Định lý giá trị trung bình

Trong giải tích, định lý giá trị trung bình (Tiếng Anh: mean value theorem) tuyên bố rằng: đối với một đoạn đường cong trơn nối hai điểm khác nhau, luôn tồn tại ít nhất một điểm trên đoạn đó sao cho tiếp tuyến tại điểm đó song song với đường thẳng nối hai đầu đoạn.

Định lý này giúp chứng minh các kết quả toàn cục về một hàm số trên một khoảng, dựa trên các giả thuyết địa phương về đạo hàm của hàm số tại các điểm trong khoảng đó.

Cụ thể, nếu một hàm số $f$ liên tục trên khoảng đóng $[a,b]$ với và khả vi trên khoảng mở $(a,b)$, thì sẽ có một điểm $c\in <!--\; \in \; -->(a,b)$ sao cho

$f^{\prime }\left(c\right)=\frac{f\left(b\right)-<!--\; -\; -->f\left(a\right)}{b-<!--\; -\; -->a}.$

Trường hợp đặc biệt của định lý này được ghi nhận lần đầu bởi Parameshvara (1370-1460). Định lý giá trị trung bình dưới dạng hiện đại được Augustin Louis Cauchy (1789-1857) công bố sau đó. Đây là một trong những kết quả quan trọng nhất trong phép tính vi phân và giải tích toán học, đồng thời được sử dụng để chứng minh định lý cơ bản của giải tích. Định lý này có thể được suy ra từ định lý Rolle, và cũng là cơ sở để chứng minh định lý Taylor (với phần dư dạng Lagrange).

Diễn giải chính thức

Xét hàm số $f:[a,b]\to <!--\; \to \; -->R$ liên tục trên khoảng đóng $[a,b]$ và khả vi trên khoảng mở $(a,b)$, với . Thì tồn tại một điểm $c\in <!--\; \in \; -->(a,b)$ sao cho

$f^{\prime }\left(c\right)=\frac{f\left(b\right)-<!--\; -\; -->f\left(a\right)}{b-<!--\; -\; -->a}.$

Định lý giá trị trung bình là sự mở rộng của định lý Rolle, với điều kiện là $f\left(a\right)=f\left(b\right)$. Trong trường hợp này, kết quả bên phải của công thức sẽ bằng 0.

Định lý giá trị trung bình vẫn có thể áp dụng với điều kiện tổng quát hơn. Chúng ta chỉ cần yêu cầu hàm số $f:[a,b]\to <!--\; \to \; -->R$ liên tục trên $[a,b]$, và đối với mọi $x\in <!--\; \in \; -->(a,b)$, giới hạn

$\underset{h\to <!--\; \to \; -->0}{lim}\frac{f(x+h)-<!--\; -\; -->f\left(x\right)}{h}$

là một giá trị hữu hạn hoặc có thể là $\pm <!--\; \pm \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$. Nếu giá trị hữu hạn, giới hạn này sẽ bằng $f^{\prime }\left(x\right)$. Ví dụ về ứng dụng của phiên bản này của định lý là hàm số $f:x\mapsto <!--\; \mapsto \; -->x^{1/3}$, với đạo hàm tiếp cận vô cùng tại gốc tọa độ.

Lưu ý rằng định lý này không áp dụng cho hàm phức khả vi mà chỉ đúng cho hàm thực. Ví dụ, với $f\left(x\right)=e^{ix}$ với mọi giá trị thực $x$. Khi đó

$f\left(2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\right)-<!--\; -\; -->f\left(0\right)=0$

trong khi $|f^{\prime }\left(x\right)|=1$.

Chứng minh

Biểu thức $\frac{f\left(b\right)-<!--\; -\; -->f\left(a\right)}{b-<!--\; -\; -->a}$ đại diện cho hệ số góc của đường thẳng nối hai điểm $(a,f(a\left)\right)$ và $(b,f(b\left)\right)$. Đồng thời, $f^{\prime }\left(x\right)$ là hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm $(x,f(x\left)\right)$. Định lý giá trị trung bình khẳng định rằng: với bất kỳ đoạn cung nào của một đường cong phẳng, trơn, luôn tồn tại một điểm giữa hai đầu đoạn sao cho tiếp tuyến tại điểm đó song song với đoạn cung. Chứng minh sau đây giải thích ý tưởng này.

