Định lý Menelaus

Định lý Menelaus là một định lý quan trọng trong hình học tam giác, được phát biểu như sau: Cho tam giác ABC. Nếu các điểm D, E, F nằm trên các đường thẳng BC, CA, AB tương ứng, thì D, E, F sẽ nằm trên cùng một đường thẳng khi và chỉ khi

$\frac{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{FA}}{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{FB}}\cdot <!--\; \cdot \; -->\frac{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{DB}}{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{DC}}\cdot <!--\; \cdot \; -->\frac{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{EC}}{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{EA}}=1$

Chứng minh

*Phần thuận: Giả sử D, E, F là 3 điểm thẳng hàng với nhau. Vẽ đường thẳng qua C và song song với AB cắt đường thẳng DE tại G.
Vì $CG\parallel <!--\; \parallel \; -->AB$ (c.dựng) nên theo định lý Ta-lét, ta có:
$\frac{DB}{DC}=\frac{FB}{CG}$ $\left(1\right)$và $\frac{EC}{EA}=\frac{CG}{FA}$

$\left(2\right)$
Nhân $\left(1\right)$ và $\left(2\right)$ và vế theo vế
$\frac{DB}{DC}\cdot <!--\; \cdot \; -->\frac{EC}{EA}=\frac{FB}{FA}$
Từ đó suy ra
$\frac{FA}{FB}\cdot <!--\; \cdot \; -->\frac{DB}{DC}\cdot <!--\; \cdot \; -->\frac{EC}{EA}=1$
*Phần đảo: Giả sử $\frac{FA}{FB}\cdot <!--\; \cdot \; -->\frac{DB}{DC}\cdot <!--\; \cdot \; -->\frac{EC}{EA}=1$. Khi đó gọi F' là giao của đường thẳng ED với đường thẳng AB.
Theo chứng minh ở trên, ta có $\frac{F^{\prime }A}{F^{\prime }B}\cdot <!--\; \cdot \; -->\frac{DB}{DC}\cdot <!--\; \cdot \; -->\frac{EC}{EA}=1$
Kết hợp giả thiết => $\frac{FA}{FB}=\frac{F^{\prime }A}{F^{\prime }B}$
Hay $\frac{FA}{F^{\prime }A}=\frac{FB}{F^{\prime }B}=\frac{FA+FB}{F^{\prime }A+F^{\prime }B}=\frac{AB}{AB}=1$
Nên $F^{\prime }A=FA$ và $F^{\prime }B=FB$
=> $F^{\prime }$ trùng với $F$.
Vậy định lý đã được chứng minh.