Định đề Euclid về các đường thẳng song song

Trong hình học, định đề song song (tiếng Anh: parallel postulate) hay định đề thứ năm của Euclid, là một tiên đề trong hình học Euclid, phát biểu rằng:

Nếu một đoạn thẳng cắt hai đường thẳng khác mà tạo ra hai góc ở cùng một phía có tổng số đo nhỏ hơn hai góc vuông, hai đường thẳng đó sẽ cắt nhau tại phía có hai góc có tổng số đo nhỏ hơn hai góc vuông đó khi kéo dài ra.

Mặc dù không nói trực tiếp về các đường thẳng song song, định đề này dẫn đến khái niệm song song của chúng. Euclid đã định nghĩa các đường thẳng song song trong câu thứ 23 của cuốn 1, trước khi đề cập đến 5 tiên đề hình học.

Năm tiên đề, trong đó có tiên đề thứ năm, là nền tảng của hình học Euclid - lĩnh vực hình học nơi tất cả năm tiên đề đều được chấp nhận, bao gồm cả định đề song song. Một thời gian dài, người ta coi định đề này là hiển nhiên và không cần chứng minh, một phần vì các nhà toán học không thể chứng minh nó. Tuy nhiên, một số nhà toán học đã phản đối định đề này, dẫn đến sự phát triển của các lĩnh vực hình học mới gọi là hình học phi Euclid. Cũng có một nhánh hình học chỉ dựa vào bốn tiên đề đầu tiên của Euclid, được gọi là hình học tuyệt đối hay hình học trung lập.

Các định lý tương đương

Có nhiều cách phát biểu tương đương về định đề này trong toán học, một trong số đó là tiên đề của Playfair, đặt theo tên nhà toán học người Scotland John Playfair, với nội dung như sau:

Trong mặt phẳng, qua một điểm không nằm trên một đường thẳng cho trước, có thể vẽ một và chỉ một đường thẳng đi qua điểm đó và song song với đường thẳng cho trước.

Định đề này không hoàn toàn tương đương về mặt logic với nguyên bản của Euclid - có những loại hình học mà định đề này đúng, nhưng cũng có loại không đúng. Tuy nhiên, trong hình học Euclid, định đề này có thể được sử dụng để chứng minh các định lý còn lại, từ đó có ý nghĩa tương đương trong hình học tuyệt đối.

Nhiều mệnh đề tương đương với định đề song song đã được đề xuất. Một số mệnh đề này có vẻ không liên quan trực tiếp đến khái niệm song song, trong khi số khác cố gắng chứng minh định đề này bằng cách sử dụng giả thuyết đó một cách vô thức. Các mệnh đề đáng chú ý bao gồm:

1. Chỉ có một đường thẳng duy nhất có thể vẽ song song với đường thẳng cho trước qua một điểm không nằm trên đường thẳng đó - định đề của Playfair.
2. Tổng ba góc của bất kỳ tam giác nào đều bằng 180° - định đề tam giác.
3. Luôn tồn tại ít nhất một tam giác có tổng ba góc bằng 180°.
4. Tổng các góc trong mọi tam giác là như nhau.
5. Tồn tại một cặp tam giác đồng dạng nhưng không bằng nhau.
6. Mọi tam giác đều có thể nội tiếp trong một đường tròn.
7. Nếu ba góc của một tứ giác là góc vuông, góc còn lại cũng là góc vuông.
8. Có một hình bình hành với tất cả các góc là góc vuông, gọi là hình chữ nhật.
9. Có một cặp đường thẳng luôn duy trì khoảng cách nhất định, với hai điểm thuộc mỗi đường thẳng đó.
10. Hai đường thẳng cùng song song với một đường thẳng khác thì cũng song song với nhau.
11. Trong tam giác vuông, bình phương của cạnh huyền bằng tổng bình phương của hai cạnh góc vuông - định lý Py-ta-go.
12. Định lý cos là một mở rộng của định lý Pythagoras.
13. Diện tích của tam giác không bị giới hạn - tiên đề của Wallis.
14. Các góc đáy của tứ giác Saccheri luôn bằng 90°.
15. Nếu một đường thẳng cắt một trong hai đường thẳng song song và ba đường thẳng này nằm trong cùng một mặt phẳng, thì đường thẳng đó sẽ cắt đường thẳng song song còn lại - tiên đề của Proclus.

Tuy nhiên, các mệnh đề chứa từ 'song song' thường đơn giản hơn định nghĩa cơ bản của Euclid trong câu 30 của cuốn I - Cơ sở của ông, như việc luôn có khoảng cách với nhau và không bao giờ cắt nhau, đồng thời cùng tạo góc khi cắt bởi một đường thẳng thứ ba. Ví dụ, định đề của Playfair định nghĩa sự song song là hai đường thẳng luôn giữ khoảng cách nhất định hoặc cùng góc khi cắt bởi một đường thẳng khác, nhưng không hoàn toàn tương đương với định đề thứ năm của Euclid, bởi vì định đề thứ năm có thể được chứng minh bằng bốn tiên đề đầu tiên. Cần lưu ý rằng các định nghĩa này không hoàn toàn tương đương với nhau, đặc biệt trong hình học hyperbol có tới hai cách định nghĩa sự song song.

