Định lý lớn Fermat

Định lý cuối cùng của Fermat (hay còn gọi là định lý Fermat lớn) là một trong những định lý nổi tiếng nhất trong lịch sử toán học. Định lý này phát biểu rằng:

Không có các số nguyên dương a, b, c nào thỏa mãn a + b = c khi mà n là một số nguyên lớn hơn 2.

Định lý này đã thử thách nhiều bộ óc vĩ đại trong gần 4 thế kỷ. Cuối cùng, Andrew Wiles đã chứng minh vào năm 1993 sau gần 8 năm nghiên cứu và phát triển từ các giả thuyết liên quan. Tuy nhiên, chứng minh này còn thiếu sót và đến năm 1995, Wiles mới hoàn thiện và công bố chứng minh đầy đủ sau 358 năm nỗ lực của các nhà toán học. Bằng chứng được mô tả là một 'bước tiến vĩ đại' trong trích dẫn giải thưởng Abel năm 2016. Chứng minh của Định lý cuối cùng của Fermat cũng đã giải quyết nhiều định lý module và mở ra các phương pháp tiếp cận mới cho nhiều vấn đề khác, nâng cao kỹ thuật tính toán module. Những vấn đề chưa được giải quyết đã thúc đẩy sự phát triển của lý thuyết đại số ở thế kỷ 19 và sự chứng minh của định lý Module ở thế kỷ 20. Đây là định lý trứ danh nhất trong lịch sử toán học. Trước khi được chứng minh, định lý đã được ghi vào sách kỷ lục Guinness thế giới như là vấn đề toán học khó nhất mọi thời đại, một phần vì có rất nhiều bài chứng minh không thành công.

Tổng quan về định lý

Nguồn gốc của định lý Pythagoras

Phương trình Pythagoras, x + y = z, có vô số bộ ba số nguyên dương (x, y, z) thỏa mãn. Khoảng năm 1637, Fermat đã ghi trong một quyển sách rằng phương trình tổng quát hơn a + b = c không có nghiệm nguyên dương nào nếu n là số nguyên lớn hơn 2. Dù Fermat tuyên bố có một cách chứng minh tổng quát cho giả thuyết của mình, ông không để lại chi tiết chứng minh và không có bằng chứng nào từ ông được tìm thấy. Tuyên bố của ông chỉ được phát hiện khoảng 30 năm sau khi ông qua đời. Khẳng định này, được biết đến như Định lý cuối cùng của Fermat, đã trở thành một vấn đề nổi bật chưa được giải quyết trong toán học trong gần 3,5 thế kỷ. Nỗ lực để chứng minh nó đã thúc đẩy sự phát triển đáng kể trong lý thuyết số và định lý này đã nổi bật như một bài toán chưa được giải quyết trong toán học.

Sự phát triển và các nghiệm sau đó

Với trường hợp đặc biệt n = 4 được chứng minh bởi chính Fermat, việc chứng minh định lý này trở nên đơn giản hơn, chỉ cần chứng minh cho các số mũ là số nguyên tố (việc chứng minh này được coi là bình thường). Trong hai thế kỷ tiếp theo (1637-1839), phỏng đoán đã được chứng minh cho các số nguyên tố 3, 5 và 7, mặc dù Sophie Germain đã đổi mới và chứng minh một phương pháp tiếp cận liên quan đến toàn bộ bậc của số nguyên tố. Vào giữa thế kỷ 19, Ernst Kummer đã mở rộng công trình này và chứng minh định lý cho tất cả các số nguyên tố thường, để lại các số nguyên tố bất thường để phân tích riêng biệt. Dựa trên công trình của Kummer và các nghiên cứu máy tính phức tạp, các nhà toán học khác đã mở rộng cách chứng minh để bao gồm tất cả các số nguyên tố chính lên đến bốn triệu, nhưng chứng minh cho tất cả các số mũ vẫn chưa thể đạt được (được coi là không thể với kiến thức hiện tại).

