Đề thi môn Toán lớp 10 chọn lọc với đáp án chi tiết

Đề thi môn Toán lớp 10 với đáp án năm học 2022-2023 - Đề số 1

Bài 1: (2 điểm) Cho biểu thức:

với x ≥ 0, x ≠ 9, x ≠ 4

a) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 3 - 2√2

b) Rút gọn biểu thức B

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = A:B

Bài 2: (2 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình. Theo kế hoạch, một nhóm công nhân phải hoàn thành một số sản phẩm trong một khoảng thời gian nhất định. Nếu mỗi ngày họ làm thêm 5 sản phẩm so với kế hoạch, họ sẽ hoàn thành trước thời hạn 4 ngày. Nếu mỗi ngày làm ít hơn 5 sản phẩm, họ sẽ hoàn thành chậm hơn 5 ngày. Tính thời gian và số sản phẩm theo kế hoạch.

Bài 3: (2 điểm)

1) Giải phương trình 2x^4 + x^2 - 6 = 0

2) Cho parabol (P): y = x^2 và đường thẳng (d): y = mx + 2 a) Với m = -1: Vẽ parabol (P) và đường thẳng (d) trên cùng một hệ trục tọa độ. Xác định tọa độ các điểm giao nhau của parabol (P) và đường thẳng (d).

b) Tìm các giá trị của m sao cho đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1, x2 sao cho x1 - 2x2 = 5

Bài 4: (3,5 điểm) Cho đường tròn tâm (O) với dây AB cố định không phải đường kính. Điểm C nằm trên cung lớn AB sao cho tam giác ABC là tam giác nhọn. M và N là trung điểm của cung nhỏ AB và cung AC. Gọi I là điểm giao nhau của BN và CM. Dây MN cắt AB và AC tại các điểm H và K.

a) Chứng minh rằng tứ giác BMHI là tứ giác nội tiếp

b) Chứng minh rằng MK × MN = MI × MC

c) Chứng minh tứ giác AKI là hình thoi và tứ giác AHIK cân tại K

Bài 5: (0,5 điểm) Cho a và b là hai số thực dương thỏa mãn điều kiện ab + 4 ≤ 2b.

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Đáp án cho đề thi số 1

Bài 1:

a) Xét x = 3 - 2√2 = 2 - 2√2.1 + 1 = (√2 - 1)^2

⇒ √x = √(√2 - 1)^2 = |√2 - 1| = √2 - 1 (vì √2 > 1)

Thay √x = √2 - 1 vào biểu thức A ta có:

Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho hai số dương 1 + √x và 3/(1 + √x)

Dấu '=' xảy ra khi:

⇔ 1 + √x = √3 (vì 1 + √x > 0)

⇔ √x = √3 - 1 ⇔ x = 4 - 2√3

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 2√3 - 4, đạt được khi x = 4 - 2√3

Bài 2:

Xác định số sản phẩm dự kiến cần làm mỗi ngày là x (sản phẩm/ngày) với điều kiện x > 5. Thời gian dự kiến hoàn thành là y (ngày) với y > 4.

Số sản phẩm tổng cộng cần hoàn thành là xy (sản phẩm). Nếu mỗi ngày tăng thêm 5 sản phẩm so với kế hoạch, họ sẽ hoàn thành sớm hơn 4 ngày, dẫn đến phương trình:

(x + 5)(y - 4) = xy ⇔ -4x + 5y = 20 (1)

Nếu mỗi ngày giảm 5 sản phẩm so với dự định, họ sẽ hoàn thành kế hoạch muộn hơn 5 ngày, từ đó ta có phương trình:

(x - 5)(y + 5) = xy ⇔ 5x - 5y = 25 (2)

Từ các phương trình (1) và (2), ta giải được hệ phương trình sau đây:

Khi giải xong, số sản phẩm cần hoàn thành là: x.y = 45.40 = 1800 (sản phẩm)

Vậy tổng số sản phẩm cần thực hiện là 1800 sản phẩm và thời gian dự kiến là 40 ngày.

Bài 3:

1) Giải phương trình 2x^4 + x^2 - 6 = 0

Đặt x^2 = t (với t ≥ 0), ta chuyển phương trình thành: 2t^2 + t - 6 = 0

Δ = 1 - 4.2.(-6) = 49

=> Phương trình có hai nghiệm phân biệt

t1 = \frac{-1 + 7}{2.2} = \frac{3}{2}

t2 = \frac{-1 - 7}{2.2} = -2

Vì t ≥ 0 nên t = \frac{3}{2}

x^2 = \frac{3}{2} \rightarrow x = \pm \sqrt{\frac{3}{2}}

Do đó, phương trình có các nghiệm x = \sqrt{\frac{3}{2}} hoặc x = -\sqrt{\frac{3}{2}}

2)

a) Với m = -1, đường thẳng (d): y = -x + 2 và parabol (P): y = x^2

Bảng giá trị:

Đồ thị của parabol (P): y = x^2 là một đường cong nằm phía trên trục hoành, có trục đối xứng là trục Oy và đỉnh tại điểm O (0;0). Đường thẳng y = -x + 2 có bảng giá trị:

Phương trình để xác định hoành độ giao điểm giữa (P) và (d) là: x^2 = -x + 2

⇔ x^2 + x - 2 = 0

⇒ Phương trình này có hai nghiệm là x = 1 và x = -2

Vậy, các điểm giao nhau của (P) và (d) có tọa độ là (1; 1) và (-2; 4)

b) Phương trình xác định hoành độ giao điểm của (P) và (d) là: x^2 = mx + 2

⇔ x2 - mx - 2 = 0 Δ = m² - 4.(-2) = m² + 8 > 0 với mọi m

=> Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt cho mọi giá trị của m. Dựa vào hệ thức Vi-et, ta có:

x1 + x2 = m và x1.x2 = -2

Dựa theo bài toán: x1 - 2x2 = 5 ⇔ x1 = 2x2 + 5

=> (2x2 + 5) x2 = -2

⇔ 2x2² + 5x2 + 2 = 0

Vậy có hai giá trị của m thoả mãn yêu cầu của bài toán là m = -1 và m = 7/2

Bài 4:

a) Xem xét tứ giác HMBI với các đặc điểm sau:

∠HMI = ∠HBI (Hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau, AN = CN)

Hai góc này đều nhìn vào cạnh HI

=> Tứ giác BMHI là tứ giác nội tiếp

b) Xem xét các tam giác ΔMNI và ΔMKC với các đặc điểm sau:

∠KMC là góc chung, ∠MNI = ∠KCM (Hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau, AM = BM)

=> Tam giác ΔMNI ∼ Tam giác ΔMCK

=> MN/MC = MI/MK => MN.MK = MC.MI

c) Xem xét tứ giác NKIC với các đặc điểm sau:

∠KNI = ∠KCI (Hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau, AM = MB)

Hai góc này đều nhìn vào cạnh KI

=> Tứ giác NKIC là tứ giác nội tiếp

=> ∠NKI + ∠NCI = 180° (1)

Xem xét đường tròn (O) với các thông số sau:

∠ANK + ∠NAK = ∠ACM + ∠NCA = ∠NCI (2)

Xem xét tam giác AKN với các thông số sau:

∠ANK + ∠NAK + ∠NKA = 180° (3)

Từ (1), (2), (3) => ∠NKI = ∠NKA

Xem xét tam giác IKN và tam giác AKN với các thông số sau:

∠NKI = ∠NKA, KN là cạnh chung

∠KNI = ∠KNA (Hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau)

=> Tam giác ΔIKN bằng với ΔAKN

=> IK = AK

=> Tam giác ΔAKI cân tại K, và tứ giác NKIC là tứ giác nội tiếp

Góc KIN = góc KCN (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung KN)

Góc IKC = góc BNC (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung IC) (*)

Ngoài ra, ∠KCN = ∠ABN (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung AN của (O))

∠BAC = ∠BNC (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung BC của (O))

=> Góc KIN = góc ABN, và góc BAC = góc IKC

=> AH // KI và AK // HI

=> Tứ giác AHIK là hình bình hành

Vì IK = AK

=> Tứ giác AHIK là hình thoi

Bài 5: 2b ≥ ab + 4 ≥ 4√ab (Dựa theo bất đẳng thức Cô-si)

=> a/b <= 1/4

Giả sử a/b = t; t <= 1/4, ta có:

P = (ab)/(a² + 2b²)

=> 1/P = (a² + 2b²)/ab = a/b + 2b/a = t + 2/t = (t + 1/16t) + 31/16t

Do đó, giá trị lớn nhất của P là 4/33 khi b = 4a và ab + 4 <= 2b => a >= 1 và b = 4a

Đề thi tuyển sinh lớp 10 môn Toán năm học 2022-2023 - Đề số 2

Bài 1: (2 điểm) Xét biểu thức

(ĐKXĐ: x ≥ 0; x ≠ 1; x ≠ 9)

a) Tính giá trị của biểu thức M khi x = 9

b) Rút gọn biểu thức N

c) Xác định giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Bài 2: (2 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình. Hai người cùng thực hiện một công việc trong 7 giờ 12 phút thì hoàn thành. Nếu làm một mình, người thứ nhất hoàn thành công việc chậm hơn người thứ hai 6 giờ. Hỏi thời gian làm việc của mỗi người nếu làm một mình để hoàn tất công việc.

Bài 3: (2 điểm)

1) Giải hệ phương trình sau:

2) Xét phương trình x² + (m + 2)x + 2m = 0 ()

a) Chứng minh rằng phương trình () luôn có hai nghiệm x1, x2 cho mọi giá trị của m

b) Tìm biểu thức liên hệ giữa x1 và x2 mà không phụ thuộc vào m.

Bài 4: (3,5 điểm) Cho đường tròn (O; R) với đường kính AB. Kẻ tiếp tuyến Ax tại điểm A. Chọn điểm M trên tia Ax, và kẻ tiếp tuyến MC với đường tròn tại điểm C (C khác A). Tiếp tuyến tại B cắt AC tại D và cắt MC tại F. Nối OM và cắt AC tại E.