Lịch sử

Ban đầu, định đề này không được coi là một tiên đề có thể chứng minh được. Trong suốt hai nghìn năm qua, nhiều nhà toán học đã cố gắng dùng bốn tiên đề đầu tiên và các hệ quả của chúng để giải quyết vấn đề này. Định đề song song không rõ ràng như bốn tiên đề đầu tiên, dẫn đến nhiều nỗ lực và một số chứng minh được cho là đúng cho đến khi có sai sót được phát hiện, thường là do thừa nhận các mệnh đề tương đương với định đề cần chứng minh, chẳng hạn như định đề của Playfair. John Playfair đã đề xuất thay thế định đề của Euclid trong một lời bình luận nổi tiếng vào năm 1795, nhưng đến nay định đề này vẫn không thể chứng minh được.

Proclus (410-485) đã bình luận về bộ sách Cơ sở và cố gắng rút gọn định đề thứ năm từ bốn tiên đề cơ bản. Ông cũng chỉ ra rằng Ptolemy đã đưa ra một chứng minh sai lầm, mặc dù chứng minh của ông cũng không đạt yêu cầu cao hơn. Dù vậy, ông đã phát biểu một mệnh đề tương đương với tiên đề này.

Ibn al-Haytham hay Alhazen (965-1039), một nhà toán học Ả Rập, đã thử chứng minh định đề này qua phản chứng. Điều này đã giúp ông phát triển khái niệm các phép dời hình trong hình học. Ông cũng đưa ra định nghĩa về tứ giác Lambert, sau này được Boris Abramovich Rozenfeld gọi là 'tứ giác Ibn-al-Haytham-Lambert', và chứng minh của ông sử dụng các yếu tố từ tứ giác Lambert và tiên đề của Playfair.

Nhà toán học Ba Tư Omar Khayyám (1050-1123) đã nỗ lực chứng minh một mệnh đề tương tự thông qua bốn tiên đề đầu tiên: 'Hai đường thẳng hội tụ sẽ cắt nhau, và không thể làm cho hai đường thẳng phân kỳ ở phía hội tụ của chúng.' Ông phát hiện ra các kết quả liên quan đến hình học elliptic và hyperbolic, mặc dù định đề của ông chứa nhiều mâu thuẫn. Khayyam không cố gắng chứng minh tiên đề song song như các nhà toán học trước và sau ông, nhưng ông đã chỉ ra rằng nếu hai đường thẳng vuông góc với một đường thẳng cắt một đường thẳng khác song song với đường thẳng được cắt, và hai góc mới tạo thành là góc vuông, ta thu được tiên đề thứ năm của Euclid; nếu không phải, hai góc đó hoặc cùng nhọn hoặc cùng tù, dẫn đến mâu thuẫn theo tiên đề của ông, tuy nhiên tiên đề của ông không tương đương với của Euclid.

Nasir al-Din al-Tusi (1201-1274), trong tác phẩm 'Al-risala al-shafiya'an al-shakk fi'l-khutut al-mutawaziya' (Luận về các vấn đề của các đường thẳng song song - viết năm 1250), đã chỉ trích tiên đề song song và những nỗ lực chứng minh của Khayyam từ hơn một thế kỷ trước. Nasir cũng thử chứng minh tiên đề này bằng phản chứng và xem xét các trường hợp của hình học elliptic/hyperbolic, dù không tin rằng các trường hợp này có thể xảy ra. Con trai ông, Sadr al-Din (hay còn gọi là Pseudo-Tusi), cũng viết một cuốn sách vào năm 1298 dựa trên những suy nghĩ của cha mình, trong đó đưa ra một trong những tranh cãi sớm nhất về hình học phi Euclid với một mệnh đề tương đương với tiên đề song song. Ông đã điều chỉnh hệ thống tiên đề và mệnh đề của Euclid, kèm theo các chứng minh mới, và nghiên cứu của ông được công bố lần đầu ở Rome vào năm 1594. Các nhà hình học châu Âu tiếp tục phát triển từ những nghiên cứu này, góp phần vào việc Saccheri xem xét vấn đề và cuối cùng đưa ra các phản biện đối với lý luận của Sadr và hợp tác với Wallis.

