Định lý Ceva

Định lý Ceva là một định lý phổ biến trong hình học cơ bản. Cho một tam giác ABC, các điểm D, E, và F lần lượt nằm trên các đường thẳng BC, CA, và AB. Định lý phát biểu rằng các đường thẳng AD, BE và CF là những đường thẳng đồng quy khi và chỉ khi:

$\frac{AF}{FB}\cdot <!--\; \cdot \; -->\frac{BD}{DC}\cdot <!--\; \cdot \; -->\frac{CE}{EA}=1$

Ngoài ra, định lý Ceva còn được phát biểu một cách tương đương trong lượng giác rằng: AD,BE,CF đồng quy khi và chỉ khi

$\frac{\sin <!--\; \; -->\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}BAD}{\sin <!--\; \; -->\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}CAD}\times <!--\; \times \; -->\frac{\sin <!--\; \; -->\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}ACF}{\sin <!--\; \; -->\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}BCF}\times <!--\; \times \; -->\frac{\sin <!--\; \; -->\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}CBE}{\sin <!--\; \; -->\; <div\; class="min-w-[250px]\; max-w-[94vw]\; md:max-w-[770px]">\; <ins\; class="adsbygoogle"\; style="display:block;\; text-align:center;"\; data-ad-layout="in-article"\; data-ad-format="fluid"\; data-ad-client="ca-pub-9247024304160346"\; data-ad-slot="4115752014"></ins>\; </div>\mathrm{\angle <!--\; \angle \; -->}ABE}=1$.

Một đường thẳng qua đỉnh của tam giác được gọi là đường thẳng Cevian ứng với đỉnh đó. Một trong những hình vẽ của tam giác $DEF$ là một tam giác Cevian của tam giác ABC.

Chứng minh

Giả sử ta có: $AD$, $BE$ và $CF$ đồng quy tại một điểm $O$ nào đó (trong hoặc ngoài tam giác). Do $△BOD$ và $△COD$ có chung chiều cao (độ dài của đường cao), ta có: $\frac{|△BOD|}{|△COD|}=\frac{BD}{DC}.$ Tương tự, $\frac{|△BAD|}{|△CAD|}=\frac{BD}{DC}.$

Do đó, ta có $\frac{BD}{DC}=\frac{|△BAD|-|△BOD|}{|△CAD|-|△COD|}=\frac{|△ABO|}{|△CAO|}\left(1\right).$

Tương tự, chúng ta có: {\frac {CE}{EA}}={\frac {|\triangle BCO|}{|\triangle ABO|}}(2),

Nhân (1),(2),(3) vế theo vế, ta được: {\frac {AF}{FB}}\cdot {\frac {BD}{DC}}\cdot {\frac {CE}{EA}}=1. Ta có điều phải chứng minh.

Ngược lại, giả sử ta đã có những điểm D, E và F thỏa mãn đẳng thức. Gọi giao điểm của AD và BE là O, và gọi giao điểm của CO và AB là F'. Theo chứng minh trên, {\frac {AF'}{F'B}}\cdot {\frac {BD}{DC}}\cdot {\frac {CE}{EA}}=1.

Kết hợp với đẳng thức trên, ta nhận được: {\frac {AF'}{F'B}}={\frac {AF}{FB}}.

Một tập hợp các chứng minh về sự đồng quy của ba đường chéo AD, BE và CF của tam giác O đã được chứng minh. Các phép chứng minh gồm có biểu thức tỷ số và tính toán liên quan đến vị trí và định lý đã chứng minh (chính xác từ cả hai phía)

Do đó F'B=FB, nên F và F' trùng nhau. Vì vậy F là F' trùng nhau. Vì vậy tập hợp các chứng minh về sự đồng quy của ba đường chéo AD, BE và CF của tam giác O đã được chứng minh. Các phép chứng minh gồm có biểu thức tỷ số và tính toán liên quan đến vị trí và định lý đã chứng minh (chính xác từ cả hai phía)

Định lý Menelaus. Định lý Carnot. Định lý Routh. Định lý Thales.