1) Chứng minh rằng tứ giác OBDE là tứ giác nội tiếp

2) Chứng minh rằng AC · AD = 4R²

3) Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ΔMOF

Bài 5: (0,5 điểm) Giải phương trình sau:

Đáp án cho đề số 2

Bài 1:

Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho hai số không âm √x + 3 và 25 / √x + 3, ta có:

Dấu '=' xảy ra trong trường hợp nào:

√x + 3 = 25/√x + 3

⇔ (√x + 3)² = 25

⇔ √x + 3 = 5 (bởi vì √x + 3 > 0)

⇔ √x = 2 ⇔ x = 4

Do đó, giá trị nhỏ nhất của P là 16, đạt được khi x = 4

Bài 2:

7 giờ 12 phút tương đương với 36/5 giờ

Gọi thời gian người đầu tiên hoàn thành công việc một mình là x (giờ) (x > 36/5)

Thời gian người thứ hai hoàn thành công việc một mình là y (giờ) (y > 36/5)

=> Trong 1 giờ, người đầu tiên hoàn thành được 1/x công việc

Trong 1 giờ, người thứ hai hoàn thành được 1/y công việc

Khi cả hai cùng làm việc, họ hoàn thành công việc trong 7 giờ 12 phút, do đó ta có phương trình:

1/x + 1/y = 5/36 (1)

Người đầu tiên hoàn thành công việc chậm hơn người thứ hai 6 giờ, do đó ta có phương trình: x - y = 6 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

Giải phương trình (*)

So sánh với điều kiện, ta có y = 12 => x = y + 6 = 18

Do đó, người đầu tiên hoàn thành công việc trong 18 giờ khi làm một mình, trong khi người thứ hai hoàn thành trong 12 giờ.

Bài 3:

Hệ phương trình lúc này trở thành:

Do đó, hệ phương trình cho sẵn có nghiệm duy nhất là (x, y) = (3/2, 3)

2) x² + (m + 2)x + 2m = 0 (*)

a) Δ = (m + 2)² - 4.2m = m² + 4m + 4 - 8m = (m - 2)² ≥ 0 ∀m

=> Phương trình (*) luôn có hai nghiệm x1 và x2 đối với mọi giá trị của m

b) Áp dụng định lý Vi-ét, ta có:

x1 + x2 = -m - 2 và x1.x2 = 2m

=> 2(x1 + x2) + x1.x2 = -2(m + 2) + 2m = -4

Vậy công thức 2(x1 + x2) + x1.x2 = -4 là một mối liên hệ giữa hai nghiệm x1 và x2 không phụ thuộc vào m

Bài 4:

a) M là điểm chung của hai tiếp tuyến MC và MA

=> MO là đường trung trực của đoạn thẳng AC

=> MO vuông góc với AC

Xem xét tứ giác OBDE có:

∠OED = 90° (vì MO vuông góc với AC)

∠OBD = 90° (vì BD là tiếp tuyến của (O))

=> ∠OED + ∠OBD = 180°

=> Tứ giác OBDE là tứ giác nội tiếp

b) Xem xét tam giác ABD vuông tại D với BC là đường cao

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông:

AC.AD = AB² = (2R)² = 4R²

Do đó, AC.AD = 4R²

c) Hai tiếp tuyến MC và Ma cắt nhau tại điểm M

=> OM là tia phân giác của góc ∠COA

=> ∠COM bằng một nửa góc COA

Hai tiếp tuyến CF và FB giao nhau tại điểm F

=> OF là tia phân giác của góc ∠COB => ∠COF bằng một nửa góc COB

Do đó:

Tam giác MOF vuông tại O

=> Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác MOF là trung điểm I của MF. Tam giác MIO cân tại I

=> ∠IOM = ∠IMO

Ngoài ra, ta có: ∠AMO = ∠IMO (vì MO là tia phân giác của ∠AMI)

=> ∠AMO = ∠IOM (1)

Tam giác MAO vuông tại A

=> ∠AMO + ∠AOM = 90°

(2) Từ (1) và (2) => ∠IOM + ∠AOM = 90° ⇔ ∠AOI = 90° hoặc AO vuông góc với OI

=> AB là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác MOF

Bài 5:

Điều kiện xác định: x ≥ 2

Khi đó, phương trình đã cho trở thành: a = -a² + 2

⇔ a² + a - 2 = 0

⇔ a = 1 hoặc a = -2

Vì a < 0 nên chọn a = -2

Với a = -2, ta có:

Do đó, phương trình có nghiệm x = 2.

Mytour đã chia sẻ tới các bạn hai mẫu đề thi vào lớp 10 kèm đáp án cho năm học 2022 - 2023. Mong rằng bài viết này sẽ giúp các em học sinh lớp 9 chuẩn bị thật tốt cho kỳ thi sắp tới. Chúc các em học tập hiệu quả!