Định lý Maxwell

Bốn định lý Maxwell, được phát triển bởi James Clerk Maxwell, mô tả cách thức các trường điện từ và sự tương tác của chúng với vật chất.

• Cách điện tích tạo ra điện trường (định lý Gauss).
• Vắng mặt của từ tích.
• Cách dòng điện sinh ra từ trường (định lý Ampere).
• Và cách từ trường tạo ra điện trường (định lý cảm ứng Faraday)

Đây chính là nội dung cơ bản của thuyết điện từ Maxwell.

Khái quát lịch sử

Vào năm 1865, Maxwell công bố một tập hợp 20 phương trình với 20 ẩn số, nhiều phương trình trong số đó đã trở thành nền tảng cho hệ phương trình Maxwell hiện đại. Những phương trình này đã tổng hợp và mở rộng các định luật thực nghiệm trước đó: chỉnh sửa định lý Ampère (ba phương trình cho ba chiều (x, y, z)), định lý Gauss về điện tích (một phương trình), mối quan hệ giữa dòng điện tổng và dòng điện dịch (ba phương trình (x, y, z)), mối liên hệ giữa từ trường và thế năng vectơ (ba phương trình (x, y, z), chứng minh sự không tồn tại của từ tích), mối quan hệ giữa điện trường với thế năng vô hướng và thế năng vectơ (ba phương trình (x, y, z), định lý Faraday), mối liên hệ giữa điện trường và trường dịch chuyển (ba phương trình (x, y, z)), định lý Ohm về mật độ dòng điện và điện trường (ba phương trình (x, y, z)), và phương trình về tính liên tục (một phương trình). Oliver Heaviside và Willard Gibbs đã viết lại các phương trình của Maxwell vào năm 1884 dưới dạng phương trình vectơ, làm rõ tính đối xứng của các trường trong toán học. Sự chuyển đổi này đã dẫn đến hai bước nhảy quan trọng trong vật lý hiện đại: thuyết tương đối hẹp và cơ học lượng tử.

Các phương trình của Maxwell đã dự đoán sự tồn tại của sóng điện từ, cho thấy rằng khi có sự thay đổi trong cường độ dòng điện hoặc mật độ điện tích, sẽ sinh ra sóng điện từ lan truyền trong không gian. Vận tốc của sóng điện từ, ký hiệu c, được tính theo phương trình Maxwell và khớp với vận tốc ánh sáng đo được thực nghiệm. Điều này chứng tỏ ánh sáng chính là sóng điện từ. Nghiên cứu về ánh sáng và sóng điện từ, như các công trình của Max Planck về vật đen và Heinrich Hertz về hiện tượng quang điện, đã dẫn đến sự hình thành lý thuyết lượng tử.

Sự không phụ thuộc của vận tốc ánh sáng vào chiều và hệ quy chiếu, được rút ra từ phương trình Maxwell, là nền tảng của thuyết tương đối. Khi thay đổi hệ quy chiếu, các biến đổi Galileo cổ điển không áp dụng với các phương trình Maxwell mà phải sử dụng biến đổi Lorentz. Einstein đã áp dụng biến đổi Lorentz vào cơ học cổ điển và phát triển thuyết tương đối hẹp.

Khái quát

Bảng dưới đây tổng hợp các phương trình và khái niệm cho các trường hợp tổng quát. Ký hiệu bằng chữ đậm biểu thị vectơ, trong khi ký hiệu in nghiêng đại diện cho các đại lượng vô hướng.

Bảng sau đây trình bày các khái niệm về các đại lượng trong hệ đo lường SI:

Mối liên hệ giữa các đại lượng D và B với E và H được thể hiện như sau:

$B={\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_0(H+M)=(1+{\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}_m){\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_{0}H=\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}H$

Trong đó:

${\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}_e$ là hệ số cảm ứng điện của môi trường.

${\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}_m$ là hệ số cảm ứng từ của môi trường.

ε là hằng số điện môi trong môi trường, và

μ là hằng số từ môi của môi trường.

Khi các hằng số ε và μ thay đổi theo cường độ điện trường và từ trường, hiện tượng phi tuyến xuất hiện; tham khảo thêm về hiệu ứng Kerr và hiệu ứng Pockels.

