Điện trở suất và độ dẫn điện

Điện trở suất (tiếng Anh: electrical resistivity) là một tính chất quan trọng của vật liệu, biểu thị khả năng cản trở dòng điện. Ngược lại, điện dẫn suất cho thấy khả năng dẫn điện của vật liệu. Điện trở suất thấp nghĩa là vật liệu có khả năng dẫn điện tốt. Ký hiệu của điện trở suất là chữ cái Hy Lạp ρ (rho). Đơn vị SI của điện trở suất là ohm-mét (Ω⋅m). Ví dụ, một dây dẫn dài 1 m có điện trở 1 Ω thì điện trở suất của vật liệu làm dây dẫn là 1 Ω⋅m.

Điện dẫn suất hay độ dẫn điện riêng (tiếng Anh: electrical conductivity) là nghịch đảo của điện trở suất, biểu thị khả năng dẫn điện của vật liệu. Điện dẫn suất thường được ký hiệu bằng chữ cái Hy Lạp σ (sigma), nhưng đôi khi cũng dùng κ (kappa) hoặc γ (gamma). Đơn vị SI của điện dẫn suất là siemens trên mét (S/m).

Định nghĩa

Trường hợp lý tưởng

Trong trường hợp lý tưởng, cấu trúc vật lý và tiết diện của vật liệu được xem xét đồng đều trên toàn bộ mẫu, còn điện trường và mật độ dòng điện song song và không đổi. Nhiều điện trở và chất dẫn điện thực tế có tiết diện đồng đều, dòng điện không đổi, và được làm từ một vật liệu duy nhất, nên mô hình này cũng khá chính xác. Trong trường hợp này, điện trở suất ρ có thể được tính bằng công thức:

$\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}=R\frac{A}{\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}},$

trong đó

R là điện trở của mẫu vật liệu đồng đều

ℓ là chiều dài của mẫu vật liệu

A là diện tích tiết diện của mẫu vật liệu

Cả điện trở và điện trở suất đều thể hiện khả năng cản trở dòng điện của một chất. Tuy nhiên, không như điện trở, điện trở suất là một tính chất nội tại. Điều này có nghĩa là mọi dây dẫn bằng đồng nguyên chất (không bị biến dạng cấu trúc tinh thể, v.v.) đều có cùng điện trở suất, bất kể hình dạng và kích thước. Tuy nhiên, một dây đồng dài và mảnh sẽ có điện trở lớn hơn nhiều so với một dây đồng ngắn và dày. Mỗi vật liệu đều có điện trở suất riêng của nó. Ví dụ, cao su có điện trở suất cao hơn nhiều so với đồng.

Trong tương quan thủy lực, dòng điện chạy qua vật liệu có điện trở suất cao giống như nước chảy qua ống dẫn chứa đầy cát — trong khi dòng điện chạy qua vật liệu có điện trở suất thấp giống như nước chảy qua ống rỗng. Nếu các ống đều có cùng hình dạng và kích thước, một ống dẫn đầy cát sẽ cản trở dòng chảy nhiều hơn. Tuy nhiên, sự cản trở này không chỉ phụ thuộc vào việc có cát hay không, mà còn phụ thuộc vào chiều dài và chiều rộng của ống: ống ngắn hay rộng cản trở ít hơn ống dài hoặc mảnh.

Phương trình trên có thể biến đổi thành định luật Pouillet (được đặt tên theo Claude Pouillet):

$R=\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}\frac{\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}}{A}.$

Điện trở của một vật liệu tỷ lệ thuận với chiều dài và tỷ lệ nghịch với diện tích tiết diện. Do đó, đơn vị của điện trở suất có thể được biểu diễn bằng 'ohm mét' (Ω⋅m) — tức là ohm chia cho mét (chiều dài) rồi nhân cho mét vuông (diện tích tiết diện).

Điện dẫn suất, σ, là nghịch đảo của điện trở suất:

$\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}=\frac{1}{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}.$

Điện dẫn suất có đơn vị SI là 'siemens trên mét' (S/m).

Đại lượng vô hướng tổng quát

Trong những trường hợp phức tạp hơn, như hình dạng không đều hoặc dòng điện và điện trường thay đổi tại các điểm khác nhau, cần sử dụng biểu thức tổng quát hơn, nơi điện trở suất tại một điểm được định nghĩa là tỷ số giữa điện trường và mật độ dòng điện tại điểm đó:

$\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}=\frac{E}{J},$

trong đó

ρ là điện trở suất của vật liệu

E là độ lớn của điện trường,

J là độ lớn của mật độ dòng điện,

trong đó E và J ở bên trong vật dẫn.

Tương tự, điện dẫn suất là nghịch đảo của điện trở suất, tức

$\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}=\frac{1}{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}=\frac{J}{E}.$

Ví dụ, cao su là vật liệu có ρ lớn và σ nhỏ — ngay cả khi điện trường rất lớn cũng khó tạo ra dòng điện bên trong nó. Ngược lại, đồng có ρ nhỏ và σ lớn — chỉ cần một điện trường nhỏ cũng có thể tạo ra dòng điện lớn chạy qua nó.

