có thể thấy góc MIC bằng góc CHM đều bằng 90 độ. Từ đây suy ra MIHC là hình tứ giác nội tiếp vì có hai đỉnh kề nhau và cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới góc vuông.
Bài 5
Cho biết nửa đường tròn có đường kính AB = 2R, đường tiếp tuyến Ax cùng phía với AB. Từ vị trí điểm M, các bạn hãy vẽ đường tiếp tuyến MC, cạnh AC cắt OM tại điểm E và MB cắt nửa đường tròn tại D. Yêu cầu chứng minh tứ giác AMCO, AMDE, MBCD là tứ giác nội tiếp.
Trên cơ sở định lý, dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp sẽ giải quyết dễ dàng các bài toán phức tạp. Theo đề bài, MA và MC là tiếp tuyến nên góc MAO và MCO bằng nhau và bằng 90 độ.
Với tứ giác AMCO, ta có góc MAO + MCO = 180 độ, suy ra AMCO là tứ giác nội tiếp (điều phải chứng minh).
Tiếp theo, góc ABD bằng 90 độ nên ADM cũng bằng 90 độ.
Ta có OA = OC = R và MA = MC do tính chất đường tiếp tuyến.
Do OM là đường trung trực nên góc AME bằng 90 độ.
Suy ra ADM = AEM = 90 độ.
Như vậy, AMDE có hai đỉnh liền kề nhau và cùng nhìn cạnh MA dưới góc không đổi. Theo dấu hiệu tứ giác nội tiếp, AMDE nội tiếp đường tròn có bán kính MA (điều phải chứng minh).
Một số lưu ý khi giải bài tập tứ giác nội tiếp lớp 9
Chúng tôi đã nhắc lại lý thuyết về định lý, tính chất, dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp. Cùng với đó, chúng tôi đã cung cấp ví dụ cụ thể để giúp các bạn hiểu rõ hơn. Khi làm bài tập tứ giác nội tiếp, các bạn học sinh cần lưu ý những điều sau:
- Hãy vẽ hình chính xác theo yêu cầu để dễ dàng xác định điều cần chứng minh.
- Đánh dấu rõ các góc, đoạn thẳng để tránh nhầm lẫn.
- Nắm chắc kiến thức lý thuyết và tuân theo yêu cầu đề bài để không lạc hướng.
- Chú ý đến yêu cầu của đề bài để dễ dàng chứng minh.
- Không lặp lại điều cần chứng minh trong quá trình làm bài, điều này thường gặp trong các bài tập tứ giác nội tiếp của học sinh lớp 9.
Ngoài những lưu ý trên, khi học tập ở trường, các bạn nên chú ý nghe giảng và ghi chép đầy đủ. Các bạn cần nắm vững kiến thức từ lớp học và thường xuyên luyện tập thêm bài tập. Để giúp các bạn học tập hiệu quả hơn về tứ giác nội tiếp, phụ huynh có thể mua thêm sách tham khảo hoặc đăng ký khoá học online.
Kết thúc
Bài viết trên đã chia sẻ đầy đủ về định lý, tính chất, dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp để các bạn tham khảo. Bên cạnh lý thuyết, chúng tôi đã giới thiệu các ví dụ minh hoạ để giúp các bạn hiểu rõ hơn. Tứ giác nội tiếp là một chủ đề quan trọng trong toán học lớp 9. Học sinh cần nắm vững kiến thức này để chuẩn bị tốt cho kỳ thi lớp 10. Chúc các bạn học tốt và đạt được những thành tích xứng đáng với nỗ lực của mình.
Hãy theo dõi fanpage Mytour và kênh Mytour để không bỏ lỡ các thông tin thú vị nhé!