Giả sử $g\left(x\right)=f\left(x\right)-<!--\; -\; -->rx$, với $r$ là một hằng số cần xác định. Vì $f$ là hàm liên tục trên $[a,b]$ và khả vi trên $(a,b)$, điều tương tự cũng áp dụng cho $g$. Ta cần chọn $r$ sao cho $g$ thỏa mãn các điều kiện của định lý Rolle, tức là

Theo định lý Rolle, vì $g$ liên tục và $g\left(a\right)=g\left(b\right)$ nên tồn tại ít nhất một điểm $c$ trong khoảng $(a,b)$ sao cho $g^{\prime }\left(c\right)=0$. Từ đẳng thức $g\left(x\right)=f\left(x\right)-<!--\; -\; -->rx$, ta có

$f^{\prime }\left(c\right)=g^{\prime }\left(c\right)+r=r=\frac{f\left(b\right)-<!--\; -\; -->f\left(a\right)}{b-<!--\; -\; -->a}.$

Như vậy, chúng ta đã chứng minh xong điều cần chứng minh.

Ứng dụng cơ bản

Giả sử $f$ là một hàm liên tục trên một khoảng $I$ bất kỳ. Nếu đạo hàm của $f$ tại mọi điểm trong $I$ đều bằng 0, thì $f$ là một hàm hằng.

Chứng minh: Giả sử đạo hàm của $f$ tại mọi điểm trong khoảng $I$ đều bằng 0. Xét một khoảng mở $(a,b)$ trong $I$. Theo định lý giá trị trung bình, tồn tại một điểm $c\in <!--\; \in \; -->(a,b)$ sao cho

$\frac{f\left(b\right)-<!--\; -\; -->f\left(a\right)}{b-<!--\; -\; -->a}=f^{\prime }\left(c\right)=0$

Vì vậy, ta có $f\left(b\right)=f\left(a\right)$. Do đó, $f$ là hàm hằng trên mọi khoảng con của $I$, và do đó là hàm hằng trên toàn bộ $I$ nhờ vào tính liên tục.

Nhận định:

• Tại các đầu của khoảng $I$, chỉ yêu cầu tính liên tục mà không cần tính khả vi. Tính liên tục của $f$ không cần phải chứng minh nếu $I$ là một khoảng mở, vì tính liên tục của $f$ trên khoảng đóng $[a,b]$ được suy ra từ sự tồn tại của đạo hàm trên khoảng mở $(a,b)$.

Định lý giá trị trung bình Cauchy

Định lý giá trị trung bình Cauchy, hay còn gọi là định lý giá trị trung bình mở rộng, là một mở rộng của định lý giá trị trung bình. Định lý này phát biểu rằng: Nếu hai hàm số $f$ và $g$ đều liên tục trên khoảng đóng $[a,b]$ và khả vi trên khoảng mở $(a,b)$, thì tồn tại một điểm $c\in <!--\; \in \; -->(a,b)$ sao cho

$(f\left(b\right)-<!--\; -\; -->f\left(a\right))g^{\prime }\left(c\right)=(g\left(b\right)-<!--\; -\; -->g\left(a\right))f^{\prime }\left(c\right).$

Nếu $g\left(a\right)\ne <!--\; \ne \; -->g\left(b\right)$ và $g^{\prime }\left(c\right)\ne <!--\; \ne \; -->0$, điều này có nghĩa là

$\frac{f^{\prime }\left(c\right)}{g^{\prime }\left(c\right)}=\frac{f\left(b\right)-<!--\; -\; -->f\left(a\right)}{g\left(b\right)-<!--\; -\; -->g\left(a\right)}.$

Theo cách hiểu hình học, điều này có nghĩa là sẽ tồn tại một tiếp tuyến với đồ thị của đường cong

với điều kiện tiếp tuyến này phải song song với đoạn thẳng nối hai điểm $(f\left(a\right),g\left(a\right)),(f\left(b\right),g\left(b\right))$. Tuy nhiên, định lý Cauchy không đảm bảo sự tồn tại của một tiếp tuyến như vậy trong mọi trường hợp $(f\left(a\right),g\left(a\right))$ và $(f\left(b\right),g\left(b\right))$ là những điểm khác nhau, vì điều này chỉ xảy ra khi có một giá trị $c$ sao cho $f^{\prime }\left(c\right)=g^{\prime }\left(c\right)=0$, tức là một giá trị mà tại đó đường cong bị dừng lại. Ví dụ điển hình cho trường hợp này là đường cong được xác định bởi

$t\mapsto <!--\; \mapsto \; -->(t^3,1-<!--\; -\; -->t^2),$

Trong khoảng $[a,b]$ từ (-1,0) đến (1,0), không tồn tại tiếp tuyến ngang. Tuy nhiên, tại $t=0$, đường cong có một điểm dừng.

