Đề thi môn Toán vào lớp 10 tại tỉnh An Giang kèm đáp án

1. Đề thi môn Toán lớp 10 tại tỉnh An Giang

Bài 1. (3,0 điểm)

Giải các bài toán và hệ phương trình dưới đây:

b. x⁴ - 18x² + 81 = 0

Bài 2. (2,5 điểm)

a. Vẽ đồ thị của hàm số y = f(x) trên hệ trục tọa độ Oxy.

b. Chứng minh rằng đồ thị của hai hàm số đã cho luôn có hai điểm giao nhau.

c. Gọi y₁ và y₂ là các tọa độ y của các điểm giao nhau. Tìm giá trị của a sao cho y₁ + y₂ = 28

Bài 3. (1,0 điểm)

Xét phương trình bậc hai x² - 2mx + 2m - 3 = 0 với m là tham số.

a. Giải phương trình khi m = 0,5.

b. Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm có dấu trái ngược nhau.

Bài 4. (2,5 điểm)

Xét tam giác ABC (AB < AC) nằm trong đường tròn (O) với O là tâm và BC là đường kính. Một đường thẳng đi qua O và vuông góc với BC cắt AC tại D.

a. Chứng minh rằng tứ giác ABOD là tứ giác nội tiếp.

Bài 5. (1,0 điểm)

Chọn một trong hai câu sau để giải quyết:

Câu 1. Cây bạch đàn mỗi năm tăng thêm 1m chiều cao, trong khi cây phượng chỉ tăng 50cm mỗi năm. Khi mới vào trường, cây bạch đàn cao 1m và cây phượng cao 3m. Giả sử tốc độ tăng trưởng của hai cây là không đổi qua các năm.

a. Viết hàm số thể hiện chiều cao của mỗi loại cây theo số năm từ khi mới vào trường.

b. Sau bao nhiêu năm kể từ khi mới vào trường thì cây bạch đàn sẽ cao hơn cây phượng?

Câu 2. Một chiếc đu quay có bán kính 75m và tâm của nó nằm ở độ cao 80m so với mặt đất. Thời gian để đu quay hoàn thành một vòng là 30 phút. Nếu một người ngồi ở vị trí thấp nhất của đu quay, sau 10 phút người đó sẽ ở độ cao bao nhiêu mét so với mặt đất (giả sử đu quay quay đều)?

2. Đáp án cho đề thi môn Toán lớp 10 tại tỉnh An Giang

Bài 1. (3,0 điểm)

Phương pháp giải:

Ta có:

b) x⁴ - 18x² + 81 = 0

Phương trình được viết lại thành:

t² - 18t + 81 = 0

⇔ t² - 2 cdot t cdot 9 + 9² = 0

⇔ (t - 9)² = 0

⇔ t = 9 (đúng)

Do đó, hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (x; y) = (4; -2).

Bài 2. (2,5 điểm)

a) Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) trên hệ trục tọa độ Oxy.

Dưới đây là bảng giá trị tương ứng:

Vì vậy, đồ thị hàm số là một parabol đi qua 5 điểm có tọa độ (-2; 4); (-1; 1); (0; 0); (1; 1); (2; 4).

Đồ thị của hàm số y = x² với a = 1 > 0 sẽ tạo thành một parabol có phần lõm hướng lên trên và trục đối xứng là trục Oy.

Chúng ta có thể vẽ đồ thị của hàm số như sau:

b) Chứng minh rằng đồ thị của hai hàm số đã cho luôn có hai điểm giao nhau

Hoành độ của các điểm giao nhau giữa hai đồ thị hàm số là nghiệm của phương trình

x² = 3ax - a² ⇔ x² - 3ax + a² = 0 (1)

Do đó, phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

Vì vậy, đồ thị của hai hàm số luôn có hai điểm giao nhau.

c) Đặt y₁ và y₂ là các tung độ của các điểm giao nhau giữa hai đồ thị. Tìm giá trị của a sao cho tổng y₁ + y₂ bằng 28.

