Định luật sin

Trong hình học tam giác, định luật sin (hay định lý sin, công thức sin) là một phương trình biểu diễn mối quan hệ giữa các cạnh của một tam giác và sin của các góc tương ứng, cũng như bán kính của đường tròn ngoại tiếp. Định luật sin có thể được biểu diễn như sau:

$\frac{a}{\sin <!--\; \; -->A}=\frac{b}{\sin <!--\; \; -->B}=\frac{c}{\sin <!--\; \; -->C}=2R$.

Trong đó a, b, c là độ dài các cạnh, và A, B, C là các góc đối diện (xem hình vẽ). Phương trình cũng có thể được biểu diễn theo hướng ngược lại:

$\frac{\sin <!--\; \; -->A}{a}=\frac{\sin <!--\; \; -->B}{b}=\frac{\sin <!--\; \; -->C}{c}.$

Định lý sin có thể áp dụng trong hình học tam giác để tính toán các cạnh còn lại của tam giác khi biết một cạnh và hai góc bất kì, hoặc để tìm cạnh thứ ba khi biết hai cạnh và một góc không nằm giữa hai cạnh đó. Trong một số trường hợp, công thức này có thể cho hai giá trị khác nhau, dẫn đến hai khả năng khác nhau của tam giác.

Ví dụ minh họa

Cho: cạnh a = 20, cạnh c = 24, góc C = 40°

Theo định lý sin, ta có

$\frac{\sin <!--\; \; -->A}{20}=\frac{\sin <!--\; \; -->{40}^{\circ <!--\; \circ \; -->}}{24}.$

$A=\arcsin <!--\; \; -->\left(\frac{20\sin <!--\; \; -->{40}^{\circ <!--\; \circ \; -->}}{24}\right)\approx <!--\; \approx \; -->{32.39}^{\circ <!--\; \circ \; -->}.$

Một ví dụ khác:

Nếu hai cạnh của một tam giác có chiều dài là R và chiều dài cạnh thứ ba, dây cung c là 100, góc C đối diện với dây cung c thì:

$\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}A=\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}B=\frac{{180}^{\circ <!--\; \circ \; -->}-<!--\; -\; -->\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}C}{2}=90-<!--\; -\; -->\frac{\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}C}{2}$

và

$\frac{R}{\sin <!--\; \; -->A}=\frac{\text{c}}{\sin <!--\; \; -->C}\text{ v }\frac{R}{\sin <!--\; \; -->B}=\frac{\text{c}}{\sin <!--\; \; -->C}$

$\frac{\text{c}\sin \; <div\; class="min-w-[250px]\; max-w-[94vw]\; md:max-w-[770px]">\; <ins\; class="adsbygoogle"\; style="display:block;\; text-align:center;"\; data-ad-layout="in-article"\; data-ad-format="fluid"\; data-ad-client="ca-pub-9247024304160346"\; data-ad-slot="4115752014"></ins>\; </div>\; <!--\; \; -->A}{\sin <!--\; \; -->C}=R\text{ v }\frac{\text{c}\sin <!--\; \; -->B}{\sin <!--\; \; -->C}=R.$

Vấn đề tính toán

Giống như định lý cos, mặc dù định lý sin đúng về mặt toán học, nhưng việc áp dụng có thể dẫn đến sai số lớn khi sin của một góc rất gần với 1.

Vài ứng dụng

• Định lý sin có thể được áp dụng để chứng minh công thức sin của một tổng khi hai góc α và β nằm trong khoảng từ 0 đến 90 độ.

Để chứng minh, hạ đường cao từ góc C, chia góc C thành hai góc α cùng phía với góc A và β cùng phía với góc B. Sử dụng định lý sin cho cạnh c và a để giải phương trình tìm sin C. Trong hai tam giác vuông mới được vẽ nhờ đường cao, ta thấy sin(A) = cos(α), sin(B) = cos(β) và c = a sin(β) + b sin(α). Sau khi thế vào, ta được sin(C) =sin(α + β) = sin(β)cos(α) + (b/a)sin(α)cos(α). Sử dụng định lý sin cho cạnh b và a để giải phương trình tìm b. Thay vào phương trình của sin(α + β) và ta có điều cần chứng minh.

• Định lý sin cũng có thể áp dụng để chứng minh định lý tang và công thức Mollweide (Dresden 2009, Plane Trigonometry trang 76–78).

Trường hợp đặc biệt

Trong một số trường hợp, khi áp dụng định lý sin, chúng ta có thể thu được hai giá trị khác nhau, dẫn đến khả năng xây dựng hai tam giác khác nhau trong cùng một bài toán giải tam giác.

Điều kiện để tam giác ABC rơi vào trường hợp này là:

• Biết cạnh ‘’a’’, ‘’b’’ và góc A.
• Góc A nhọn (A < 90°).
• Cạnh a nhỏ hơn cạnh b (a < b).
• Cạnh ‘’a’’ dài hơn đường cao của tam giác vuông có góc ‘’A’’ và cạnh huyền ‘’b’’ (a > b sin A).

Trong trường hợp này, góc ‘’B’’ có thể là nhọn hoặc tù, vì vậy:

$B=\arcsin <!--\; \; -->\frac{b\sin <!--\; \; -->A}{a}$

hoặc

$B={180}^{\circ <!--\; \circ \; -->}-<!--\; -\; -->\arcsin <!--\; \; -->\frac{b\sin <!--\; \; -->A}{a}$

Liên quan đến đường tròn ngoại tiếp

Trong công thức

$\frac{a}{\sin <!--\; \; -->A}=\frac{b}{\sin <!--\; \; -->B}=\frac{c}{\sin <!--\; \; -->C},$

Mỗi phân số có giá trị là bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác tương ứng. Có một bằng chứng rằng giá trị này bằng

Đây là nơi S là diện tích của tam giác và s là nửa chu vi của nó.

$s=\frac{a+b+c}{2}.$

Công thức thứ hai sử dụng công thức Heron.

Các dạng khác

Từ hình vẽ bên, chúng ta thấy:

$\sin <!--\; \; -->A=\frac{h}{b}\text{ và }\sin <!--\; \; -->B=\frac{h}{a}.$

Vì vậy

$h=b\sin <!--\; \; -->A=a\sin <!--\; \; -->B$

và

$\frac{a}{\sin <!--\; \; -->A}=\frac{b}{\sin <!--\; \; -->B}.$

Tương tự, chúng ta có:

$\frac{b}{\sin <!--\; \; -->B}=\frac{c}{\sin <!--\; \; -->C}.$

Diện tích tam giác $S$ được tính bởi công thức

$S=\frac{1}{2}bc\sin <!--\; \; -->A=\frac{1}{2}ac\sin <!--\; \; -->B=\frac{1}{2}ab\sin <!--\; \; -->C.$

Nhân hai vế với $2/abc$ ta được

$\frac{2S}{abc}=\frac{\sin <!--\; \; -->A}{a}=\frac{\sin <!--\; \; -->B}{b}=\frac{\sin <!--\; \; -->C}{c}.$

Định lý sin trong tứ diện

Một hệ quả của định lý sin là: trong tứ diện OABC ta có

• Định lý cos
• Định lý tang
• Công thức Mollweide
• Công thức nửa cạnh

Liên kết ngoài

• The Law of Sines
• Degree of Curvature
• Finding the Sine of 1 Degree