Định lý giá trị trung bình Cauchy có thể được áp dụng để chứng minh quy tắc l'Hôpital. Đây là trường hợp đặc biệt của định lý giá trị trung bình Cauchy khi $g$ là hàm số đồng nhất: $g\left(t\right)=t$.

Chứng minh định lý giá trị trung bình Cauchy

Chứng minh định lý trung bình Cauchy dựa trên ý tưởng tương tự như chứng minh định lý giá trị trung bình.

Đặt $h\left(x\right)=f\left(x\right)-<!--\; -\; -->rg\left(x\right)$, trong đó $r$ là hằng số cần xác định. Vì $f,g$ là các hàm liên tục trên $[a,b]$ và khả vi trên $(a,b)$, thì hàm $h$ cũng sẽ thỏa mãn điều này. Ta chọn $r$ sao cho $h\left(x\right)$ thỏa mãn điều kiện của định lý Rolle.

Theo định lý Rolle, tồn tại một điểm $c\in <!--\; \in \; -->(a,b)$ sao cho $h^{\prime }\left(c\right)=0$, và từ công thức $h\left(x\right)=f\left(x\right)-<!--\; -\; -->rg\left(x\right)$, ta có thể kết luận

$f^{\prime }\left(c\right)-<!--\; -\; -->r{g}^{\prime }\left(c\right)=h^{\prime }\left(c\right)=0\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->\frac{f^{\prime }\left(c\right)}{g^{\prime }\left(c\right)}=r=\frac{f\left(b\right)-<!--\; -\; -->f\left(a\right)}{g\left(b\right)-<!--\; -\; -->g\left(a\right)}.$

Điều này chính là kết quả cần chứng minh.

Mở rộng cho định thức

Giả sử rằng $f,g$ và $h$ là các hàm liên tục trên $[a,b]$ và khả vi trên $(a,b)$. Đặt

Có tồn tại một điểm $c\in <!--\; \in \; -->(a,b)$ sao cho $D^{\prime }\left(c\right)=0$.

Hãy chú ý rằng

Nếu ta chọn $h\left(x\right)\equiv <!--\; \equiv \; -->1$, ta có định lý giá trị trung bình Cauchy. Nếu ta thay $h\left(x\right)\equiv <!--\; \equiv \; -->1$ và $g\left(x\right)\equiv <!--\; \equiv \; -->x$, ta có định lý giá trị trung bình.

Việc chứng minh cho tổng quát hóa này khá đơn giản: Ta có $D\left(a\right)$ và $D\left(b\right)$ là các định thức có hai hàng giống nhau, vì thế $D\left(a\right)=D\left(b\right)=0$. Theo định lý Rolle, có một điểm $c\in <!--\; \in \; -->(a,b)$ sao cho $D^{\prime }\left(c\right)=0$.

Định lý giá trị trung bình cho hàm nhiều biến

Định lý giá trị trung bình với hàm một biến có thể được mở rộng cho hàm nhiều biến bằng cách sử dụng tham số. Giả sử $G$ là một tập con mở của $R^n$, và $f:G\to <!--\; \to \; -->R$ là một hàm khả vi. Chọn các điểm $x,y\in <!--\; \in \; -->G$ sao cho khoảng mở $(x,y)$ nằm trong $G$ và định nghĩa . Do $g$ là hàm một biến khả vi, ta áp dụng định lý giá trị trung bình và có

$g\left(1\right)-<!--\; -\; -->g\left(0\right)=g^{\prime }\left(c\right)$

với $c\in <!--\; \in \; -->(0,1)$. Cũng có $g\left(1\right)=f\left(y\right)$ và $g\left(0\right)=f\left(x\right)$, từ đó tính trực tiếp $g^{\prime }\left(c\right)$, ta có

,

Trong đó $\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}$ đại diện cho vector gradient và $\cdot <!--\; \cdot \; -->$ là ký hiệu cho tích vô hướng. Điều này tương đương với phiên bản của định lý dành cho hàm một biến. Dựa vào bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, chúng ta có

.