Gọi x₁ và x₂ là các hoành độ của các điểm giao nhau giữa hai đồ thị. Khi đó:

y₁ + y₂ = 28 ⇔ 3ax₁ - a² + 3ax₂ - a² = 28

⇔ 3a (x₁ + x₂) - 2a² = 28 (2)

Áp dụng định lý Vi-ét, ta có x₁ + x₂ = 3a. Thay vào (2), ta được:

(2) ⇔ 3a cdot 3a - 2a² = 28

⇔ 9a² - 2a² = 28

⇔ 7a² = 28

⇔ a² = 4

Bài 3. (1,0 điểm)

Phương pháp giải:

Xét phương trình bậc hai x² - 2mx + 2m - 3 = 0 (với m là tham số).

a) Giải phương trình khi m = 0,5

Khi m = 0,5, phương trình trở thành x² - 2×0,5x + 2×0,5 - 3 = 0

⇔ x² - x - 2 = 0

Vậy khi m = 0,5, phương trình có tập nghiệm S = {-1, 2}

b) Tìm giá trị của m sao cho phương trình có hai nghiệm trái dấu

Bài 4. (1,0 điểm)

Phương pháp giải:

⇒ ABOD là một tứ giác nội tiếp (tứ giác mà tổng của hai góc đối nhau bằng 180º)

Chúng ta có: OA = OB = 2 cm (=R), OP = OB + PB = 4 cm

Sử dụng định lý Pytago trong tam giác vuông OAP, ta có:

OA² + AP² = OP²

⇒ 2² + AP² = 4²

⇔ 4 + AP² = 16

⇔ AP² = 12

Bài 5. (1,0 điểm)

Phương pháp giải:

Câu 1. Cây bạch đàn tăng chiều cao 1m mỗi năm, trong khi đó cây phượng chỉ tăng 50cm mỗi năm. Khi mới vào trường, cây bạch đàn có chiều cao 1m và cây phượng có chiều cao 3m. Giả sử tốc độ tăng trưởng của hai loại cây là không đổi theo thời gian.

a) Xác định hàm số mô tả chiều cao của mỗi loại cây theo số năm kể từ khi mới vào trường.

Gọi x là chiều cao của cây bạch đàn sau n năm (m; x > 1).

Gọi y là chiều cao của cây phượng sau m năm (m; y > 3).

+ 

Chiều cao của cây bạch đàn sau 1 năm đạt 1 + 1 = 2 (m).

Sau 2 năm, chiều cao của cây bạch đàn là: 1 + 2.1 = 3 (m).

Sau 3 năm, chiều cao của cây bạch đàn là: 1 + 3.1 = 4 (m).

...

Chiều cao của cây bạch đàn sau n năm sẽ là: 1 + n.1 = n + 1 (m).

Do đó, hàm số thể hiện chiều cao của cây bạch đàn sau n năm là: x = n + 1

+ 

Sau 1 năm, chiều cao cây phượng là: 3 + 0,5 = 3,5 (m).

Chiều cao của cây phượng sau 2 năm đạt: 3 + 2 imes 0,5 = 4 (m)

Sau 3 năm, cây phượng có chiều cao là: 3 + 3 imes 0,5 = 4,5 (m)

...

Chiều cao cây phượng sau n năm sẽ là: 3 + n imes 0,5 = 0,5n + 3 (m)

Do đó, hàm số mô tả chiều cao cây phượng sau n năm là: y = 0,5n + 3.

b) Sau bao nhiêu năm từ lúc cây mới vào trường thì cây bạch đàn sẽ cao hơn cây phượng?

⇔ k + 1 > 0,5k + 3

⇔ 0,5k > 2

⇔ k > 4

Sau 5 năm từ khi cây mới vào trường, cây bạch đàn sẽ vượt chiều cao cây phượng.

Câu 2.

Gọi điểm xuất phát của người đó là điểm A.

Do thời gian hoàn thành một vòng của đu quay là 30 phút, nên sau 10 phút, người đó đã đi được 1/3 vòng tròn và đang ở điểm B như hình minh họa bên dưới:

Vì OA' B' H là hình chữ nhật (tứ giác có ba góc vuông), do đó HB' = OA' = 80 (m)

Do đó, BB' = BH + HB' = 37,5 + 80 = 117,5 (m).

Vậy sau 10 phút, người đó đạt độ cao 117,5m so với mặt đất.