Trong môi trường tuyến tính

Trong môi trường tuyến tính, vectơ phân cực điện P (coulomb/mét vuông) và vectơ phân cực từ M (ampere/mét) được xác định bởi:

$M={\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}_{m}H$

Khi các hằng số ε và μ không thay đổi theo tần số của sóng điện từ và môi trường là đẳng hướng (không thay đổi khi quay), tức là chúng không phụ thuộc vào thời gian, các phương trình Maxwell sẽ có dạng:

$\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}H=0$

Trong môi trường đồng nhất (không thay đổi theo phép tịnh tiến), các hằng số ε và μ không phụ thuộc vào không gian và có thể được đưa ra ngoài các phép đạo hàm không gian.

Trong trường hợp tổng quát, ε và μ có thể là các tensor bậc 2 mô tả môi trường lưỡng chiết. Trong các môi trường có tính tán sắc, nơi ε và/hoặc μ thay đổi theo tần số của ánh sáng (sóng điện từ), các sự phụ thuộc này tuân theo quan hệ Kramers-Kronig.

Trong môi trường chân không

Chân không là môi trường tuyến tính, đẳng hướng (không thay đổi khi quay hay tịnh tiến), không tán sắc, với các hằng số ε₀ và μ₀. Dù hiện tượng phi tuyến vẫn tồn tại trong chân không, chúng chỉ được quan sát khi cường độ ánh sáng vượt qua ngưỡng lớn so với giới hạn tuyến tính trong môi trường vật chất.

$B={\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_{0}H$

Trong chân không, nơi không có điện tích và dòng điện, các phương trình Maxwell trở thành:

$\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\cdot <!--\; \cdot \; -->E=0$

$\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\cdot <!--\; \cdot \; -->H=0$

Các phương trình này có các nghiệm đơn giản với dạng hàm sin và cos, mô tả cách sóng điện từ lan truyền trong chân không, với vận tốc truyền sóng được tính là:

Chi tiết

Phương trình Maxwell-Gauss

Phương trình Maxwell-Gauss, kế thừa từ định lý Gauss, mô tả mối liên hệ giữa tổng thông lượng điện trường qua một bề mặt kín và tổng điện tích nằm trong bề mặt đó:

${\oint <!--\; \oint \; -->}_{S}D\cdot <!--\; \cdot \; -->dA={\int <!--\; \int \; -->}_V\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}dV$

Phương trình này cho thấy rằng: mật độ điện tích chính là nguồn gốc của điện trường. Nói cách khác, sự hiện diện của điện tích (ở vế phải) sẽ tạo ra một điện trường với cảm ứng điện D được thể hiện ở vế trái. Ví dụ: một điện tích điểm q tại gốc tọa độ O. Định luật Coulomb cho ta biết trường tĩnh điện do điện tích điểm này tạo ra tại một điểm M trong không gian. Ta có $OM=r=r{u}_r$ với $u_r$ là vectơ hướng ra ngoài với độ lớn bằng 1:

Trường tĩnh điện này tuân theo phương trình Maxwell-Gauss với mật độ điện tích được cho bởi:

Trong đó ${\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}^{\left(3\right)}\left(r\right)$ là hàm delta Dirac ba chiều.

Giữ nguyên thông lượng

Thông lượng của từ trường qua bất kỳ mặt kín nào S đều luôn bằng không:

${\oint <!--\; \oint \; -->}_{S}B\cdot <!--\; \cdot \; -->dS=0$

Điều này chứng minh rằng không tồn tại đơn cực từ. Tương tự như điện tích điểm trong điện trường theo định lý Gauss, đơn cực từ sẽ là nguồn điểm của từ trường, và giá trị của nó luôn bằng không. Trong thực tế, nguồn của từ trường chính là các thanh nam châm. Một thanh nam châm là một lưỡng cực từ với cực nam và cực bắc. Khi chia thanh nam châm thành hai phần, chúng ta sẽ có hai lưỡng cực từ chứ không phải hai cực nam và bắc riêng biệt.

Phương trình Maxwell-Faraday

Phương trình Maxwell-Faraday hoặc Định lý cảm ứng Faraday (còn gọi là Định lý Faraday-Lenz) mô tả mối quan hệ giữa sự thay đổi từ thông qua một vòng kín và điện trường cảm ứng dọc theo vòng đó.

${\oint <!--\; \oint \; -->}_{S}E\cdot <!--\; \cdot \; -->ds=-<!--\; -\; -->\frac{d{\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}_B}{dt}$

Trong đó, E là điện trường cảm ứng, ds là phần tử vô cùng nhỏ của vòng kín và dΦ_B/dt là sự thay đổi của từ thông.

Phương trình Maxwell-Ampere

.