Khi các đạo hàm riêng của $f$ được chặn, hàm $f$ sẽ liên tục Lipschitz (và do đó hội tụ đều). Điều quan trọng là hàm $f$ không cần phải có đạo hàm liên tục cũng như liên tục trên bao đóng của $G$. Tuy nhiên, vì chúng ta đã sử dụng quy tắc xích, sự tồn tại của $\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}f$ không phải là yêu cầu cần thiết.

Chúng ta sẽ chứng minh rằng $f$ là hàm hàng nếu $G$ liên thông và mọi đạo hàm riêng của $f$ đều bằng 0. Chọn một điểm $x\in <!--\; \in \; -->G$ và định nghĩa $g\left(x\right)=f\left(x\right)-<!--\; -\; -->f\left(x_0\right)$. Chúng ta sẽ chỉ ra rằng $g\left(x\right)=0$ cho mọi $x\in <!--\; \in \; -->G$. Đặt $E=\{x\in <!--\; \in \; -->G\mid <!--\; \mid \; -->g(x)=0\}$. Khi đó, $E$ sẽ là tập đóng và không rỗng. Hơn nữa, $E$ cũng là tập mở: với mọi $x\in <!--\; \in \; -->E$, ta có

$|g\left(y\right)|=|g\left(y\right)-<!--\; -\; -->g\left(x\right)|\le <!--\; \le \; -->0|y-<!--\; -\; -->x|=0$

Với bất kỳ $y$ nào trong lân cận của $x$, ta có thể suy ra rằng $G$ liên thông, từ đó dẫn đến kết luận rằng $E=G$.

Tất cả các lập luận ở trên không phụ thuộc vào hệ tọa độ, vì vậy chúng ta đã tổng quát hóa cho trường hợp $G$ là một tập con của không gian Banach.

Định lý giá trị trung bình đối với hàm có giá trị là vector

Không tồn tại một định lý giá trị trung bình hoàn toàn tương đương cho hàm có giá trị là vector. Trong bộ sách Foundations of Modern Analysis, Jean Dieudonné đã bỏ qua định lý này và thay thế bằng bất đẳng thức trung vì cách chứng minh không có tính xây dựng và không thể tìm được giá trị trung bình. Serge Lang trong cuốn Analysis I đã áp dụng định lý giá trị trung bình dạng tích phân, tuy nhiên phương pháp này yêu cầu tính liên tục của đạo hàm. Nếu sử dụng tích phân Henstock-Kurzweil, ta có thể có định lý giá trị trung bình dưới dạng tích phân mà không cần giả thiết thêm về tính liên tục của đạo hàm, bởi vì tất cả các đạo hàm đều khả tích Henstock-Kurzweil.

Bài toán có thể được mô tả như sau: Nếu $f:U\to <!--\; \to \; -->R^m$ là một hàm khả vi (với $U\subset <!--\; \subset \; -->R^n$ là một tập mở) và nếu $x+th,x,h\in <!--\; \in \; -->R^m,t\in <!--\; \in \; -->[0,1]$ là một đoạn thẳng trong $U$, ta có thể áp dụng quá trình tham số hóa cho một hàm thành phần $f_i(i=1,\dots <!--\; \dots \; -->,m)$ của $f$ (với ký hiệu như trên, đặt $y=x+h$). Như vậy, ta có thể tìm các điểm $x+t_{i}h$ trên đoạn thẳng sao cho

$f_i(x+h)-<!--\; -\; -->f_i\left(x\right)=\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}{f}_i(x+t_{i}h)\cdot <!--\; \cdot \; -->h$.

Tuy nhiên, trong trường hợp tổng quát, không thể xác định một điểm duy nhất $x+t^{\ast <!--\; \ast \; -->}h$ trên đoạn thẳng sao cho

$f_i(x+h)-<!--\; -\; -->f_i\left(x\right)=\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}{f}_i(x+t^{\ast <!--\; \ast \; -->}h)\cdot <!--\; \cdot \; -->h$

đồng thời với mọi $i$. Để minh họa, hãy xem xét hàm $f:[0,2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}]\to <!--\; \to \; -->R^2$ với các thành phần là $f_1\left(x\right)=\cos <!--\; \; -->x,f_2\left(x\right)=\sin <!--\; \; -->x$. Khi đó, có $f\left(2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\right)-<!--\; -\; -->f\left(0\right)=0\in <!--\; \in \; -->R^2$. Tuy nhiên, các đạo hàm $f_1^{\prime }\left(x\right)=-<!--\; -\; -->\sin <!--\; \; -->x$ và $f_2^{}\prime \left(x\right)=\cos <!--\; \; -->x$ không đồng thời bằng 0 với mọi $x$.