Vào khoảng năm 1955, các nhà toán học Nhật Bản Goro Shimura và Yutaka Taniyama đã nghi ngờ về sự liên kết giữa hai lĩnh vực toán học hoàn toàn khác biệt: các đường cong elliptic và dạng modular. Giả thuyết này, sau này được biết đến là định lý modular, không có mối liên hệ rõ ràng với Định lý cuối cùng của Fermat, mặc dù nó được coi là quan trọng, nhưng cũng được xem là khó chứng minh.

Năm 1984, Gerhard Frey đã chỉ ra một mối liên hệ rõ ràng giữa hai vấn đề chưa được giải quyết. Frey đã phác thảo cách chứng minh khả thi, và Ken Ribet đã hoàn thiện bằng chứng vào năm 1986, dựa trên công trình của Jean-Pierre Serre, người đã chứng minh gần hết các phần của dự đoán epsilon (xem định lý Ribet và đường Frey). Các nghiên cứu của Frey, Serre và Ribet cho thấy nếu Định lý modular có thể chứng minh cho ít nhất là bán ổn định lớp đường cong elliptic, thì Định lý cuối cùng của Fermat cũng sẽ được chứng minh. Sự kết nối này cho thấy bất kỳ nghiệm nào trái ngược với Định lý cuối cùng của Fermat cũng sẽ làm đảo ngược Định lý modular, vì vậy nếu định lý Modular đúng, không có nghiệm nào trái ngược với Định lý cuối cùng của Fermat có thể tồn tại.

Dù cả hai vấn đề đều được coi là 'hoàn toàn không thể tiếp cận' vào thời điểm đó, đây là gợi ý đầu tiên về một con đường cho phép Định lý cuối cùng của Fermat có thể được mở rộng và chứng minh cho tất cả các số, không chỉ một số cụ thể. Định lý modular, không giống như Định lý cuối cùng của Fermat, là một lĩnh vực nghiên cứu chính thống yêu cầu chứng minh rộng rãi, và do đó việc nghiên cứu nó có thể rất chuyên sâu. Tuy nhiên, nhiều người cho rằng điều này chỉ làm rõ thêm sự khó khăn của việc chứng minh giả thuyết Taniyama-Shimura. Như nhà toán học John Coates đã nói:

'Tôi rất nghi ngờ rằng mối liên hệ giữa Định lý cuối cùng của Fermat và giả thuyết Taniyama-Shimura sẽ dẫn đến kết quả gì, vì tôi phải thừa nhận rằng tôi không tin rằng giả thuyết Taniyama-Shimura có thể được chứng minh. Nó dường như quá khó để chứng minh, và tôi nghĩ rằng tôi có thể không thấy điều đó trong suốt cuộc đời mình.'

Khi biết rằng Ribet đã chứng minh mối liên kết của Frey, nhà toán học người Anh Andrew Wiles, với niềm đam mê từ nhỏ về Định lý cuối cùng của Fermat và nền tảng vững chắc trong các đường cong elliptic và các lĩnh vực liên quan, quyết định thử chứng minh giả thuyết Taniyama-Shimura để chứng minh Định lý cuối cùng của Fermat. Vào năm 1993, sau sáu năm làm việc bí mật, Wiles đã thành công trong việc chứng minh các giả thuyết cần thiết để chứng minh Định lý cuối cùng của Fermat. Bản báo cáo của Wiles rất quy mô và phạm vi rộng lớn. Một lỗi đã được phát hiện trong bài báo gốc và Wiles đã phải hợp tác với học trò Richard Taylor thêm một năm nữa để sửa chữa. Chứng minh hoàn chỉnh được công bố vào năm 1995 kèm theo một báo cáo phụ cho thấy các sửa chữa là hợp lệ. Thành tựu của Wiles được báo chí nổi tiếng đưa tin rộng rãi và được phổ biến trong các sách và chương trình truyền hình. Định lý Taniyama-Shimura-Weil, giờ đã được chứng minh và gọi là định lý Modular, sau đó được các nhà toán học khác chứng minh từ năm 1996 đến 2001, xây dựng dựa trên công trình của Wiles. Nhờ vào thành tựu này, Wiles đã nhận được nhiều giải thưởng, bao gồm giải thưởng Abel năm 2016.

Các phát biểu tương đương của định lý

Định lý cuối cùng của Fermat có thể được phát biểu theo nhiều cách toán học khác nhau tương đương với câu lệnh gốc của vấn đề.

