Điểm cực trị của hàm số

Điểm cực trị của hàm số là giá trị khi hàm số thay đổi hướng biến thiên. Trong hình học, nó biểu thị khoảng cách lớn nhất từ một điểm này sang điểm khác và khoảng cách nhỏ nhất từ một điểm này sang một điểm khác. Trên hệ tọa độ Descartes, điểm cực đại là điểm cao nhất trên trục tọa độ và điểm cực tiểu là điểm thấp nhất.

Giá trị cực đại không phải là giá trị lớn nhất và giá trị cực tiểu không phải là giá trị nhỏ nhất của hàm số

Điểm cực đại hàm số một biến

Định nghĩa

Cho hàm số y=f(x)y = f(x)y=f(x) xác định trên DDD.

• $x_0\in D$ là điểm cực đại của hàm số f(x)f(x)f(x) nếu tồn tại (a;b)⊂D(a;b) subset D(a;b)⊂D chứa x0x_{0}x0​ sao cho f(x)giá trị cực đại của hàm số y=f(x)y = f(x)y=f(x).

Tính chất 1

Cho hàm số y=f(x)y = f(x)y=f(x) xác định trên DDD.

• $x_i\in D$ là điểm cực tiểu của hàm số f(x)f(x)f(x) nếu tồn tại (a;b)⊂D(a;b) subset D(a;b)⊂D chứa x0x_{0}x0​ sao cho f(x)>f(x0)∀x∈(a;b)f(x) > f(x_{0}) orall x in (a;b)f(x)>f(x0​)∀x∈(a;b). Khi đó f(x0)f(x_{0})f(x0​) được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số y=f(x)y = f(x)y=f(x).

Tính chất 2

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ và các giá trị $x_i$ sao cho $f^{\prime }\left(x_i\right)=0$.

• Nếu $f^{″}\left(x_i\right)>0$ thì hàm số đạt cực tiểu tại $x_i$
• Nếu thì hàm số đạt cực đại tại $x_i$
• Nếu $f^{″}(x_i=0$ thì không thể kết luận được gì

Cực trị hàm nhiều biến

Điều kiện cần để hàm z= f(x₁, x₂,..., x_n) có cực trị là dz = f₁ dx₁ + f₂ dx₂ +... + f_n dx_n = 0.

dz = 0 khi và chỉ khi f₁ dx₁ = f₂ dx₂ =... = f_n dx_n = 0

dz được biểu diễn bằng ma trận Hessian:

Từ ma trận H có các ma trận con , ,..., .

Điều kiện để hàm đạt cực đại là det(H₁) < 0, det(H₂) > 0, det(H₃) < 0,..., (-1) det(H_n) > 0

Điều kiện để hàm đạt cực tiểu là det(H₁), det(H₂), det(H₃),..., det(H_n) > 0