Định lý Cauchy–Schwarz

Trong lĩnh vực toán học, bất đẳng thức Cauchy – Schwarz, còn được biết đến với các tên gọi như bất đẳng thức Schwarz, bất đẳng thức Cauchy, hoặc cái tên dài hơn là bất đẳng thức Cauchy – Bunyakovsky – Schwarz hay bất đẳng thức CBS, được đặt theo tên của các nhà toán học Augustin Louis Cauchy, Viktor Yakovlevich Bunyakovsky và Hermann Amandus Schwarz. Đây là một bất đẳng thức quan trọng trong nhiều lĩnh vực của toán học, như đại số tuyến tính với các vector, giải tích với chuỗi vô hạn và tích phân, và lý thuyết xác suất với phương sai và hiệp phương sai.

Bất đẳng thức này phát biểu rằng nếu x và y là các phần tử trong không gian tích thực hoặc phức, thì

$|⟨<!--\; ⟨\; -->x,y⟩<!--\; ⟩\; -->{|}^2\le <!--\; \le \; -->⟨<!--\; ⟨\; -->x,x⟩<!--\; ⟩\; -->\cdot <!--\; \cdot \; -->⟨<!--\; ⟨\; -->y,y⟩<!--\; ⟩\; -->.$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x và y là các vectơ tuyến tính phụ thuộc lẫn nhau (hay nói cách khác là chúng song song). Trong trường hợp đặc biệt, nếu x và y trực giao với nhau (hoặc vuông góc theo nghĩa hình học), thì tích trong của chúng sẽ bằng 0.

Bất đẳng thức này dường như chỉ ra mối liên hệ giữa khái niệm 'góc giữa hai vector' và tích trong, dù các khái niệm hình học Euclide có thể không hoàn toàn phù hợp trong trường hợp này. Nó cũng cho thấy rằng các không gian tích trong là một sự mở rộng của không gian Euclide.

Một hệ quả quan trọng từ bất đẳng thức Cauchy – Schwarz là tích trong là một hàm liên tục.

Một phiên bản khác của bất đẳng thức Cauchy – Schwarz được diễn đạt dưới đây bằng cách sử dụng ký hiệu chuẩn, với chuẩn được hiểu là chuẩn trong không gian đã được định nghĩa sẵn.

$|⟨<!--\; ⟨\; -->x,y⟩<!--\; ⟩\; -->|\le <!--\; \le \; -->\Vert <!--\; \Vert \; -->x\Vert <!--\; \Vert \; -->\cdot <!--\; \cdot \; -->\Vert <!--\; \Vert \; -->y\Vert <!--\; \Vert \; -->.$

Vào năm 1821, Cauchy đã chứng minh bất đẳng thức này cho các vector thực và trong không gian hữu hạn chiều. Đến năm 1859, học trò của Cauchy là Bunyakovsky đã nhận thấy rằng khi lấy giới hạn, ta có thể thu được dạng tích phân của bất đẳng thức này. Kết quả tổng quát cho không gian tích trong được Schwarz chứng minh vào năm 1888.

Chứng minh

Bất đẳng thức này hiển nhiên đúng với y = 0, vì vậy ta có thể giả sử y> khác 0. Giả sử $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}$ là một số phức tùy ý. Khi đó, chúng ta có bất đẳng thức sau đây là đúng:

Chọn

$\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}=⟨<!--\; ⟨\; -->y,x⟩<!--\; ⟩\; -->\cdot <!--\; \cdot \; -->⟨<!--\; ⟨\; -->y,y{⟩<!--\; ⟩\; -->}^{-<!--\; -\; -->1}$

chúng ta thu được

$0\le <!--\; \le \; -->⟨<!--\; ⟨\; -->x,x⟩<!--\; ⟩\; -->-<!--\; -\; -->|⟨<!--\; ⟨\; -->x,y⟩<!--\; ⟩\; -->{|}^2\cdot <!--\; \cdot \; -->⟨<!--\; ⟨\; -->y,y{⟩<!--\; ⟩\; -->}^{-<!--\; -\; -->1}$

bất đẳng thức trên chỉ đúng khi

$|⟨<!--\; ⟨\; -->x,y⟩<!--\; ⟩\; -->{|}^2\le <!--\; \le \; -->⟨<!--\; ⟨\; -->x,x⟩<!--\; ⟩\; -->\cdot <!--\; \cdot \; -->⟨<!--\; ⟨\; -->y,y⟩<!--\; ⟩\; -->$

hay tương đương với:

(điều cần chứng minh)

Các trường hợp đặc biệt đáng lưu ý

• Đối với không gian Euclide R, bất đẳng thức này trở thành

${(\underset{i=}{\overset{}{\sum <!--\; \sum \; -->}}}^{}$

1 n x i y i ) 2 ≤ ( ∑ i = 1 n x i 2 ) ( ∑ i = 1 n y i 2 ) {displaystyle left(sum {i=1}^{n}x{i}y_{i} ight)^{2}leq left(sum {i=1}^{n}x{i}^{2} ight)left(sum {i=1}^{n}y{i}^{2} ight)} . Đặc biệt hơn, trong không gian Euclide với số chiều 2 hoặc 3, nếu tích vô hướng được xác định theo góc giữa hai vector, thì bất đẳng thức này trở thành một bất đẳng thức đơn giản để chứng minh: $|x\cdot <!--\; \cdot \; -->y|=|x||y||\cos <!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}|\le <!--\; \le \; -->|x||y|$. Hơn nữa, trong trường hợp này, bất đẳng thức Cauchy – Schwarz có thể được suy ra từ đồng nhất thức Lagrange bằng cách loại bỏ một số hạng. Trong trường hợp không gian 3 chiều, đồng nhất thức Lagrange có dạng:

$⟨<!--\; ⟨\; -->x,x⟩<!--\; ⟩\; -->\cdot <!--\; \cdot \; -->⟨<!--\; ⟨\; -->y,y⟩<!--\; ⟩\; -->=|⟨<!--\; ⟨\; -->x,y⟩<!--\; ⟩\; -->{|}^2+|x\times <!--\; \times \; -->y{|}^2.$

Kết quả của bất đẳng thức này là một dạng bất đẳng thức khác

• Trong không gian các hàm tích phân có giá trị phức và khả tích bình phương, ta có bất đẳng thức sau đây

${\left|\int <!--\; \int \; -->f\left(x\right)g\left(x\right)dx\right|}^2\le <!--\; \le \; -->\int <!--\; \int \; -->{\left|f\left(x\right)\right|}^{2}dx\cdot <!--\; \cdot \; -->\int <!--\; \int \; -->{\left|g\left(x\right)\right|}^{2}dx.$

Một phiên bản tổng quát của các bất đẳng thức vừa nêu là bất đẳng thức Holder.

Một kết quả liên quan khác là bất đẳng thức Schwarz, hay còn được gọi là bất đẳng thức Cauchy – Schwarz theo dạng Engel

Các ứng dụng nổi bật

Bất đẳng thức tam giác trong không gian tích trong thường được coi là hệ quả của bất đẳng thức Cauchy – Schwarz, với điều kiện cho các vector x và y,

$\Vert <!--\; \Vert \; -->x+y{\Vert <!--\; \Vert \; -->}^2$	$=⟨<!--\; ⟨\; -->x+y,x+y⟩<!--\; ⟩\; -->$
	$=\Vert <!--\; \Vert \; -->x{\Vert <!--\; \Vert \; -->}^2+⟨<!--\; ⟨\; -->x,y⟩<!--\; ⟩\; -->+⟨<!--\; ⟨\; -->y,x⟩<!--\; ⟩\; -->+\Vert <!--\; \Vert \; -->y\Vert <!--\; \Vert \; -->$
	$\le <!--\; \le \; -->\Vert <!--\; \Vert \; -->x{\Vert <!--\; \Vert \; -->}^2+2|⟨<!--\; ⟨\; -->x,y⟩<!--\; ⟩\; -->|+\Vert <!--\; \Vert \; -->y{\Vert <!--\; \Vert \; -->}^2$
	$\le <!--\; \le \; -->\Vert <!--\; \Vert \; -->x{\Vert <!--\; \Vert \; -->}^2+2\Vert <!--\; \Vert \; -->x\Vert <!--\; \Vert \; -->\Vert <!--\; \Vert \; -->y\Vert <!--\; \Vert \; -->+\Vert <!--\; \Vert \; -->y{\Vert <!--\; \Vert \; -->}^2$
	$\le <!--\; \le \; -->{\left(\Vert <!--\; \Vert \; -->x\Vert <!--\; \Vert \; -->+\Vert <!--\; \Vert \; -->y\Vert <!--\; \Vert \; -->\right)}^2$

Khi lấy căn bậc hai cả hai vế, ta nhận được bất đẳng thức tam giác.

Các dạng cơ bản

Bất đẳng thức Bunyakovsky ở dạng chuẩn

• (a² + b²)(c² + d²) ≥ (ac + bd)²
• Chứng minh:

(a² + b²)(c² + d²) ≥ (ac + bd)² ⇔ (ac)² + (ad)² + (bc)² + (bd)² ≥ (ac)² + 2abcd + (bd)² ⇔ (ad)² + (bc)² ≥ 2abcd ⇔ (ad)² – 2abcd + (bc)² ≥ 0 ⇔ (ad – bc)² ≥ 0

• Dấu ' = ' xuất hiện khi hoặc $\frac{a}{b}$

Để việc chứng minh trở nên dễ dàng hơn, ta thường chuyển đổi về dạng hai vector trong mặt phẳng Oxy rồi áp dụng công thức đã nêu.

Bất đẳng thức Bunyakovsky đối với hai tập hợp số

• Khi có hai dãy số $(a_1;a_2;...;a_n)$ và $(b_1;b_2;...;b_n)$ ta có:

$\left(a_1^2+a_2^2+...+a_n^2\right)\left(b_1^2+b_2^2+...+b_n^2\right)\ge <!--\; \ge \; -->{\left(a_1{b}_1+a_2{b}_2+...+a_n{b}_n\right)}^2$

• Dấu '=' chỉ xuất hiện khi và chỉ khi $\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}=...=\frac{a_n}{b_n}$ và quy tắc là nếu một số $b_i$ (với i = 1, 2, 3,..., n) bằng 0 thì $a_i$ cũng phải bằng 0.