Buzz
1. Đề kiểm tra giữa kỳ 2 môn Toán lớp 9 với đáp án năm học 2022 - 2023, đề số 1
1.1 Đề số 1
Bài 1: (2 điểm)
a) Đơn giản hóa biểu thức P
b) Xác định giá trị của x để P = -1
c) So sánh giá trị của P với 1
Bài 2: (2 điểm) Giải bài toán bằng cách thiết lập phương trình hoặc hệ phương trình
Một xe khách và một xe du lịch xuất phát cùng lúc từ A đến B. Xe du lịch di chuyển nhanh hơn xe khách 20 km/h và đến B trước xe khách 50 phút. Tính vận tốc của mỗi xe, biết quãng đường AB là 100 km.
Bài 3: (2 điểm) Xét hàm số y = ax^2 với a khác 0, đồ thị của hàm số là một parabol (P)
a) Tìm giá trị của a để parabol (P) đi qua điểm A(-1;1)
b) Vẽ đồ thị của hàm số y = ax^2 với giá trị a đã tính ở câu trên
c) Cho đường thẳng (d): y = 2x + 3. Tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P) với giá trị a đã tìm ở câu a.
d) Tính diện tích của tam giác AOB, trong đó A và B là các điểm giao của đường thẳng (d) và parabol (P)
Bài 4: (3,5 điểm) Cho đường thẳng d và đường tròn (O;R) không cắt nhau. Kẻ đường vuông góc OH từ O đến d tại điểm H. Chọn điểm M bất kỳ trên d. Vẽ hai tiếp tuyến MA và MB từ M đến đường tròn (O;R). Đoạn AB cắt OH và OM tại các điểm K và I.
a) Chứng minh rằng năm điểm M, H, A, O, B nằm trên một đường tròn cùng nhau
b) Chứng minh rằng OK nhân với OH bằng OI nhân với OM
c) Chứng minh rằng khi M di chuyển trên d, đường thẳng AB luôn đi qua một điểm cố định
d) Xác định vị trí của M sao cho diện tích tam giác OIK là lớn nhất
1.2 Đáp án cho bài số 1
Bài 1 (2 điểm) Hướng dẫn chi tiết
x = 0 thỏa mãn yêu cầu đề bài
Bài 2: (2 điểm) Hướng dẫn chi tiết
50 phút = 5/6 giờ
Gọi vận tốc của xe khách và xe du lịch lần lượt là a và y (km/h) (với x, y > 0)
Thời gian xe khách di chuyển hết đoạn đường AB là 100/x giờ
Thời gian xe du lịch di chuyển hết đoạn đường AB là 100/y giờ
Theo đề bài, ta có:
Do đó, vận tốc của xe khách và xe du lịch lần lượt là 40 km/h và 60 km/h
Bài 3: (2 điểm) Hướng dẫn chi tiết
a) Vì parabol (P) đi qua điểm A(-1;1), nên khi thay x = -1 và y = 1 vào phương trình y = ax², ta có: 1 = (-1)².a dẫn đến a = 1.
b) Với a = 1, hàm số trở thành y = x²
c) Phương trình hoành độ giao điểm giữa (P) và (d) là:
x² = 2x + 3 <=> (x + 1)(x - 3) = 0
=> x = -1, y = 1 hoặc x = 3, y = 9
Do đó, tọa độ giao điểm của (P) và (d) là (-1;1) và (3;9)
d)
Ta tính được SOAB = SOBF + SFOA = 1/2.FO.DB + 1/2.FO.AE = 1/2.3.3 + 1/2.3.1 = 6 (đvdt)
Bài 4: (3,5 điểm) Hướng dẫn giải
a) Có 5 điểm M, H, A, O, B đều nằm trên đường tròn có đường kính OM
b) Vì MA và MB là hai tiếp tuyến cắt nhau nên OM vuông góc với AB tại điểm I
Do đó, tứ giác MIKH là tứ giác nội tiếp
Do đó, OK.OH = OI.OM
c) Có OK.OH = OI.OM <=> OK = (OI.OM)/OH = R² / OH (vì tam giác OBM vuông tại B với đường cao BI)
Vì OH là hằng số nên OK cũng là hằng số.
