Định lý cos (cầu)

Trong hình học trên mặt cầu, định lý cos (hoặc định lý cosin) là một định lý liên kết các cạnh của tam giác trên mặt cầu, tương tự như định lý cosin trong mặt phẳng.

Xét trên mặt cầu đơn vị (mặt cầu có bán kính bằng 1), một 'tam giác' được hình thành bởi các vòng tròn lớn nối ba điểm u, v, và w trên mặt cầu. Nếu các cạnh của tam giác là a (từ u đến v), b (từ u đến w), và c (từ v đến w), và góc đối diện với cạnh c là C, thì định lý cho biết rằng:

$\cos <!--\; \; -->\left(c\right)=\cos <!--\; \; -->\left(a\right)\cos <!--\; \; -->\left(b\right)+\sin <!--\; \; -->\left(a\right)\sin <!--\; \; -->($

b ) cos ⁡ ( C ) . {\displaystyle \cos(c)=\cos(a)\cos(b)+\sin(a)\sin(b)\cos(C).\,}

Trong trường hợp đặc biệt, khi C = π/2, thì cos(C) = 0 và ta có thể thu được kết quả tương đương với định lý Pythagoras:

$\cos <!--\; \; -->\left(c\right)=\cos <!--\; \; -->\left(a\right)\cos <!--\; \; -->\left(b\right).$

Khi các góc trên mặt cầu nhỏ, mặt của tam giác gần như phẳng, và các công thức trở về dạng mặt phẳng:

$c^2\approx <!--\; \approx \; -->a^2+b^2-<!--\; -\; -->2ab\cos <!--\; \; -->\left(C\right).$

Độ sai lệch của việc xấp xỉ mặt phẳng, tính từ chuỗi Maclaurin cho hàm cos và sin, vào khoảng

$O\left(c^4\right)+O\left(a^{3}b\right)+O\left(a{b}^3\right).$