Để biểu diễn các phát biểu này, chúng ta sử dụng ký hiệu toán học: N là tập hợp các số tự nhiên 1, 2, 3, ...; Z là tập hợp các số nguyên 0, ±1, ±2, ...; và Q là tập hợp các số hữu tỷ với a và b thuộc Z và b ≠ 0. Trong đó, một nghiệm cho x + y = z, khi một hoặc nhiều giá trị x, y, hoặc z bằng 0, thì cách giải trở nên đơn giản. Nếu cả ba giá trị x, y, và z đều khác 0, nghiệm trở nên phức tạp hơn.

Để so sánh, chúng ta bắt đầu với công thức gốc.

Phát biểu gốc: Với n, x, y, z ∈ N (tức là x, y, z là các số nguyên dương) và n > 2, phương trình x + y = z không có nghiệm.

Các phương pháp phổ biến nhất để tiếp cận vấn đề này. Ngược lại, gần như mọi sách giáo khoa toán học đều trình bày qua Z:

Lịch sử toán học

Pythagoras và Diophantus

Trong thời kỳ cổ đại, người ta đã biết rằng một tam giác với tỷ lệ các cạnh là 3 : 4 : 5 là một tam giác vuông. Kiến thức này đã được ứng dụng trong xây dựng và hình học từ rất sớm. Thực ra, đây chỉ là một trường hợp đặc biệt của một nguyên tắc tổng quát hơn: bất kỳ tam giác nào có tổng bình phương của hai cạnh bất kỳ bằng bình phương của cạnh còn lại thì tam giác đó là tam giác vuông.

Nguyên lý này được gọi là định lý Pythagoras, và một bộ ba số thỏa mãn điều kiện này được gọi là bộ ba số Pythagoras, được đặt theo tên nhà toán học Hy Lạp cổ đại Pythagoras. Ví dụ, các bộ ba (3, 4, 5) và (5, 12, 13) là những ví dụ điển hình. Có rất nhiều bộ ba số như vậy, và các phương pháp để tạo ra chúng đã được nghiên cứu ở nhiều nền văn hóa khác nhau, từ người Babylon, rồi đến các nhà toán học Hy Lạp, Trung Quốc và Ấn Độ. Về mặt toán học, một bộ ba số Pythagoras được định nghĩa là một tập hợp ba số nguyên (a, b, c) thỏa mãn phương trình: a² + b² = c².

Định lý cuối cùng của Fermat mở rộng phương trình này cho bậc n lớn hơn 2, và khẳng định rằng, mặc dù có vô số bộ ba số nguyên dương thỏa mãn phương trình khi n = 2, không tồn tại nghiệm dương nào cho n > 2.

Phương trình của Fermat, x² + y² = z² với các nghiệm là số nguyên dương, là một ví dụ của phương trình Diophantine. Tên gọi này được đặt theo nhà toán học người Alexandrian Diophantus, người đã nghiên cứu và phát triển phương pháp giải cho các phương trình Diophantine vào thế kỷ thứ ba. Một ví dụ điển hình của phương trình Diophantine là tìm hai số nguyên x và y sao cho tổng bình phương của chúng bằng hai số A và B tương ứng.

A = x² + y²

B = x² + y²

Diophantus nổi tiếng với công trình chính của mình là cuốn Arithmetica, nhưng chỉ còn lại một phần nhỏ công trình của ông. Phỏng đoán của Fermat về Định lý Cuối cùng của ông được thúc đẩy bởi việc đọc một ấn bản mới của cuốn Arithmetica

, do Claude Bachet xuất bản và dịch sang tiếng Latin vào năm 1621.

Phương trình Diophantine đã được nghiên cứu suốt hàng nghìn năm. Ví dụ, phương trình bậc hai x² + y² = z² được giải bằng các bộ ba số Pythagoras, đã được người Babylon (khoảng 1800 TCN) giải quyết. Các phương trình Diophantine tuyến tính, như 26x + 65y = 13, có thể được giải bằng thuật toán Euclide (khoảng thế kỷ 5 trước công nguyên). Nhiều phương trình Diophantine tương tự như phương trình trong Định lý Cuối cùng của Fermat từ góc độ đại số. Ví dụ, có vô số bộ ba số nguyên dương x, y, và z sao cho x² + y² = z², với n và m là các số nguyên tố tự nhiên.