Khi điện trường và mật độ dòng điện không đổi, từ công thức tổng quát có thể suy ra công thức lý tưởng ở trên.

Nếu điện trường không đổi, nó bằng hiệu điện thế trên toàn bộ vật dẫn V chia cho chiều dài vật dẫn ℓ:

$E=\frac{V}{\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}}.$

Nếu mật độ dòng điện không đổi, nó bằng cường độ dòng điện chia cho diện tích tiết diện:

$J=\frac{I}{A}.$

Thay các biểu thức của E và J vào công thức tổng quát, ta có:

$\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}=\frac{VA}{I\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}}.$

Theo định luật Ohm, ta có: V/I = R nên ta suy ra:

$\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}=R\frac{A}{\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}}.$

Điện trở suất tenxơ

Khi vật liệu có điện trở suất hướng theo thành phần, cần sử dụng định nghĩa tổng quát nhất từ dạng vectơ-tenxơ của định luật Ohm, liên hệ giữa điện trường và dòng điện. Mặc dù là phương trình tổng quát, nó chỉ được dùng trong trường hợp dị hướng khi không thể dùng các định nghĩa đơn giản hơn.

Dị hướng nghĩa là vật liệu có tính chất khác nhau theo các hướng khác nhau. Ví dụ, tinh thể than chì có các lớp graphit xếp chồng, dòng điện chạy dễ dàng qua một lớp nhưng khó hơn khi chuyển từ lớp này sang lớp khác. Trong trường hợp này, dòng điện không hoàn toàn cùng hướng với điện trường, do đó phương trình được tổng quát thành dạng tenxơ ba chiều:

$J=\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}E\iff <!--\; \iff \; -->E=\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}J$

trong đó độ dẫn điện σ và điện trở suất ρ là các tenxơ bậc 2, còn điện trường E và mật độ dòng điện J là các vectơ. Các tenxơ này có thể được biểu diễn bằng ma trận 3×3, các vectơ bằng ma trận 3×1 và thực hiện phép nhân ma trận ở vế phải của phương trình. Dạng ma trận của biểu thức này là:

trong đó

E là vectơ điện trường, với các thành phần (E_x, E_y, E_z),

σ là tenxơ điện dẫn suất, biểu diễn bằng ma trận 3×3,

J là vectơ mật độ dòng điện, với các thành phần (J_x, J_y, J_z).

Dùng ký hiệu Einstein, điện trở suất có thể được viết gọn lại thành:

$E_i={\rho }_{ij}{J}_j$

Biểu thức của từng thành phần điện trường là:

$E_x={\rho }_{xx}{J}_x+{\rho }_{xy}{J}_y+{\rho }_{xz}{J}_z.$

$E_y={\rho }_{yx}{J}_x+{\rho }_{yy}{J}_y+{\rho }_{yz}{J}_z.$

$E_z={\rho }_{zx}{J}_x+{\rho }_{zy}{J}_y+{\rho }_{zz}{J}_z.$

Do hệ tọa độ có thể chọn tùy ý, quy ước thông dụng là chọn trục x song song với chiều dòng điện để J_y = J_z = 0. Khi đó:

${\rho }_{xx}=\frac{E_x}{J_x},{\rho }_{yx}=\frac{E_y}{J_x},\text{và}{\rho }_{zx}=\frac{E_z}{J_x}.$

Khả năng dẫn điện cũng được mô tả như sau:

hoặc dưới dạng ký hiệu Einstein:

$J_i={\sigma }_{ij}{E}_j$

Cả hai đều cho chúng ta:

$J_x={\sigma }_{xx}{E}_x+{\sigma }_{xy}{E}_y+{\sigma }_{xz}{E}_z$

$J_y={\sigma }_{yx}{E}_x+{\sigma }_{yy}{E}_y+{\sigma }_{yz}{E}_z$

$J_z={\sigma }_{zx}{E}_x+{\sigma }_{zy}{E}_y+{\sigma }_{zz}{E}_z$

Có thể thấy rằng ρ và σ là ma trận nghịch đảo của nhau. Tuy nhiên, trong trường hợp tổng quát, các thành phần của ma trận không phải lúc nào cũng là nghịch đảo của nhau; ví dụ, σxx không nhất thiết phải bằng 1/ρxx. Một minh chứng là hiệu ứng Hall, nơi mà ρxy không bằng không. Trong hiệu ứng Hall, với sự bất biến quay quanh trục z, ta có ρyy = ρxx và ρyx = −ρxy, làm đơn giản hóa mối quan hệ giữa điện trở suất và điện dẫn suất:

${\sigma }_{xx}=\frac{{\rho }_{xx}}{{\rho }_{xx}^2+{\rho }_{xy}^2},{\sigma }_{xy}=\frac{-{\rho }_{xy}}{{\rho }_{xx}^2+{\rho }_{xy}^2}$

Nếu điện trường song song với dòng điện, ρxy và ρxz sẽ bằng không. Trong trường hợp này, chỉ cần ρxx để biểu diễn điện trở suất. Khi đó, ta có thể viết ρ bằng các công thức đơn giản hơn.