Do vậy, điểm K là cố định và khi M di chuyển trên d, đường thẳng AB sẽ luôn đi qua một điểm cố định.
d) Xác định vị trí của M sao cho diện tích tam giác OIK đạt giá trị tối đa
Vì OK là hằng số nên diện tích tam giác OIK đạt giá trị lớn nhất là 1/4.OK², xảy ra khi OI = OK.
Khi đó, tam giác OIK là tam giác vuông cân tại I. Do đó, góc KOI = 45°, và tam giác OHM là vuông cân tại H dẫn đến MH = MO. Vậy điểm M nằm trên đường thẳng d và thỏa mãn MH = MO thì diện tích tam giác OIK là lớn nhất.
Bài 5 (0,5 điểm) Hướng dẫn giải
Dấu '=' đạt được khi t = 0, tức là x = 2. Do đó, giá trị nhỏ nhất của A là 2/3 và xảy ra khi x = 2.
2. Đề thi giữa học kỳ 2 môn Toán lớp 9 năm học 2022-2023, đề số 2
2.1 Đề số 2
Bài 1 (2 điểm)
1) Đơn giản hóa biểu thức M = A.B
2) Xác định giá trị lớn nhất của biểu thức M
Bài 2 (2 điểm) Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình:
Hai vòi nước cùng chảy vào một bể khô thì sau 12 giờ bể sẽ đầy. Nếu vòi I hoạt động trong 4 giờ rồi ngừng, sau đó vòi II hoạt động trong 3 giờ thì được 3/10 bể. Tìm thời gian để mỗi vòi một mình làm đầy bể.
Bài 3 (2 điểm)
a) Giải hệ phương trình khi m = 3.
b) Xác định giá trị của m để hệ phương trình có một nghiệm duy nhất (x;y) sao cho x và y là hai số đối nhau.
2) Xét hàm số y = - x² với đồ thị là Parabol (P) và hàm số y = x - 2 với đồ thị là đường thẳng (d). Đặt A và B là các điểm giao nhau của (d) và (P). Tính diện tích của tam giác OAB.
Bài 4 (3,5 điểm) Cho nửa đường tròn (O) với đường kính AB và điểm K là trung điểm của cung AB. Chọn một điểm M trên cung KB (không phải K, B). Trên tia AM, chọn điểm N sao cho AN = BM. Kẻ dây BP // KM. Gọi Q là điểm giao nhau của các đường thẳng AP và BM; E là điểm giao nhau của PB và AM.
1) Chứng minh rằng tứ giác PQME là tứ giác nội tiếp đường tròn.
2) Chứng minh rằng tam giác AKN đồng dạng với tam giác BKM.
3) Chứng minh rằng AM.BE = AN.AQ.
4) Đặt R và S là các giao điểm còn lại của QA và QB với đường tròn ngoại tiếp tam giác OMP. Chứng minh rằng khi M di chuyển trên cung KB, trung điểm I của đoạn RS luôn nằm trên một đường thẳng cố định.
Bài 5 (0,5 điểm) Với x > 0, xác định giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x² + 3x + 1/x
2.2 Đáp án cho đề số 2
Bài 1 (2 điểm) Hướng dẫn giải
2) Ta có:
M leq 1 + rac{4}{3} = rac{7}{3}
Vậy giá trị lớn nhất của M là 7/3 khi và chỉ khi x = 0
Bài 2 (2 điểm)
Gọi x và y lần lượt là thời gian để vòi I và vòi II làm đầy bể khi hoạt động một mình (x, y > 12),
Một giờ vòi I đổ đầy 1/x bể, vòi II đổ đầy 1/y bể, và khi cả hai vòi cùng hoạt động trong 1 giờ thì đổ đầy 1/12 bể.
Theo đề bài, ta có phương trình: 1/x + 1/y = 1/12 (1)
4 giờ vòi I làm đầy được 4/x bể; 3 giờ vòi II làm đầy được 3/y bể, do đó ta có:
4/x + 3/y = 3/10 (2)
Từ phương trình (1) và (2) ta có hệ phương trình.