Vấn đề II.8 trong ấn bản Arithmetica năm 1621 của Diophantus không đủ chỗ ở lề sách để trình bày chi tiết chứng minh của Fermat về 'định lý cuối cùng' của ông.

Vấn đề II.8 trong Arithmetica đề cập đến việc phân tích một số bình phương thành tổng của hai số bình phương khác; cụ thể là, với một số k nhất định, tìm hai số u và v sao cho k = u² + v². Diophantus đã chỉ ra cách giải quyết vấn đề này khi k = 4.

Khoảng năm 1637, Fermat đã ghi chú về bài toán cuối cùng của mình bên cạnh vấn đề tổng bình phương của Diophantus trong bản sao của Arithmetica.

Sau khi Fermat qua đời năm 1665, con trai ông, Clément-Samuel Fermat, đã phát hành một phiên bản mới của cuốn sách vào năm 1670 với các chú thích của cha mình. Mặc dù vào thời điểm đó chưa được coi là một định lý chính thức, sau này nó được biết đến như Định lý Cuối cùng của Fermat, vì nó là một trong những tuyên bố cuối cùng của Fermat chưa được chứng minh.

Không rõ Fermat có thực sự tìm ra chứng minh tổng quát cho mọi số mũ n hay không, nhưng có vẻ như ông không có. Chỉ có bằng chứng cho trường hợp n = 4 được biết đến, như mô tả trong phần Bằng chứng cho số mũ cụ thể. Dù Fermat đã đặt ra các thách thức cho các nhà toán học như Marin Mersenne, Blaise Pascal và John Wallis về các trường hợp n = 4 và n = 3, ông chưa bao giờ công bố chứng minh tổng quát. Trong ba mươi năm cuối đời, Fermat không viết thêm gì về 'cách chứng minh kỳ diệu' của mình và không công bố nó. Van der Poorten cho rằng sự thiếu bằng chứng có thể do Fermat nhận ra rằng ông không có cách chứng minh nào, và Weil suy đoán rằng Fermat có thể đã tạm thời lừa dối mình với một ý tưởng không thể thực hiện được.

Kỹ thuật mà Fermat có thể đã sử dụng cho 'chứng minh kỳ diệu' của ông vẫn còn là một bí ẩn.

Chứng minh của Taylor và Wiles dựa trên các kỹ thuật hiện đại của thế kỷ 20. Cách chứng minh của Fermat có thể đã được so sánh với các phương pháp hiện đại.

Theo giả thuyết của Harvey Friedman, bất kỳ định lý nào có thể chứng minh, bao gồm Định lý Cuối cùng của Fermat, đều có thể được chứng minh bằng cách sử dụng 'số học cơ bản'. Tuy nhiên, chứng minh cần phải là 'cơ bản' chỉ theo nghĩa kỹ thuật và có thể liên quan đến hàng triệu bước, điều này làm cho chứng minh của Fermat trở nên không thể thực hiện được.

Giả thuyết của Fermat

Định lý Cuối cùng của Fermat, hay Định lý Lớn Fermat, được đặt tên như vậy vì vào năm 1630, Fermat tin rằng không thể tìm được nghiệm nguyên cho phương trình bậc ba. Điều thú vị là Fermat đã ghi chú phỏng đoán này bên lề cuốn sách Arithmetica của Diophantus mà không cung cấp chứng minh, chỉ kèm theo dòng chữ: 'Tôi có một phương pháp rất hay để chứng minh trường hợp tổng quát, nhưng không thể viết ra đây vì lề sách quá hẹp.' Việc Fermat có thực sự chứng minh được định lý hay không vẫn còn gây tranh cãi, nhưng nó đã trở thành một vấn đề nổi tiếng trong toán học, với các nhà toán học qua các thế hệ đã cố gắng mà không thành công để tìm ra lời giải.