Tuy nhiên, định lý giá trị trung bình cho hàm vector có thể được mở rộng như sau: Nếu $f$ là một hàm thực khả vi liên tục trên một khoảng mở $I$, và $x,x+h$ là các điểm thuộc $I$. Theo định lý giá trị trung bình cho hàm một biến, tồn tại một giá trị $t^{\ast <!--\; \ast \; -->}\in <!--\; \in \; -->(0,1)$ nằm giữa $0,1)$ sao cho

$f(x+h)-<!--\; -\; -->f\left(x\right)=f^{\prime }(x+t\ast <!--\; \ast \; -->h)\cdot <!--\; \cdot \; -->h$.

Ngược lại, theo định lý cơ bản trong giải tích, ta có

$f(x+h)-<!--\; -\; -->f\left(x\right)={\int <!--\; \int \; -->}_x^{x+h}{f}^{\prime }\left(u\right)du=\left({\int <!--\; \int \; -->}_0^1{f}^{\prime }(x+th)dt\right)\cdot <!--\; \cdot \; -->h.$

Do đó, giá trị của $f^{\prime }(x+t^{\ast <!--\; \ast \; -->}h)$ tại điểm $t^{\ast <!--\; \ast \; -->}$ được thay thế bằng giá trị trung bình

${\int <!--\; \int \; -->}_0^1{f}^{\prime }(x+th)dt.$

Công thức này có thể mở rộng cho các hàm nhận đầu vào là vector: Giả sử $U\subset <!--\; \subset \; -->R^n$ là một tập mở, và $f:U\to <!--\; \to \; -->R^m$ là một hàm liên tục khả vi. Nếu $x\in <!--\; \in \; -->U,h\in <!--\; \in \; -->R^n$ là các vector sao cho toàn bộ đoạn thẳng $x+th,0\le <!--\; \le \; -->t\le <!--\; \le \; -->1$ nằm trong $U$. Khi đó, ta có

$(\ast <!--\; \ast \; -->)f(x+h)-<!--\; -\; -->f\left(x\right)=\left({\int <!--\; \int \; -->}_0^{1}Df(x+th)dt\right)\cdot <!--\; \cdot \; -->h,$

Với tích phân của ma trận được tính theo từng phần tử. ($Df$ biểu thị ma trận Jacobi của $f$.)

Từ đây, ta có thể suy luận rằng nếu $\Vert <!--\; \Vert \; -->Df(x+th)\Vert <!--\; \Vert \; -->$ bị giới hạn bởi $t\in <!--\; \in \; -->[0,1]$ bởi một hằng số $M$ nào đó, thì

$(\ast <!--\; \ast \; -->\ast <!--\; \ast \; -->)\Vert <!--\; \Vert \; -->f(x+h)-<!--\; -\; -->f\left(x\right)\Vert <!--\; \Vert \; -->\le <!--\; \le \; -->M\Vert <!--\; \Vert \; -->h\Vert <!--\; \Vert \; -->.$

Chứng minh (). Gọi các hàm thành phần của hàm $f$ là $f_i(i=1,\dots <!--\; \dots \; -->,m)$. Định nghĩa $g_i:[0,1]\mapsto <!--\; \mapsto \; -->R$ theo $g_i\left(t\right):=f_i(x+th)$. Ta có

Sự khẳng định này được suy ra từ việc ma trận đạo hàm $Df$ có các phần tử là .

Chứng minh (**). Từ kết quả của (), ta có

$\Vert <!--\; \Vert \; -->f(x+h)-<!--\; -\; -->f\left(x\right)\Vert <!--\; \Vert \; -->=\Vert {\int <!--\; \int \; -->}_0^1\left(Df\right(x+th)\cdot <!--\; \cdot \; -->h)dt\Vert \le <!--\; \le \; -->{\int <!--\; \int \; -->}_0^1\Vert <!--\; \Vert \; -->Df(x+th)\Vert <!--\; \Vert \; -->\cdot <!--\; \cdot \; -->\Vert <!--\; \Vert \; -->h\Vert <!--\; \Vert \; -->dt\le <!--\; \le \; -->M\Vert <!--\; \Vert \; -->h\Vert <!--\; \Vert \; -->.$

