Đề thi học kì 2 môn Toán lớp 11 với các đáp án chi tiết nhất

Đề thi cuối kỳ 2 môn Toán lớp 11 được chọn lọc

I. PHẦN TRẮC NGHIỆM (3 điểm).

Câu 1: Đạo hàm của hàm số y = cot x là hàm số nào?

B. − ∞

D. + ∞

Câu 3: Hàm số y = f(x) = x^3 + x cos x + sin^2 x sin x + 3 liên tục trên:

A. [−1; 1]

B. [1; 5]

C. (−3/2; +∞)

D. R

Câu 4: Các mặt bên của một khối chóp ngũ giác đều là hình gì?

A. Hình vuông. B. Tam giác đều. C. Ngũ giác đều. D. Tam giác cân.

Câu 5: Kết quả của giới hạn lim rac{-3n^2 + 5n + 1}{2n^2 - n + 3} là:

B. + ∞

D. 0

Câu 6: Tìm giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y = f(x) = { x^2 − x − 2x − 2 khi x ≠ 2, m khi x = 2 } liên tục tại x = 2.

A. m = 3 B. m = 1 C. m = 2 D. m = 0

Câu 7: Đạo hàm của hàm số y = (x^3 − 2x^2)^{2019} là:

A. y ′ = 2019 (x^3 − 2x^2)^{2018}

B. y ′ = 2019 (x^3 − 2x^2) (3x^2 − 4x)

C. y ′ = 2019 (x^3 − 2x^2)^{2018} (3x^2 − 4x)

D. y ′ = 2019 (x^3 − 2x^2) (3x^2 − 2x)

Câu 8: Trong hình chóp S.ABC với SA ⊥ (ABC), gọi H và K lần lượt là trực tâm của tam giác SBC và ABC. Mệnh đề nào sau đây là sai?

A. BC ⊥ (SAH).

B. HK ⊥ (SBC).

C. BC ⊥ (SAB).

D. SH, AK và BC đồng quy.

Câu 9: Giá trị của giới hạn lim rac{sqrt{9n^2 − n} − sqrt{n + 2}}{3n − 2} là:

A. 1. B. 0. C. 3. D. + ∞.

Câu 10: Gọi (d) là tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) = −x^3 + x tại điểm M (−2; 6). Hệ số góc của (d) là

A. −11. B. 11. C. 6. D. −12.

Câu 11: Biết rằng giới hạn lim left( (sqrt{5})^n − 2n + 1 + rac{1}{5.2^n} + (sqrt{5})^{n+1} − 3 + 2n^2 + 3n^2 − 1 ight) = rac{asqrt{5}}{b} + c với a, b, c ∈ Z. Tính giá trị của biểu thức S = a^2 + b^2 + c^2.

A. S = 26. B. S = 30. C. S = 21. D. S = 31.

Câu 12: Giá trị của giới hạn lim_{x o +infty} left( sqrt{x^2 + x} − 3 sqrt{x^3 − x^2} ight) là:

A. + ∞.

B. − ∞.

C. 0.

II. PHẦN TỰ LUẬN (7 điểm).

Câu 13: (1.0 điểm) Tìm các giới hạn sau đây:

Câu 14: (1.0 điểm) Chứng minh rằng phương trình 2x^3 − 5x + 1 = 0 có chính xác 3 nghiệm.

Câu 15: (2.5 điểm) Xét hàm số y = f(x) = x^3 − 3x^2 + 1 với đồ thị (C).

a) Xác định phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ là −1.

b) Tìm phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết rằng tiếp tuyến này vuông góc với đường thẳng d có phương trình 3x + 7y − 1 = 0.

Câu 16: (2.5 điểm) Trong hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = 2a.

a) Chứng minh rằng BD ⊥ (SAC).

b) Tính góc giữa SB và mặt phẳng (SAD).

c) Tính giá trị cos của góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SCD).

Hướng dẫn giải chi tiết

I. PHẦN TRẮC NGHIỆM (3,0 điểm).

II. PHẦN TỰ LUẬN (7,0 điểm).

Câu 13 (VD):

Tính các giới hạn sau đây:

Phương pháp giải:

a) Chia cả tử và mẫu cho n^2.

b) Thực hiện thêm bớt 2 và áp dụng nhân liên hợp.

Hướng dẫn giải: 

Câu 14 (VD): Chứng minh rằng phương trình 2x^3 − 5x + 1 = 0 có chính xác 3 nghiệm.

Phương pháp giải:

- Xét hàm số f ( x ) = 2 x^3 − 5 x + 1, hàm này xác định và liên tục trên toàn bộ R.

- Áp dụng định lý: Nếu hàm số liên tục trên [ a ; b ] và f ( a ) . f ( b ) < 0 thì chắc chắn có ít nhất một điểm c ∈ ( a ; b ) sao cho f ( c ) = 0.

Phương pháp giải:

Xem xét hàm số f ( x ) = 2 x^3 − 5 x + 1, hàm này xác định và liên tục trên R.

Tính giá trị của hàm: f ( − 2 ) = − 5 , f ( 0 ) = 1 , f ( 1 ) = − 2 , f ( 2 ) = 7 . Vì f ( − 2 ) . f ( 0 ) = − 5 < 0 nên phương trình f( x ) = 0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng ( − 2 ; 0 ).

Tương tự như vậy:

f ( 0 ) . f ( 1 ) = − 2 < 0, nên phương trình f ( x ) = 0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng ( 0 ; 1 ).

f ( 1 ) . f ( − 2 ) = − 14 < 0, do đó phương trình f ( x ) = 0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng ( 1 ; 2 ).