Trong tác phẩm Euclide restituo (Tái dựng Euclid, 1680, 1686), Giordano Vitale (1633-1711) đã áp dụng tứ giác Saccheri để chứng minh rằng nếu có ba điểm nằm trên hai cạnh AB và CD với khoảng cách bằng nhau, thì mọi điểm trên hai đường thẳng này cũng cách đều nhau. Girolamo Saccheri (1667-1733) đã tiến hành chứng minh tương tự và tình cờ đã chứng minh mệnh đề này đúng trong một trường hợp cụ thể, nhưng không thể chứng minh nó trong trường hợp tổng quát.

Johann Heinrich Lambert đã viết cuốn Theorie der Parallellinien (Lý thuyết của sự song song) vào năm 1766 nhưng không công bố. Trong cuốn sách này, ông đã cố gắng chứng minh tiên đề thứ năm của Euclid, tương tự như Saccheri. Lambert đã sử dụng tứ giác mà ngày nay được gọi là tứ giác Lambert, có ba góc vuông. Ông nhanh chóng loại trừ khả năng góc thứ tư cũng vuông, dẫn đến nhiều định lý mới khi coi góc còn lại nhọn hoặc tù. Mặc dù Lambert không cảm thấy mình đã chạm vào sự vô lý của phản chứng theo cách này như Saccheri, ông đã chứng minh rằng trong hình học phi Euclid, tổng ba góc trong một tam giác tăng lên khi diện tích tam giác giảm, từ đó đưa ra phỏng đoán về sự tồn tại của mô hình toán học mới, tuy nhiên không phát triển ý tưởng này thêm.

Trong thế kỷ XIX, các nhà toán học đã phát hiện ra những khả năng mới và thấy rằng vấn đề có thể nằm ở sự thiếu nhất quán logic trong các phương pháp chứng minh của Khayyam và Saccheri. Vào năm 1829, Nikolai Ivanovich Lobachevsky công bố nghiên cứu của mình về một loại hình học mới trên một tạp chí tiếng Nga, sau đó được xuất bản lại bằng tiếng Đức vào năm 1840. János Bolyai cũng đã bổ sung vào cuốn sách của cha mình một phụ lục về hình học hyperbol vào năm 1831, phát triển ý tưởng độc lập với Lobachevsky. Carl Friedrich Gauß cũng nghiên cứu vấn đề này nhưng không công bố kết quả. Khi nhận được thư từ Farkas Bolyai về nghiên cứu của con trai ông, Gauß đã phản hồi rằng:

Nếu tôi ngay lập tức nói rằng tôi không thể khen ngợi công trình này, ông chắc chắn sẽ bất ngờ, nhưng tôi thực sự không thể làm điều đó. Nếu tôi khen ngợi công trình này, điều đó chẳng khác nào tôi đang khen chính mình. Toàn bộ nội dung nghiên cứu của con trai ông và các kết quả mà cậu ấy đạt được gần như giống hệt những gì tôi đã nghĩ và phát triển trong suốt ba mươi - ba mươi lăm năm qua.

Các loại hình học mới phát triển sau này, bao gồm hình học hyperbol (khi góc còn lại nhọn) và hình học elliptic (khi góc còn lại tù), do Lobachevsky, Riemann và Henri Poincaré phát triển. Sự độc lập của tiên đề song song của Euclid với các tiên đề khác lần đầu tiên được Eugenio Beltrami thể hiện vào năm 1868.

Hệ quả

Euclid không có khả năng rút ra các hệ quả hoặc định lý đảo cho tiên đề thứ năm của ông, điều này góp phần phân biệt hình học Euclid với hình học elliptic. Bộ Cơ sở cũng đưa ra một chứng minh cho mệnh đề về sự song song:

Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng khác và tạo ra hai góc so le bằng nhau, thì đường thẳng đó sẽ song song với một trong hai đường thẳng ban đầu. - Euclid, Mệnh đề 27, cuốn I - Cơ sở.

Sau này, theo chỉ ra của Augustus De Morgan, mệnh đề này được xác định là tương đương về mặt logic với:

Trong bất kỳ tam giác nào, nếu một cạnh của tam giác dài hơn cả hai cạnh còn lại, thì góc đối diện với cạnh đó cũng sẽ lớn hơn hai góc còn lại. - Euclid, Mệnh đề 16, cuốn I - Cơ sở.

Hai mệnh đề này không dựa vào tiên đề thứ năm, mà cần đến tiên đề thứ hai, khiến chúng không đúng trong hình học elliptic.

Ta có thể mở rộng một đoạn thẳng vô hạn về cả hai đầu mút - Euclid, Tiên đề 2, cuốn I - Cơ sở.

Chỉ trích

Arthur Schopenhauer đã chỉ trích các nỗ lực chứng minh tiên đề này một cách logic trong cuốn The World as Will and Representation của ông. Sự chỉ trích của Schopenhauer tập trung vào việc tiên đề này được coi là đúng mà không cần chứng minh, thay vì chỉ ra sự thiếu logic trong mối liên hệ với các tiên đề khác.

• Euclid
• Hình học Euclid và hình học phi Euclid
• Cơ sở