Ta đã sử dụng bổ đề sau: Bổ đề. Cho $v:[a,b]\to <!--\; \to \; -->R^m$ là hàm liên tục trên đoạn $[a,b]\subset <!--\; \subset \; -->R$. Khi đó, ta có

$(\ast <!--\; \ast \; -->\ast <!--\; \ast \; -->\ast <!--\; \ast \; -->)\Vert {\int <!--\; \int \; -->}_a^{b}v\left(t\right)dt\Vert \le <!--\; \le \; -->{\int <!--\; \int \; -->}_a^b\Vert <!--\; \Vert \; -->v\left(t\right)\Vert <!--\; \Vert \; -->dt.$

Chứng minh (). Giả sử $u\in <!--\; \in \; -->R^m$ là giá trị của tích phân

$u:={\int <!--\; \int \; -->}_a^{b}v\left(t\right)dt.$

Vậy ta có

$\Vert <!--\; \Vert \; -->u{\Vert <!--\; \Vert \; -->}^2=⟨<!--\; ⟨\; -->u,u⟩<!--\; ⟩\; -->=⟨{\int <!--\; \int \; -->}_a^{b}v\left(t\right)dt,u⟩={\int <!--\; \int \; -->}_a^b⟨<!--\; ⟨\; -->v\left(t\right),u⟩<!--\; ⟩\; -->dt\le <!--\; \le \; -->{\int <!--\; \int \; -->}_a^b\Vert <!--\; \Vert \; -->v\left(t\right)\Vert <!--\; \Vert \; -->\cdot <!--\; \cdot \; -->\Vert <!--\; \Vert \; -->u\Vert <!--\; \Vert \; -->dt=\Vert <!--\; \Vert \; -->u\Vert <!--\; \Vert \; -->{\int <!--\; \int \; -->}_a^b\Vert <!--\; \Vert \; -->v\left(t\right)\Vert <!--\; \Vert \; -->dt,$

Từ đây, ta suy ra rằng

Định lý giá trị trung bình dạng tích phân

Định lý giá trị trung bình dạng tích phân thứ nhất

Định lý giá trị trung bình dạng tích phân thứ nhất phát biểu rằng:

Giả sử $G:[a,b]\to <!--\; \to \; -->R$ là một hàm liên tục và là một hàm khả tích không âm trên khoảng $(a,b)$, thì tồn tại một $x\in <!--\; \in \; -->(a,b)$ sao cho

Đặc biệt, nếu với mọi $t\in <!--\; \in \; -->(a,b)$, thì tồn tại một $x\in <!--\; \in \; -->(a,b)$ sao cho

${\int <!--\; \int \; -->}_a^{b}G\left(t\right)dt=G\left(x\right)(b-<!--\; -\; -->a).$

Công thức này thường được viết dưới dạng

Giá trị $G\left(x\right)$ được gọi là giá trị trung bình của $G\left(t\right)$ trên đoạn $[a,b]$.

Chứng minh định lý giá trị trung bình theo dạng tích phân thứ nhất

Để không làm mất tính tổng quát, giả sử với mọi $t$. Theo định lý cực trị, hàm liên tục $G$ có các giá trị cực tiểu $m$ và giá trị cực đại $M$ hữu hạn trên đoạn $[a,b]$. Nhờ vào tính đơn điệu của tích phân và bất đẳng thức , cùng với điều kiện không âm, ta có

Giả sử ký hiệu tích phân của trên đoạn $[a,b]$ là $I$. Nếu $I=0$, thì đẳng thức đúng cho mọi $x\in <!--\; \in \; -->(a,b)$. Do đó, ta có thể giả định rằng $I>0$. Chia cả hai vế cho $I$ và ta nhận được

.

Từ định lý giá trị trung gian, hàm liên tục $G\left(t\right)$ đạt được mọi giá trị trong đoạn $[m,M]$, đặc biệt, tồn tại một giá trị $x\in <!--\; \in \; -->[a,b]$ sao cho

Vì vậy, ta đã chứng minh xong điều cần chứng minh.