Cộng phương trình (1) và (2) ta được: 1/x = -1/4 + 3/10 = 1/20, từ đó 1/y = 1/12 - 1/20 = 1/30, nên x = 20 và y = 30
Vậy vòi I sẽ làm đầy bể trong 20 giờ, còn vòi II sẽ làm đầy bể trong 30 giờ
Bài 3 (2 điểm) Hướng dẫn
a) Thay giá trị m = 3 vào hệ phương trình ta có
x + 3y = 2 <=> -2x - 6y = -4 <=> -2x = -1
2x + 4y = 3 2x + 4y = 3 x + 3y = 2
<=> x = 1/2 và y = 1/2
Vậy hệ phương trình có nghiệm (1, 2)
Để hệ có nghiệm duy nhất, 2m - 4 phải khác 0, tức là m khác 2 (1), lúc đó hệ có nghiệm
y = 1/(2m - 4), x = 2 - m/(2m - 4) > (2m - 4)y = 1, x + my = 2
x và y là các giá trị đối nhau, nên y = 1/(2m - 4) và x = 2 - m / (2m - 4)
x = (3m - 8)/(2m - 4) và y = 1/(2m - 4) (2)
Từ (1) và (2) ta có: m = 7/3
2) Phương trình hoành độ của giao điểm (P) và (d)
-x2 = x - 2 > x2 + x - 2 = 0 > x1 = 1, y1 = -1 hoặc x2 = -2, y2 = -4 (vì a + b + c = 0)
Vậy A (-2; -4), B (1; -1)
Gọi C là giao điểm của (d) với trục Oy, ta có C(0; 2)
Diện tích SAOB = SOBC + SAOC = BH.OC/2 + AK.OC/2 = |xB|.|-2|/2
Diện tích SAOB = 1.2/2 + 2.2/2 = 3 (đvdt)
Bài 4 (3,5 điểm) Hướng dẫn
1) Xem xét (O), đường kính AB có:
Góc APB = 90°, góc AMB = 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Do đó, góc QPB = 90°, góc QME = 90° (góc kề bù)
Suy ra: Góc QPE + góc QME = 180° nên tứ giác PQME là tứ giác nội tiếp đường tròn
2) K là điểm giữa của cung AB, nên sđ KA = sđ KB => KA = KB (liên hệ giữa cung và dây)
Xem xét tam giác AKN và BKM ta có:
AK = KB (như đã chứng minh);
Góc KAN = KBM (chắn cung KM);
AN = BM (được cho)
Vậy tam giác AKN bằng tam giác BKM
3) Tam giác AMQ và tam giác BME đồng dạng theo tiêu chí góc - góc
Suy ra: AM/BM = AQ/EB
Vì AN = BM (được cho), nên AM.BE = AN.AQ
4) Tam giác OPM vuông và cân tại O nên sđ PM = 90°, tam giác PQB cũng vuông cân nên góc Q là 45°
Góc OSB = OPM = 45° nên góc Q = OSB = 45°, từ đó suy ra SO // AR (1)
Do đó: Góc QRS = SMP (tứ giác PRSM là tứ giác nội tiếp)
Suy ra: Góc QRS = QAB, nên RS // AB (2)
Từ (1) và (2) ta kết luận rằng tứ giác ARSO là hình bình hành.
Chọn điểm I, C, D lần lượt là trung điểm của RS, AO và OB, do đó C và D là các điểm cố định.
Dễ dàng chứng minh rằng các tứ giác ARIC và BSID đều là hình bình hành
Vậy: Góc AQB = CID = 45°, điểm I luôn nhìn đoạn CD cố định dưới góc 45°, nên I nằm trên cung chứa góc 45 độ vẽ trên đoạn CD cố định. Do đó, điểm I nằm trên cung tròn cố định (đpcm)
Bài 5 (0,5 điểm) Hướng dẫn
Có: A = x2 + 3x = 1/x = (x2 - x + 1/4) + (4x + 1/x) - 1/4 = (x - 1/2)2 + (4x + 1/x) - 1/4
Nhận thấy: (x - 1/2)2 >= 0, dấu '=' xảy ra khi x = 1/2
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương: 4x + 1/x >= 4
Dấu '=' xảy ra khi 4x = 1/x <=> x = 1/2, do đó A >= 15/4 và dấu '=' xảy ra khi x = 1/2
Vậy giá trị nhỏ nhất của y là 15/4 khi x = 1/2
