Định lý Gauss

Trong vật lý và toán học, định lý Gauss áp dụng nguyên lý Gauss cho các trường vectơ tuân theo định luật bình phương nghịch đảo theo khoảng cách.

Chẳng hạn, với các trường vectơ như điện trường hoặc lực hấp dẫn, định lý này mô tả sự liên hệ giữa thông lượng của các trường vectơ này qua một mặt đóng với điện tích hoặc khối lượng bao quanh mặt đó. Đối với điện trường, định lý này là một trong bốn phương trình cơ bản của lý thuyết điện từ.

Định lý Gauss

Định lý Gauss về điện trường

Dưới dạng tích phân, mật độ điện trường có thể được biểu diễn như sau

$\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}=EA={\oint <!--\; \oint \; -->}_{S}E\cdot <!--\; \cdot \; -->dA=\frac{1}{{\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}}_o}{\int <!--\; \int \; -->}_V\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}dV=\frac{Q_A}{{\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}}_o}$

Trong đó

$\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}$ đại diện cho thông lượng điện,

$E$ là điện trường,

$dA$ là diện tích của một mặt phẳng vi phân trên mặt đóng S,

$Q_A$ là điện tích được bao quanh bởi mặt đó,

$\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}$ là mật độ điện tích tại một điểm trong $V$,

${\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}}_o$ là hằng số điện môi của không gian tự do

${\oint <!--\; \oint \; -->}_S$ là tích phân trên mặt S bao phủ thể tích V.

Dưới dạng vi phân, phương trình được viết như sau:

$\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\cdot <!--\; \cdot \; -->D=\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}$

Với

$\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}$ được biết đến là toán tử phân kỳ,

D đại diện cho cảm ứng điện (đơn vị C/m²),

ρ là mật độ điện tích (đơn vị C/m³), không tính đến các điện tích lưỡng cực biên giới trong vật liệu. Biểu thức vi phân này được trình bày theo định lý Gauss.

Đối với vật liệu tuyến tính, phương trình trở thành:

$\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}E=\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}$

với $\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}$ là hằng số điện môi của vật liệu.

Định lý Gauss trong từ trường

Dưới dạng tích phân,

${\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}_B=BA=\int <!--\; \int \; -->BdA=\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}I$

Trọng trường

Vì cường độ của cả trọng lực và điện từ trường đều giảm theo bình phương khoảng cách giữa hai đối tượng, chúng ta có thể so sánh chúng thông qua định lý Gauss bằng cách xem xét các trường vectơ tương ứng là $G$ và $E$, với

và

với $G_c$ là hằng số trọng lực, $m$ là khối lượng của điểm nguồn, $r$ là khoảng cách từ điểm nguồn đến vật thể khác, ${\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}}_0$ là hằng số điện môi trong chân không, và $q$ là điện tích của điểm nguồn.

Tương tự như cách chúng ta tính tích phân bề mặt cho điện từ trường để có được $\frac{q}{{\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}}_0}$, chúng ta có thể chọn một mặt Gauss phù hợp để tính toán thông lượng trọng lực. Đối với một điểm có khối lượng nằm tại gốc của trục tọa độ, mặt Gauss hợp lý nhất là hình cầu với bán kính $r$ có tâm tại gốc tọa độ.

Chúng ta bắt đầu bằng cách sử dụng dạng tích phân của định luật Gauss.

${\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}_G={\oint <!--\; \oint \; -->}_{S}G\cdot <!--\; \cdot \; -->dA$.

Một phần tử diện tích cực nhỏ đơn giản là diện tích của một góc rất nhỏ, được định nghĩa như sau

$dA=r^{2}d\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{r}$.

Mặt Gaussian được thiết lập sao cho vectơ vuông góc với mặt này chính là vectơ bán kính từ gốc tọa độ. Vì vậy,

${\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}_G={\oint <!--\; \oint \; -->}_{S}G\left(r\right)\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{r}\cdot <!--\; \cdot \; -->\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{r}{r}^{2}d\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}$,

Chúng ta thấy rằng tích vô hướng của hai vectơ bán kính là đơn vị và cả cường độ của trường, $G$, cũng như bình phương khoảng cách giữa mặt và điểm xét, $r^2$, là không thay đổi trên mọi phần tử cực nhỏ của mặt. Điều này dẫn đến tích phân

${\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}_G=G\left(r\right)r^2{\oint <!--\; \oint \; -->}_{S}d\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}$.

Tích phân mặt còn lại chính là diện tích của mặt cầu ($4\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{r}^2$). Kết hợp điều này với phương trình trường trọng lực trước đó, ta thu được biểu thức cho thông lượng trọng lực của một điểm khối lượng.

${\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}_G=-<!--\; -\; -->\frac{G_{c}m}{r^2}4\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{r}^2=-<!--\; -\; -->4\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{G}_{c}m$

Thông lượng trọng lực, giống như điện từ trường, không bị ảnh hưởng bởi bán kính của mặt cầu.

Cường độ trường điện

Cường độ của trường điện

$E=\frac{D}{\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}}=\frac{Q}{\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}A}$

Khi một điện tích Q được đặt ở trung tâm của một mặt cầu có bán kính r, vector cường độ điện trường tại bề mặt của cầu luôn vuông góc với mặt cầu và có giá trị đồng nhất trên toàn bộ bề mặt đó.

$E=\frac{Q}{\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}A}=\frac{Q}{{\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}}_{0}4\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{r}^2}$

Với

E đại diện cho cường độ điện trường tại bán kính r,

Q là giá trị của điện tích bao quanh

ε₀ là hằng số điện môi.

Vì vậy, quy luật bình phương nghịch đảo mà chúng ta quen thuộc trong định luật Coulomb được dẫn xuất từ định luật Gauss.

Định luật Gauss cho thấy rằng trong một lồng Faraday không có điện tích, không tồn tại điện trường bên trong. Định luật này tương đương về mặt tĩnh điện với định luật Ampère, liên quan đến từ trường. Cả hai định luật này được hợp nhất trong các phương trình Maxwell.

Cường độ từ trường

Cường độ từ trường

$B=\frac{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}{A}I=LI$

Cường độ từ trường của một dây dẫn thẳng có dòng điện chạy qua

$B=LI=\frac{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}{A}I=\frac{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}r}{A}I$

Cường độ từ trường của một vòng dây dẫn thẳng

$B=LI=\frac{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}{A}I=\frac{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{A}I$

Cường độ từ trường của N vòng dây dẫn thẳng

$B=LI=\frac{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}{A}I=N\frac{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}{A}I$

• Định lý Gauss
• Mặt Gauss
• Phương trình Maxwell
• Carl Friedrich Gauss
• Thông lượng
• Phương pháp ảnh điện

Liên kết bên ngoài

• MISN-0-132 Định lý Gauss cho đối xứng hình cầu (Tệp PDF) của Peter Signell cho Dự án PHYSNET.
• MISN-0-133 Định lý Gauss áp dụng cho phân phối điện tích hình trụ và mặt phẳng (Tệp PDF) của Peter Signell cho Dự án PHYSNET.