Bằng những ghi chú viết tay, nhà toán học Pháp Pierre de Fermat đã chính thức thách thức các thế hệ toán học tiếp theo. Nhiều nhà toán học đã cống hiến cả đời mình để cố gắng chứng minh định lý này, mặc dù nghe có vẻ đơn giản.

Hành trình hàng trăm năm để giải quyết lời thách thức, cùng với sự phức tạp của lời giải dài hàng trăm trang, đã khiến người ta vừa nghi ngờ, vừa ngưỡng mộ Fermat qua các thế hệ nhà toán học.

Lịch sử chứng minh Định lý Lớn Fermat

Đến đầu thế kỷ 20, các nhà toán học mới chỉ chứng minh được định lý này cho các giá trị n = 3, 4, 5, 7 và các bội số của chúng. Nhà toán học người Đức Ernst Kummer đã chứng minh định lý cho mọi số nguyên tố nhỏ hơn 100, ngoại trừ ba số nguyên tố đặc biệt là 37, 59, và 67.

Nhà toán học vĩ đại người Thụy Sĩ, Leonhard Euler (1707 – 1783), đã chứng minh định lý cho các trường hợp n = 3 và n = 4.

Năm 1828, Dirichlet đã chứng minh định lý cho trường hợp n = 5.

Vào những năm 1840, Gabriel Lamé đã hoàn thành chứng minh cho n = 7.

Hai thế kỷ sau Fermat, định lý đã được chứng minh cho các giá trị n = 3, 4, 5, 6 và 7.

Vì độ khó của định lý, Bell trong cuốn 'Bài toán cuối cùng' đã phải thừa nhận rằng nền văn minh của chúng ta có thể sẽ kết thúc trước khi một lời giải được tìm ra.

Tuy nhiên, vào năm 1908, định lý Fermat bỗng dưng thu hút sự chú ý nhờ một nhà công nghiệp và tiến sĩ toán học người Đức, Paul Wolfskehl. Sau một cú sốc cá nhân, ông quyết định tự sát vào giữa đêm. Trong lúc chờ đợi, ông tình cờ đọc một chứng minh của Kummer về định lý Fermat. Sự mê mẩn với toán học đã cứu sống ông, và ông quyết định sử dụng phần lớn gia sản của mình để thành lập giải thưởng Wolfskehl trị giá 100.000 mác, tương đương 1,75 triệu USD, để thưởng cho người giải được định lý Fermat. Giải thưởng này vượt qua cả giải Nobel.

Khi giải thưởng được công bố, Đại học Gottingen đã nhận được một làn sóng các bài dự thi. Trong năm đầu tiên, có tới 621 'lời giải' được gửi đến và trong những năm tiếp theo, số lượng thư gửi đến cao đến 3m. Đáng tiếc, tất cả đều không đúng.

Quá trình giải quyết của Andrew Wiles

Trong cuộc hành trình giải quyết 'Định lý cuối cùng của Fermat', có những người đã phải chịu đựng đau khổ và tự lừa dối chính mình. Sau gần bốn thế kỷ, nhà toán học người Anh Andrew Wiles đã công bố lời giải duy nhất vào mùa hè năm 1993 và bản chỉnh sửa cuối cùng vào năm 1995, với một bài chứng minh dài 200 trang.

• Tháng 5 năm 1993, Wiles thông báo với vợ mình rằng ông đã giải quyết thành công bài toán.
• Tháng 6 năm 1993, trong bài báo 'Elliptic Curves and Modular Forms', Wiles công khai rằng ông đã giải được Định lý cuối cùng của Fermat.
• Vào tháng 7 và tháng 8 năm 1993, Nick Katz, đồng nghiệp của Wiles tại Đại học Princeton, đã trao đổi qua email với ông về những điểm chưa rõ ràng, chỉ ra rằng trong chứng minh của Wiles có một sai sót cơ bản.
• Vào tháng 9 năm 1993, Wiles nhận ra lỗi và cố gắng sửa chữa. Vào ngày sinh nhật của vợ ông, 6 tháng 10, bà yêu cầu món quà sinh nhật là một chứng minh đúng, nhưng dù đã nỗ lực hết sức, Wiles vẫn không thể hoàn thành.
• Vào tháng 11 năm 1993, ông gửi email thông báo có vấn đề trong phần chứng minh của mình.
• Sau nhiều tháng thất bại, Wiles gần như tuyệt vọng. Trong lúc cùng cực, ông yêu cầu sự giúp đỡ. Richard Taylor, một cựu sinh viên của ông, đã đến Princeton để cùng nghiên cứu và tìm giải pháp với Wiles.