Vì các khoảng ( − 2 ; 0 ), ( 0 ; 1 ), và ( 1 ; 2 ) không giao nhau, nên phương trình f ( x ) = 0 có ít nhất 3 nghiệm phân biệt. Do đó, 2 x^3 − 5 x + 1 = 0 là phương trình bậc ba, chỉ có thể có tối đa 3 nghiệm phân biệt.

Vậy phương trình 2 x^3 − 5 x + 1 = 0 có đúng 3 nghiệm phân biệt (đpcm).

Câu 15 (VD): Cho hàm số y = f ( x ) = x^3 − 3 x^2 + 1 với đồ thị (C).

a. Tìm phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x = − 1.

b. Tìm phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d có phương trình 3 x + 7 y − 1 = 0.

Phương pháp:

a) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x = x0 được viết là y = f ′ ( x0 ) ( x − x0 ) + f ( x0 ).

b) Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm với hoành độ x = x0 được xác định bởi k = y ′ ( x0 ). Hai đường thẳng y = a x + b và y = a ′ x + b ′ vuông góc với nhau khi và chỉ khi a . a ′ = − 1.

Giải phương trình để tìm x0, từ đó xác định phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x = x0.

Cách giải:

a) TXĐ: D = R.

Ta có: f ′ ( x ) = 3x^2 − 6x ⇒ f ′ ( − 1 ) = 12.

f ( 1 ) = − 3 .

Vì vậy, phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ − 1 là:

y = 12 ( x + 1 ) − 3 ⇔ y = 12 x + 9

Gọi M ( x0 ; y0 ) thuộc ( C ).

Vậy hệ số góc của tiếp tuyến tại M là k = y ′ ( x0 ) = 3.x^2 − 6 x0 .

Để tiếp tuyến của (C) tại M vuông góc với đường thẳng d, ta có k . k ′ = − 1.

+ Với x0 = 7/3 ⇒ y0 = − 71/27, phương trình tiếp tuyến là: y = 7/3 ( x − 7/3 ) − 71/27 = 7/3 x − 218/27

+ Với x0 = − 1/3 ⇒ y0 = 17/27, phương trình tiếp tuyến là: y = 7/3 ( x + 1/3 ) − 17/27 = 7/3 x + 38/27

Vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu: y = 7/3 x − 218/27 hoặc y = 7/3 x + 38/27.

Câu 16 (VD): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông với cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = 2a.

a. Chứng minh rằng BD vuông góc với mặt phẳng (SAC).

b. Tính góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAD).

c. Xác định giá trị cos của góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SCD).

Phương pháp:

a) Áp dụng định lý: d vuông góc với a

d ⊥ b

a ∩ b ⊂ ( P ) ⇒ d ⊥ ( P ) .

b) Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng chính là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó trên mặt phẳng đó. Sử dụng tỷ lệ lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông để tính toán góc.

c) Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng nằm trên hai mặt phẳng khác nhau và đều vuông góc với giao tuyến của chúng.

Cách giải quyết:

a) Do ABCD là hình vuông, nên AC vuông góc với BD.

Vì SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), nên SA cũng vuông góc với BD.

Do đó, BD vuông góc với AC.

BD vuông góc với SA nên BD cũng vuông góc với mặt phẳng (SAC).

b) Chúng ta có: { BA vuông góc với ADBA vuông góc với SA (SA vuông góc với (ABCD)) nên BA vuông góc với (SAD).

Do đó, SA là hình chiếu của SB lên mặt phẳng (SAD).

⇒ ∠ (SB ; (SAD)) = ∠ (SB ; SA) = ∠ ASB

Xem xét tam giác vuông SAB có:

 tan ∠ ASB = AB/SA = a/2a = 1/2 ⇒ ∠ ASB ≈ 27 độ .

Do vậy, góc giữa SB và (SAD) khoảng 27 độ .

c) Gọi O là giao điểm của AC và BD. Trong mặt phẳng (SAC), vẽ OH vuông góc với SC (H thuộc SC).

Chúng ta có: BD vuông góc với (SAC) (như đã giải thích) ⇒ BD vuông góc với SC.

Vậy có: { SC vuông góc với OH

SC vuông góc với BD nên SC cũng vuông góc với (BDH) và do đó SC vuông góc với HD.

Chúng ta có: (SAC) ∩ (SCD) = SC

(SAC) chứa OH vuông góc với SC

(SCD) chứa DH vuông góc với SC

⇒ ∠ ((SAC) ; (SCD)) = ∠ (OH ; DH).

Vì ABCD là hình vuông với cạnh a, nên AC = BD = a√2 ⇒ OD = a√2/2. Ta có: { CD vuông góc với AD, CD vuông góc với SA (SA vuông góc với (ABCD)) ⇒ CD vuông góc với (SAD) ⇒ CD vuông góc với SD,

Do đó, tam giác SCD vuông tại D.

Có: SD = √(SA^2 + AD^2) = √(4a^2 + a^2) = a√5 ⇒ 1/DH^2 = 1/SD^2 + 1/CD^2 = 1/5a^2 + 1/a^2 = 6/5a^2. Do đó, DH = a√30/6.

Xem xét tam giác ΔCOH và ΔCSA có:

∠ACS là góc chung,

∠CHO = ∠CAS = 90 độ.

⇒ ΔCOH đồng dạng với ΔCSA (g.g).

⇒ OHSA = OCSC ⇒ OH/2a = a√ 2 .2 √ 4a^2 + 2a^2 ⇒ OH = a √ 3/3 .

Áp dụng định lý Cosin trong tam giác OHD, ta có:

cos ∠ OHD 

⇒ ∠ OHD là góc nhọn, vì vậy

∠ ( ( SAC ) ; ( SCD ) ) = ∠ OHD .

Do đó, cos ∠ ( ( SAC ) ; ( SCD ) ) = √ 10/5 .