Định lý giá trị trung bình cho tích phân bậc hai

Có nhiều phiên bản của định lý giá trị trung bình bậc hai dạng tích phân, trong đó phiên bản phổ biến nhất là như sau:

Nếu $G:[a,b]\to <!--\; \to \; -->R$ là một hàm dương và đơn điệu giảm, và $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}:[a,b]\to <!--\; \to \; -->R$ là một hàm khả tích, thì tồn tại một điểm $x\in <!--\; \in \; -->(a,b]$ sao cho

${\int <!--\; \int \; -->}_a^{b}G\left(t\right)\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}\left(t\right)dt=G(a+0){\int <!--\; \int \; -->}_a^x\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}\left(t\right)dt.$

Ở đây, $G(a+0)$ đại diện cho $\underset{x\to <!--\; \to \; -->a^{+}}{lim}G\left(x\right)$, và từ các điều kiện đã cho, ta có thể suy ra rằng giới hạn này tồn tại. Lưu ý rằng $x\in <!--\; \in \; -->(a,b]$ chứa điểm $b$ là điều kiện cần thiết. Một biến thể khác của định lý không yêu cầu điều kiện này là:

Nếu $G:[a,b]\to <!--\; \to \; -->R$ là một hàm đơn điệu (không cần phải giảm và dương) và $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}:[a,b]\to <!--\; \to \; -->R$ là một hàm khả tích, thì tồn tại một điểm $x\in <!--\; \in \; -->(a,b)$ sao cho

${\int <!--\; \int \; -->}_a^{b}G\left(t\right)\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}\left(t\right)dt=G(a+0){\int <!--\; \int \; -->}_a^x\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}\left(t\right)dt+G(b-<!--\; -\; -->0){\int <!--\; \int \; -->}_x^b\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}\left(t\right)dt.$

Định lý này được Hiroshi Okamura chứng minh vào năm 1947.

Công thức xác suất tương tự như định lý giá trị trung bình

Giả sử $X,Y$ là các biến ngẫu nhiên với và $X{\le <!--\; \le \; -->}_{st}Y$ (tức là $X$ nhỏ hơn $Y$ theo phân phối ngẫu nhiên). Khi đó, tồn tại một biến ngẫu nhiên không âm, liên tục tuyệt đối $Z$ với hàm mật độ xác suất

$f_Z\left(x\right)=\frac{Pr(Y>x)-<!--\; -\; -->Pr(X>x)}{E\left[Y\right]-<!--\; -\; -->E\left[X\right]},x\ge <!--\; \ge \; -->0.$

Giả sử $g$ là một hàm khả vi và đo được sao cho , và đạo hàm của nó đo được, khả tích Riemann trên đoạn $[x,y]$ với mọi $y\ge <!--\; \ge \; -->x\ge <!--\; \ge \; -->0$. Khi đó, giá trị kỳ vọng của đạo hàm hàm $E\left[g^{\prime }\right(Z\left)\right]$ là hữu hạn và

$E\left[g\right(Y\left)\right]-<!--\; -\; -->E\left[g\right(X\left)\right]=E\left[g^{\prime }\right(Z\left)\right]\left[E\right(Y)-<!--\; -\; -->E(X).$

Tổng quát hóa trong phân tích hàm phức

Như đã đề cập ở phần trước, định lý này không áp dụng cho các hàm phức khả vi. Tuy nhiên, có một tổng quát của định lý này như sau:

Giả sử $f:\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}\to <!--\; \to \; -->C$ là một hàm phân tích trên một tập hợp lồi mở $\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}$, và $a,b$ là hai điểm phân biệt trong $\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}$. Thì sẽ tồn tại hai điểm $u,v$ trên đoạn thẳng $L_{ab}$ nối hai điểm $a,b$ sao cho

$Re\left(f^{\prime }\right(u\left)\right)=Re\left(\frac{f\left(b\right)-<!--\; -\; -->f\left(a\right)}{b-<!--\; -\; -->a}\right),$

$Im\left(f^{\prime }\right(v\left)\right)=Im\left(\frac{f\left(b\right)-<!--\; -\; -->f\left(a\right)}{b-<!--\; -\; -->a}\right).$

Trong đó $Re\left(\right)$ biểu thị phần thực và $Im\left(\right)$ biểu thị phần ảo của hàm phức.

Tài liệu tham khảo

• PlanetMath: Định lý giá trị trung bình Lưu trữ 2009-11-18 trên Wayback Machine
• Weisstein, Eric W., 'Định lý giá trị trung bình' từ MathWorld.
• Weisstein, Eric W., 'Định lý giá trị trung bình của Cauchy' từ MathWorld.
• 'Định lý giá trị trung bình: Sự hiểu biết về Định lý giá trị trung bình' tại Khan Academy