• Trong ba tháng đầu năm 1994, Wiles và Taylor không ngừng nỗ lực để khắc phục vấn đề nhưng không đạt được kết quả.
• Vào tháng 9 năm 1994, ông trở lại nghiên cứu một vấn đề cơ bản mà chứng minh của ông đã dựa vào đó.
• Vào ngày 19 tháng 9 năm 1994, ông phát hiện ra cách sửa chữa vấn đề một cách đơn giản và tinh tế, dựa trên một cố gắng chứng minh từ ba năm trước. Sau khi xem xét kỹ lưỡng, ông vui mừng thông báo với vợ rằng đã thành công.
• Vào tháng 5 năm 1995, ông công bố chứng minh của mình trên tạp chí Annals of Mathematics tại Đại học Princeton.
• Vào tháng 8 năm 1995, tại một hội thảo ở Đại học Boston, cộng đồng toán học đã công nhận chứng minh của ông là đúng.

Helen G. Grundman, giáo sư toán học tại Bryn Mawr College, đã nhận xét về cách chứng minh như sau:

'Tôi nghĩ rằng có thể khẳng định rằng, các nhà toán học hiện tại đã chấp nhận chứng minh Định lý lớn Fermat của Wiles. Tuy nhiên, một số người sẽ cho rằng đó chỉ là công trình của riêng Wiles. Thực tế, chứng minh đó là kết quả của công sức của nhiều người. Wiles đã đóng góp quan trọng và kết hợp các công trình của nhiều người thành một chứng minh mà ông cho là hoàn chỉnh. Mặc dù những nỗ lực ban đầu của ông bị phát hiện có sai sót, Wiles và trợ lý Richard Taylor đã khắc phục được lỗi, và hiện tại đó là chứng minh mà chúng ta tin là chính xác.'

'Chứng minh mà chúng ta có hiện nay yêu cầu sự phát triển của cả một lĩnh vực toán học chưa tồn tại vào thời của Fermat. Mặc dù định lý có vẻ đơn giản và dễ hiểu, thực tế nó yêu cầu một hiểu biết sâu rộng về toán học để giải quyết. Vẫn chưa rõ liệu có tồn tại một chứng minh Định lý lớn Fermat chỉ sử dụng toán học và phương pháp đã có vào thời của Fermat hay không. Chúng ta chỉ có thể biết nếu một chứng minh như vậy được tìm ra.'

• Định lý Pythagoras
• Bộ ba số Pythagoras
• Định lý Fermat về số đa giác đều
• Định lý Fermat về tổng của hai số chính phương

Đọc thêm

• Simon Singh, Định lý cuối cùng của Fermat, Phạm Văn Thiều và Phạm Việt Hưng dịch, TP. Hồ Chí Minh: Nhà xuất bản Trẻ
• Amir D. Aczel, Câu chuyện hấp dẫn về bài toán Fermat, Trần Văn Nhung, Đỗ Trung Hậu, Nguyễn Kim Chi dịch, Hà Nội: Nhà xuất bản Giáo dục, 2000

Tiếng Anh:

• Amir D. Aczel, Fermat's Last Theorem, New York/London: Four Walls Eight Windows

Liên kết ngoài

• Thông tin về định lý cuối cùng của Fermat tại Encyclopædia Britannica (tiếng Anh)
• Chứng minh của Andrew Wiles Lưu trữ 2011-05-10 tại Wayback Machine
• Thông tin về các công trình của Fermat
• Nội dung chứng minh của Wiles bằng tiếng Anh Lưu trữ 2006-08-23 tại Wayback Machine
• Câu chuyện về định lý cuối cùng của Fermat Lưu trữ 2007-09-27 tại Wayback Machine
• Andrew Wiles và quá trình giải quyết bài toán
• Cách chứng minh thứ hai của định lý lớn Fermat