Định lí về phương trình bậc bốn

Trong đại số sơ cấp, phương trình trùng phương (biquartic equation) được định nghĩa là phương trình có dạng sau đây:

$a{x}^4+b{x}^2+c=0$

Trong đó, $x$ là biến số và $a$, $b$, $c$ là các hệ số (tương ứng là hệ số bậc bốn, hệ số bậc hai và hệ số tự do của phương trình).

Với bậc cao nhất là 4, phương trình trùng phương còn được gọi là phương trình bậc bốn với phần thiếu ở lũy thừa bậc 3 và bậc 1.

Phương pháp giải phương trình bậc bốn

Phương pháp đặt biến phụ

Đây là phương pháp được áp dụng rộng rãi nhất trong các lĩnh vực, vì nó giúp chuyển đổi phương trình trùng phương thành phương trình bậc hai bằng cách đặt $x^2$ là một biến phụ. Dưới đây là một ví dụ minh họa:

Giải phương trình: $x^4-<!--\; -\; -->13x^2+36=0$

Các bước giải như sau:

Bước 1: Đặt biến phụ a

Đặt $x^2=a$, phương trình trên có dạng:

$a^2-<!--\; -\; -->13a+36=0$

Bước 2: Tính Δ

Tính Δ:

$\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}=(-<!--\; -\; -->13{)}^2-<!--\; -\; -->4\times <!--\; \times \; -->1\times <!--\; \times \; -->36=25$

$\sqrt{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}=5$

Bước 3: Tìm các nghiệm của phương trình trung gian

$a_1=\frac{13+5}{2}=9$

$a_2=\frac{13-<!--\; -\; -->5}{2}=4$

Bước 4: Tìm các nghiệm của phương trình bậc hai

$a=9\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->x^2=9\iff <!--\; \iff \; -->x=\pm <!--\; \pm \; -->3$

$a=4\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->x^2=4\iff <!--\; \iff \; -->x=\pm <!--\; \pm \; -->2$