Điện dẫn suất và hạt mang điện

Liên hệ giữa mật độ dòng điện và tốc độ dòng điện

Dòng điện là sự di chuyển có định hướng của các điện tích. Các điện tích này được gọi là hạt mang điện. Trong kim loại và chất bán dẫn, hạt mang điện là electron; trong chất điện li và khí ion hóa, hạt mang điện là ion âm và ion dương. Mật độ dòng điện của một hạt mang điện được tính theo công thức:

$\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{j}=qn{\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{\upsilon <!--\; \upsilon \; -->}}}_a$,

trong đó n là mật độ hạt mang điện (số lượng hạt trong một đơn vị thể tích), q là điện tích của mỗi hạt, và ${\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{\upsilon <!--\; \upsilon \; -->}}}_a$ là vận tốc trung bình của chúng. Đối với dòng điện có nhiều loại hạt mang điện khác nhau:

$\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{j}=\underset{j}{\sum <!--\; \sum \; -->}{j}_i$.

trong đó ji là mật độ dòng điện của hạt thứ i.

Điện trở suất và điện dẫn suất của các loại vật liệu khác nhau

• Kim loại là chất dẫn điện tốt với điện trở suất thấp và điện dẫn suất cao.
• Thủy tinh là chất cách điện với điện trở suất cao và điện dẫn suất thấp.
• Chất bán dẫn có điện dẫn suất trung bình, nhưng giá trị này có thể thay đổi theo các yếu tố môi trường như điện trường, ánh sáng ở tần số nhất định, nhiệt độ và thành phần của chất bán dẫn.

Pha tạp chất làm thay đổi khả năng dẫn điện của chất bán dẫn một cách đáng kể. Càng nhiều tạp chất, khả năng dẫn điện càng tăng. Điện dẫn suất của dung dịch nước phụ thuộc vào nồng độ muối hòa tan và các chất hóa học khác làm điện li. Khả năng dẫn điện của mẫu nước phản ánh độ tinh khiết của nó; nước càng tinh khiết, điện dẫn suất càng thấp.

Bảng dưới đây tóm tắt ước tính điện trở suất và điện dẫn suất của các loại vật liệu chính:

Bảng dưới đây liệt kê điện trở suất ρ, điện dẫn suất σ và hệ số nhiệt độ của một số vật liệu tại 20 °C (68 °F, 293 K).

Hệ số nhiệt độ phụ thuộc vào nhiệt độ và độ tinh khiết của vật liệu. Giá trị tại 20 °C chỉ là xấp xỉ và có thể thay đổi ở nhiệt độ khác. Chẳng hạn, đối với đồng, hệ số này giảm khi nhiệt độ tăng, và ở 0 °C hệ số là 0.00427.

Khả năng dẫn điện vượt trội của bạc và các kim loại khác là đặc tính điển hình của kim loại. George Gamow đã giải thích điều này một cách đơn giản trong cuốn sách khoa học phổ thông của ông, One, Two, Three...Infinity (1947):

Kim loại khác với các chất khác ở chỗ lớp vỏ ngoài cùng của nguyên tử chúng kết nối khá lỏng lẻo, cho phép electron di chuyển tự do. Do đó, bên trong kim loại có một biển electron rời rạc di chuyển không định hướng như một đám người di cư. Khi áp dụng lực điện lên hai đầu dây kim loại, các electron tự do này nhanh chóng đi theo hướng của lực điện, tạo thành dòng điện mà chúng ta biết.

Thuật ngữ 'mô hình electron tự do' cung cấp một mô tả cơ bản về dòng chảy của electron trong kim loại.

Gỗ là chất cách điện tốt, nhưng điện trở suất của nó thay đổi theo độ ẩm. Gỗ ướt dẫn điện tốt hơn gỗ khô ít nhất 10 lần. Với hiệu điện thế đủ lớn, như tia sét hay đường dây cao thế, gỗ khô cũng có thể mất khả năng cách điện và gây giật điện.

Chú thích

Tài liệu tham khảo

• Paul Tipler (2004). Physics for Scientists and Engineers: Electricity, Magnetism, Light, and Elementary Modern Physics (ấn bản 5). W. H. Freeman. ISBN 978-0-7167-0810-0.
• Measuring Electrical Resistivity and Conductivity

Liên kết ngoài

• “Độ dẫn điện”. Sixty Symbols. Brady Haran cho Đại học Nottingham. 2010.
• So sánh độ dẫn điện của các nguyên tố khác nhau trên WolframAlpha
• Độ dẫn điện tổng và từng phần. “Độ dẫn điện” (PDF).