Phương trình Maxwell-Ampere mô tả cách từ trường lan truyền qua một vòng kín khi có dòng điện chạy qua đoạn mạch:

${\oint <!--\; \oint \; -->}_{S}B\cdot <!--\; \cdot \; -->ds={\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_0{I}_{enc}$

với:

$B$ biểu thị từ trường,

$ds$ là phần tử vi phân của mặt kín $S$,

$I_{enc}$ là dòng điện chạy qua một đường cong $S$

${\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_0$ là độ từ thẩm của môi trường.

${\oint <!--\; \oint \; -->}_S$ là tích phân theo một đường khép kín $S$

Hệ đơn vị CGS.

Các công thức trên áp dụng trong hệ đo lường quốc tế (SI). Đối với hệ đo lường CGS (centimét-gram-giây), các công thức này có dạng như sau:

$\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\cdot <!--\; \cdot \; -->E=4\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}$

$\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\cdot <!--\; \cdot \; -->B=0$

Trong chân không, các phương trình này sẽ được đơn giản hóa như sau:

$\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\cdot <!--\; \cdot \; -->E=0$

$\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\cdot <!--\; \cdot \; -->B=0$

Phương trình sóng truyền trong môi trường

Phương trình sóng truyền, hay phương trình d'Alembert, mô tả cách sóng điện từ di chuyển qua không gian.

Trường điện từ

Khởi đầu từ công thức sau:

$\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\times <!--\; \times \; -->(\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\times <!--\; \times \; -->\text{E})=\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}(\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\cdot <!--\; \cdot \; -->\text{E})-<!--\; -\; -->{\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}^2\text{E}$

Trong môi trường chân không (với mật độ điện tích bằng không), phương trình Maxwell - Gauss có dạng như sau:

$\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\cdot <!--\; \cdot \; -->\text{E}=0$

do đó, phương trình đầu tiên được viết lại như sau:

$\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\times <!--\; \times \; -->(\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\times <!--\; \times \; -->\text{E})=-<!--\; -\; -->{\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}^2\text{E}$.

Chuyển sang phương trình Maxwell-Faraday:

Khi loại bỏ hai vế, phương trình trở thành:

$\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\times <!--\; \times \; -->\left(-<!--\; -\; -->\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\text{B}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}\right)=\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\times <!--\; \times \; -->(\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\times <!--\; \times \; -->\text{E})=-<!--\; -\; -->{\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}^2\text{E}$

Theo định lý Schwartz, ta có thể thay đổi thứ tự giữa đạo hàm theo không gian và theo thời gian (hai biến này hoàn toàn độc lập trong vật lý không gian- thời gian):

$-<!--\; -\; -->\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}(\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\times <!--\; \times \; -->\text{B})=-<!--\; -\; -->{\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}^2\text{E}$

Cùng với mật độ điện tích, vectơ mật độ dòng điện trong chân không cũng bằng không $\text{j}=\text{0}$, do đó, phương trình Maxwell-Ampère trở thành:

Vì vậy, chúng ta có được một phương trình đạo hàm riêng cấp hai cho vectơ cường độ điện trường $\text{E}$ với nghiệm theo dạng dao động điều hòa:

Một số tài liệu viết phương trình này dưới dạng khác:

với toán tử $\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}={\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}^2$.

Đây là phương trình mô tả sự truyền sóng điện từ (thành phần điện trường) trong chân không. Ở dạng bốn chiều, phương trình này trở nên cực kỳ đơn giản:

$\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}\text{E}=0$.

Từ trường

Tương tự như vậy đối với từ trường, ta có:

Trong chân không, khi mật độ dòng điện là không, phương trình Maxwell-Ampère trở thành:

Phương trình trên có thể viết lại như sau:

Theo định lý Schwartz, ta có thể hoán đổi thứ tự giữa đạo hàm theo không gian và đạo hàm theo thời gian:

${\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}}_0\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}\left(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{rot}\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{E}\right)=-<!--\; -\; -->{\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}^2\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{H}$

Theo định lý Maxwell-Faraday trong chân không, ta có công thức sau: $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{rot}\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{E}=-<!--\; -\; -->{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_0\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{H}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}$

Từ đó, ta có kết quả sau:

${\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}^2\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{H}=\frac{1}{c^2}\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^2\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{H}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{t}^2}$

Đây là phương trình mô tả sự truyền sóng điện từ (bao gồm thành phần từ trường) trong môi trường chân không.

• Phương trình mô tả sự truyền sóng
• Đơn cực từ
• Vectơ Poynting